...

Ekonometria - wzory

by patrycja-klimek

on

Report

Category:

Documents

Download: 0

Comment: 0

623

views

Comments

Description

Download Ekonometria - wzory

Transcript

II. Funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji (CES lub SMAC): ) 1 , 0 ( ) 0 , ( , 0 , 0 ) ( 1 / ∪ −∞ ∈ > > ⋅ · ∑ · ρ ν α α ρ ν ρ m j j j j z Q lub ∑ · ⋅ ⋅ · m j j j z Q 1 / ) ( ( ρ ν ρ δ γ gdzie ∑ ∑ > · · · 0 1 ) ( / γ γ α δ δ γ α ρ ν j j j j j dla→1 CES odpowiada doskonałej substytucyjności (wykres - prosta) dla →0 CES odpowiada funkcji Cobb-Douglasa (wykres hiperboliczny) dla →-∞ CES odpowiada technologii Leontieffa (doskonała komplementarność - wykres L) Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika: ∑ · − − ⋅ ⋅ ⋅ · ∂ ∂ m j j j i i i z Q z z Q 1 1 1 ) ( ρ ρ δ νδ Elastyczność względem i-tego czynnika: ∑ · − ⋅ · m j j j i i z Q z z El i 1 1 / ) ( ρ ρ δ ν δ Efekt skali (suma elastyczność jak w modelu Cobb-Douglasa): ν · ∑ · m i z Q i El 1 / Krańcowa stopa substytucji: ρ δ δ − , ` . | ⋅ · 1 i j j i ji z z R Elastyczność substytucji:1 / ) 1 ( ln ln − , ` . | − · ∂ ∂ · · ρ ji i j R z z ji R z z El El ji i j dla Cobba-Douglasa stała i równa 1, Informuje w przybliżeniu o ile procent wzrasta zj/zi jeśli Rji wzrasta o 1% (mówi o ile powinno wzrosnąć techniczne uzbrojenie pracy, aby krańcowa stopa substytucji wzrosła o 1%) Metoda Kmenty - historyczna i nienajlepsza, ale pozwalająca oszacować punkty startowe do algorytmu Gaussa-Newtona: t t t t t t L K L K Q ξ α α ν ρ α α α α ν α α α ν α α α ρ ν + − + + + + + + + ≈ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ) ln (ln ) ( 2 ln ln ) ln( ln jeżeli oznaczymy kolejno paramtry od beta 0 do beta 3 i oszacujemy zwykłą MNK to otrzymamy punkty startowe: ν ρ β ν β α ν ρ β ν β α β β ν β ρ β β ν 0 2 2 0 1 1 2 1 3 2 1 2 e x p 2 e x p 2 · · · + · III. Translogarytmiczna funkcja produkcji (Translog) Liczba swobodnych parametrów: 1 2 ) 3 ( + + m m Funkcja translogarytmiczna nie jest jednorodna ! (brak globalnego efektu skali) ∑ ∑∑ · · · ⋅ ⋅ + + · m h m j m i j i ij h h z z z Q 1 1 1 ln ln 2 1 ln ln γ β µ Dwa pierwsze składniki sumy odpowiadają technologii Cobba-Douglasa Elastyczności najlepiej liczyć z pochodnej logarytmicznej i analogicznie współczynnik efektu skali (sumy elastyczności) Podobnie produkcyjności krańcowe i elastyczności substytucji: k z Q k z Q El z Q k ⋅ · ∂ ∂ / i j z Q z Q ji z z El El R j i ⋅ · / / Estymacja funkcji produkcji: - na podstawie danych przekrojowych lub szeregów czasowych Do Cobba-Douglasa i Translogu wystarczy MNK i KMRL, do CES należy stosować metodę Kmenty i algorytm Gaussa-Newtona W przypadku CES i Translogu należy jeszcze zweryfikować hipotezę, że model Cobba-Douglasa jest wystarczający: CES) 0 : 0 : 1 0 ≠ · ρ ρ H H - test t-Studenta dla regresji nieliniowej wystarczy C-D CES Translog) 0 : 0 : 5 , 4 , 3 1 5 , 4 , 3 0 ≠ · β β H H - test F dla układu współczynników regresji wystarczy C-D Translog W przypadku szeregów czasowych bierze się jeszcze pod uwagę postęp techniczno-organizacyjny t tm t t t z z f Q ε τ + ⋅ ⋅ · exp ) ,..., ( 1 gdzie ⋅- informuje w przybliżeniu o ile % wzrasta prdukcja z okresu na okres wyłącznie na skutek     usprawnień techniczno-organizacyjnych (neutralnego postępu techniczno-organizacyjnego) Zmienna objaśniająca