System is processing data
Please download to view
...

Fizyka Nie Tylko Dla HumanistóW

by guest8f3724

on

Report

Category:

Documents

Download: 2

Comment: 0

381

views

Comments

Description

Download Fizyka Nie Tylko Dla HumanistóW

Transcript

WSTĘP WSTĘP Materiał zawarty w podręczniku ma na celu ułatwienie,humanistom i kandydatom na wyższe uczelnie, studentom oraz uczniom szkół średnich, powtórzenie materiału teoretycznego niezbędnego do rozwiązywania zadań i testów. Podręcznik zawiera podstawowe definicje, zwięźle sformułowane pojęcia i prawa fizyczne, a sam proces wyprowadzania wzorów ułatwia głębsze zrozumienie spójności całego materiału. W podręczniku podano również 6 podstawowych reguł przekształcania ułamków, których przypomnienie pozwoli czytelnikowi pokonać trudności w opanowaniu podstawowych pojęć występujących w fizyce, a zwłaszcza w przekształcaniu wzorów. Podręcznik może również dobrze służyć tym wszystkim, którzy pragną szybko przypomnieć sobie pojęcia i prawa fizyczne, przydatne do lepszego rozumienia otaczającego nas świata by głębiej pojmować również filozofię swego istnienia. Aby nie rozpraszać uwagi czytelnika, wbrew przyjętemu zwyczajowi wzory, w większości przypadków, nie są numerowane. Potrzebny wzór jest przytaczany, w tym miejscu, gdzie należałoby z niego skorzystać. W książce umieszczono pewne aforyzmy fizyczne ułożone przez autora w celu wskazania na filozoficzny i pełen uroku sens samej fizyki, jako jednej z najbardziej podstawowych nauk filozoficznych WSTĘP Podstawowe zasady przekształcania ułamków I I MECHANIKA 1. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO I BRYŁY SZTYWNEJ 1 1.1 Wielkości fizyczne 2 PYTANIA 2 Aforyzmy 1.2 Wektory 2 1.2.1 Dodawanie wektorów swobodnych 2 1.2.1.1 Metoda równoległoboku 3 1.2.1.2 Metoda wieloboku zamkniętego 1.2.2 Rozkładanie wektora W na składowe S1 i S2 3 1.2.3 Nazwy przedrostków wielkości fizycznych oraz ich symbole 4 PYTANIA 4 Aforyzmy 1.3 Podstawowe wzory z kinematyki 5 1.3.1 Ruch jednostajny 5 1.3.2 Ruch jednostajnie zmienny 6 1.3.3 Prędkość średnia 7 PYTANIA 10 Aforyzmy 1.4 Zasady dynamiki Newtona 11 1.4.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona 11 PYTANIA 12 Aforyzmy 1.4.2 Druga zasada dynamiki Newtona 12 1.4.2.1 Jednostki siły 13 PYTANIA 14 Aforyzmy 1.4.2.2 Gęstość ρ (ro) – inaczej masa właściwa 14 1.4.2.3 Ciężar właściwy ciała γ (gamma) 15 PYTANIA 16 Aforyzmy 1.4.2.4 Pęd i popęd 16 PYTANIA 16 Aforyzmy 1.4.2.5 Zasada zachowania pędu 17 1.4.2.6 Układy inercjalne i nieinercjalne 17 PYTANIA 20 Aforyzmy 1.4.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona 22 1.4.4 Zderzenia sprężyste i niesprężyste 22 PYTANIA 24 1.5 Praca 24 1.5.1 Siły zachowawcze i niezachowawcze 24 1.5.2 Jednostki pracy 26 Aforyzm 1.6 Moc 26 1.6.1 Sprawność η (eta) 26 1.6.2 Sprawność układu złożonego 26 PYTANIA 27 Aforyzmy 1.7 Rzuty 27 1.7.1 Rzut pionowy (zasada zachowania energii) 27 1.7.1.1 Przykład względności ruchu w rzucie pionowym 30 PYTANIA 33 1.7.2 Rzut ukośny 33 PYTANIA 35 Aforyzmy 1.7.3 Rzut poziomy 36 PYTANIA 36 1.8 Pole grawitacyjne 36 1.8.1 Prawo grawitacji (ciążenia powszechnego) 36 1.8.1.1 Środek ciężkości (środek masy) 38 PYTANIA 38 1.8.1.2 Metody dodawania wektorów związanych 38 1.8.1.2.1 Metoda graficzna 39 1.8.1.2.2 Metoda obliczeniowa 39 1.8.1.2.2.1 Moment siły 40 PYTANIA 40 1.8.2 Natężenie pola grawitacyjnego 41 1.8.3 Potencjał grawitacyjny V 41 1.8.4 Praca w polu grawitacyjnym 41 1.9 Przyspieszenie dośrodkowe ad (normalne an, radialne ar) 43 PYTANIA 45 1.10 Prędkości kosmiczne 45 1.10.1 Pierwsza prędkość kosmiczna 45 1.10.2 Druga prędkość kosmiczna 46 PYTANIA 47 1.11 Ruch obrotowy 47 1.11.1 Ruch jednostajny obrotowy 48 1.11.2 Ruch jednostajnie zmienny obrotowy 49 PYTANIA 50 1.11.3 Siła działająca na punkt materialny w ruchu obrotowym 50 1.11.3.1 Twierdzenie Steinera 51 PYTANIA 51 1.11.4 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 52 1.11.5 Moc w jednostajnym ruchu obrotowym (Po) 52 1.11.6 Zasada zachowania momentu pędu (L) 52 PYTANIA 54 Aforyzmy 1.11.7 Prawa Keplera 55 1.11.7.1 Pierwsze prawo Keplera 55 1.11.7.2 Drugie prawo Keplera 55 1.11.7.3 Trzecie prawo Keplera 56 1.12 Tarcie 57 1.12.1 Pomiary współczynnika tarcia fs i fk 57 1.12.1.1 Pomiar współczynników tarcia za pomocą dynamometru 58 1.12.1.2 Pomiar współczynników tarcia za pomocą kątomierza 58 PYTANIA 59 Aforyzmy 1.13 Maszyny proste 60 1.13.1 Maszyny proste typu równi pochyłej 60 1.13.1.1 Równia pochyła 60 1.13.1.2 Śruba 61 1.13.1.3 Klin 62 1.13.2 Maszyny proste typu dźwigni 62 1.13.2.1 Krążek stały 63 1.13.2.2 Krążek ruchomy 64 1.13.2.3 Wielokrążek zwykły 64 1.13.2.4 Wielokrążek potęgowy 65 1.13.2.5 Wielokrążek różnicowy 67 1.13.2.6 Kołowrót 67 1.14 Rodzaje równowagi 68 1.14.1 Równowaga stała 68 1.14.2 Równowaga chwiejna 69 1.14.3 Równowaga obojętna 69 1.15 Metody rozwiązywania zadań 69 2. MECHANIKA CIECZY I GAZÓW 70 2.1 Hydrostatyka cieczy i gazów 70 2.1.1 Ciśnienie p 70 2.1.1.1 Ciśnienie hydrostatyczne 70 2.1.1.2 Ciśnienie atmosferyczne 71 2.1.1.3 Doświadczenie Toricelle,go 71 PYTANIA 72 Aforyzmy PYTANIA 73 Aforyzmy 2.1.2 Prawo Pascala 73 2.1.3 Prasa hydrauliczna 73 2.1.4 Prawo Archimedesa 74 Aforyzm 2.1.4.1 Nurek Kartezjusza 75 2.1.5 Metody pomiaru ciężaru właściwego ciał 75 PYTANIA 76 Aforyzmy 2.2 Podstawy hydrodynamiki cieczy i gazów 78 2.2.1 Prawo ciągłości 79 2.2.2 Prawo Bernoulliego 80 2.2.2.1. Metody pomiarów ciśnienia statycznego i hydrostatycznego 81 2.2.3 Prawo Newtona dotyczące cieczy 82 2.2.3.1 Definicja współczynników lepkości dynamicznej i kinematycznej w układzie SI 83 2.2.3.2 Definicja cieczy doskonałej i różnice między cieczą niutonowską a nieniutonowską. Przykłady, wzory, wykresy 83 2.2.4 Prawo Poiseuille’a 84 2.2.4.1 Rozkład prędkości przy przepływie stacjonarnym cieczy niutonowskiej przez rurę sztywną 86 2.2.4.2 