losowa - stosujemy zwykłą MNK Regresja liniowa dla danych czasowych - nie można stosować zwykłej MNK dla autokorelacji, ani dla modeli wielorównaniowych, natomiast można zwykłą MNK szacować proces autoregresyjny ze względu na zmienną objaśniającą: Model autoregresyjny rzędu 1 (AR(1)): t t t y y ε β β + + · − 2 1 1 Modele wielorównaniowe: Statyczne (bez opóźnień) i dynamiczne (z opóźnieniami) Yt - wektor zmiennych łącznie współzależnych Xt - wektor zmiennych ustalonych z góry (wraz z wyrazami wolnymi - kolumna 1) Ut - wektor równoczesnych składników losowych wszystkich równań 2 1 2 1 . . . . . . . . t t t t x x rów II I y y rów II I B ] ] ] · Γ ] ] ] · Rodzaje modeli wielorównaniowych: • Proste - macierz B jest macierzą jednostkową; brak bezpośrednich zależności funkcyjnych między bieżącym zmiennymi endogenicznymi • Rekurencyjne - równoczesne składniki losowe róznych równań nie są pomiędzy sobą skorelowane i macierz B jest niejednostkową macierzą trójkątną (lub daje się sprowadzić do trójkątnej prze zamianę numeracji równań i zmiennych i tylko w ten sposób); modeluje wyłącznie jednokierunkowe zależności między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi • O równaniach współzależnych - nie jest ani prosty ani rekurencyjny; opisuje dwukierunkowe powiązania między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi Estymacja prostych i rekurencyjnych modeli - zwykła MNK (estymator jest zgodny asymptotycznie) Postacie modeli: → Strukturalna - układ równań → Zredukowana t t t v x y + Π ⋅ · gdzie: 1 1 − − ⋅ · ⋅ Γ − · Π B u v B t t Badanie identyfikalności modelu: Otrzymujemy układ równań z przemnożenia: ) ( ) ( i i γ β − · ⋅ Πi - nr kolumny (równania) Elementy macierzy pi traktujemy jako parametry, parametry modelu jako zmienne Ze względu na ilość rozwiązań tego układu równań otrzymujemy, że równanie:  Nieidentyfikowalne (układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - więcej zmiennych niż równań) - niemożna go estymować  Jednoznacznie identyfikowalne (układ ma dokładnie 1 rozwiązanie - liczba zmiennych jest równa liczbie równań) - pośrednia MNK (jako szczególny przypadek 2MNK)  Niejednoznacznie identyfikowalne (układ jest sprzeczny - więcej równań niż zmiennych) - 2MNK Pośrednia MNK: Szacuje się:Y X X X T T ⋅ ⋅ · Π −1 ) ( ˆ , a parametry równań oblicza się z powyższego układu równań (będą zależne od elementów macierzy Podwójna MNK: Dla danego równania wyprowadzamy postać: ) ( ) ( * ) ( * ) ( i i i i i i u X Y y + ⋅ + ⋅ · γ β gdzie Y,X,są odpowiednimi macierzami i wektorami tych X,Y,które     występują w równaniu, analogicznie składnik losowy; Y ma wymiar T x mi X ma wymiar T x ki Wyprowdzamy teoretyczne Y: i T T i Y X X X X Y 1 ) ( ˆ − · tworzymy macierz z: ] ˆ [ X Y z i i · Wektor parametrów przy X i Y: ] ] ] · ) ( * ) ( * ) ( i i i γ β δ i szacujemy go: ) ( 1 ) ( ) ( ˆ i T i i T i i y z z z − · δ Błędy średnie szacunku z macierzy: 1 2 ) ( ) ( ) ˆ ( ˆ − · i T i i i z z S Vδ a wariancja: ) ( ) ( 2 ˆ ˆ ) ( 1 i i i i i u u k m T S T ⋅ ⋅ + − · Przy czym teorytyczny składnik losowy jest liczony z równania oryginalnego: ) ˆ ˆ ( ˆ ) ( * ) ( * ) ( i i i i i X Y y u γ β + − · Można to zapisać gotowymi wzorami: → Analiza mnożnikowa Uogólniony model regresji liniowej (UMRL) Copyright SGP
Fly UP