Czynniki warunkujące odstępstwa od prawa Poiseuille`a w przypadku przepływu krwi 87 2.2.4.3 Różnice w przepływach opisanych przez prawo Poiseuille’a, a w przepływach będących pod wpływem ciśnienia zmiennego w naczyniach. Liczba Wolmerseya α 87 2.2.5 Prawo Stokesa 88 2.3 Podstawy aerodynamiki 89 2.3.1 Opory ruchu ciał w powietrzu 89 2.3.2 Siła nośna Fn samolotu oraz opory ruchu Ra 89 3. RUCH DRGAJĄCY (HARMONICZNY) 89 3.1 Prawo Hook’a 89 PYTANIA 89 3.2 Ruch harmoniczny 92 PYTANIA 97 3.3 Wahadło matematyczne 98 3.3.1. Wyprowadzenie wzoru na okres drgań T wahadła o długości l 98 PYTANIA 99 3.4 Wahadło fizyczne (wyprowadzenie wzoru na okres T) 99 PYTANIA 101 3.5 Rezonans 101 3.5.1 Rezonans mechaniczny 101 PYTANIA 102 4. RUCH FALOWY 102 4.1 Definicje pojęć 102 4.1.1 Fale podłużne 102 4.1.2 Fale poprzeczne 102 4.1.3 Okres drgań 103 4.1.4 Długość fali 103 4.2 Interferancja (nakładanie się) fal 104 4.3 Fale stojące 104 PYTANIA 105 4.4 Prawa odbicia i załamania fal 105 4.4.1 Zasada Huygensa 106 4.5 Natężenie fali I 106 PYTANIA 107 5. AKUSTYKA 107 5.1 Cechy charakterystyczne dźwięku 109 5.2 Poziom natężenia L 110 5.3 Głośność dźwięku 110 PYTANIA 110 5.3.1 Źródła dźwięku 111 5.3.2 Piszczałki 112 PYTANIA 112 5.4 Zjawisko Dopplera 112 5.4.1 Pozorny wzrost częstości przy zbliżaniu 113 5.4.2 Pozorne obniżanie częstości dźwięku 114 5.5 Rezonans akustyczny 116 5.6 Dudnienie 117 5.7 Prawo Webera –Fechnera 118 PYTANIA 119 II FIZYKA DROBINOWA (MOLEKULARNA) 119 6. CIEPŁO I TEMPERATURA 119 PYTANIA 119 6.1 Bilans cieplny 123 PYTANIA 123 6.2 Rozszerzalność cieplna ciał 125 6.2.1 Rozszerzalność liniowa 126 6.2.2 Rozszerzalność objętościowa 127 6.2.3 Rozszerzalność cieplna wody 127 PYTANIA 128 6.3 Wymiana energii na sposób ciepła 128 6.3.1 Wymiana na drodze konwekcji 129 6.3.2 Wymiana energii cieplnej przez przewodzenie (analogie elektrotermiczne) 129 6.3.2 .1 Prawa Fouriera dotyczące przepływu ciepła jako analogia do przepływu prądu elektrycznego opisanego prawami Ohma 129 6.3.2.1 Wymiana energii między ciałami na sposób ciepła przez przewodzenie 130 6.3.2.2 Uogólnione prawo transportu 131 6.3.2.3 Zjawiska sprzężone z przepływami uogólnionymi 132 PYTANIA 132 6.3.3 Wymiana energii na sposób ciepła przez promieniowanie 134 6.3.3.1 Prawo Prèvosta 134 6.3.3.2 Prawo Stefana – Boltzmana 134 6.3.3.3 Prawo Kirchhoffa 136 6.3.3.4 Prawo przesunięć Wiena (Wina) 136 PYTANIA 138 6.4 Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne 138 7. WŁASNOŚCI PAR I GAZÓW 140 7.1. Wilgotność powietrza i gazów 141 7.1.1. Wilgotność bezwzględna Wb 141 7.1.2. Wilgotność względna Ww 142 7.2. Punkt potrójny wody 143 PYTANIA 144 8. PRZEMIANY GAZOWE GAZU DOSKONAŁEGO 144 8.1. Prawo Boyle’a – Mariotte’a 144 8.2. Prawo Gay Lusaca – przemiana izobaryczna 145 8.3. Prawo Charlesa (Szarla) – przemiana izochoryczna 146 8.4. Prawo Poissona (Puasona) – przemiana adiabatyczna 147 8.5. Prawo Daltona 149 PYTANIA 149 9. TEORIA KINETYCZNO - MOLEKULARNA BUDOWY MATERII 149 9.1. Dyfuzja 150 9.2. Osmoza 151 9.2.1 Prawo Van,t Hoffa 152 PYTANIA 152 9.3. Napięcie powierzchniowe 152 9.4. Meniski 154 PYTANIA 155 9.5. Związek między średnią energią kinetyczną cząsteczek a temperaturą gazu 155 PYTANIA 157 9.6. Prawo Laplace`a 9.6.1 Wzór Laplace’a dla powierzchni kulistej i cylindrycznej – zastosowanie w układzie krążenia i oddechowym 158 9.6.1.1.Prawo Henriego 159 9.6.2. Prawa i wzory opisujące własności sprężyste ścian w naczyniach krwionośnych. Napięcie czynne i bierne naczyń 159 9.6.3. Prędkość poruszania się krwi i fali tętna – wzory 160 9.6.4. Ciśnienie transmularne. Nadciśnienie. 160 9.6.5. Przepływ laminarny oraz turbulentny. Kryterium Reynoldsa 9.6.6. Określanie współczynnika lepkości. Prawo Poiseuille’a lepkość siły oddziaływania międzycząsteczkowego danej cieczy 161 9.6.7. Nieinwazyjne metody pomiaru prędkości i strumienia objętości krwi 162 10. ZASADY TERMODYNAMIKI 163 10.1. Doświadczenie Joule’a 164 10.2. Pierwsza zasada termodynamiki (jako zasada zachowania energii) 166 10.2.1 Przemiana adiabatyczna 166 10.2.2 Przemiana izochoryczna 166 10.2.3 Przemiana izotermiczna 166 10.3. Cykl Carnota 166 10.4. Druga zasada termodynamiki 168 10.4.1. Wzór Clapeyrona – Clausiusa 170 PYTANIA 171 10.4.2. Energia swobodna. Entalpia swobodna. Definicje, wzory (zależność od ciśnienia) 172 PYTANIA 173 III ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM 173 PYTANIA 173 11. POLE ELEKTRYCZNE 173 11.1. Natężenie pola elektrycznego 176 11.2. Potencjał pola elektrycznego (linie i powierzchnie ekwipotencjalne) 179 11.3. Napięcie 180 PYTANIA 180 11.4. Praca prądu elektrycznego 180 11.5. Natężenie prądu elektrycznego 181 11.6. Pierwsze prawo Ohma 181 11.7. Moc prądu elektrycznego 181 PYTANIA 181 11.8. Elementy R L C 182 11.9. Siła elekrtomotoryczna źródła E[V] 184 PYTANIA 186 11.10. Moc wydzielana w oporze zewnętrznym w zależności od jego wartości (przy oporze wewnętrznym rw= const) 186 PYTANIA 187 11.11 Zjawisko samoindukcji – zasada przekory 187 PYTANIA 189 11.12. Prawa Kirchhoffa 189 11.12.1. Pierwsze prawo Kirchhoffa 190 11.12.2. Drugie prawo Kirchhoffa 190 PYTANIA 190 12. RUCH ŁADUNKU W POLU ELEKTRYCZNYM I MAGNETYCZNYM192 12.1. Ruch ładunku w jednorodnym polu elektrycznym 192 PYTANIA 192 12.2. Ruch elektronu w jednorodnym polu magnetycznym 192 PYTANIA 194 12.3. Łączenie szeregowe i równoległe oporników, kondensatorów i źródeł 195 12.3.1. Łączenie oporników 196 12.3.1.1. Szeregowe połączenie oporników 196 12.3.1.2. Równoległe połączenie oporników 196 PYTANIA 197 12.3.2. Łączenie kondensatorów 197 12.3.2.1. Szeregowe połączenie kondensatorów 197 12.3.2.2. Równoległe połączenie kondensatorów 198 12.3.3. Łączenie źródeł 199 12.3.3.1. Szeregowe łączenie źródeł 199 12.3.3.2. Równoległe łączenie źródeł 199 12.4. Prawo Joule’a – Lentza 200 PYTANIA 202 12.5. Prawa Faradaya 202 12.5.1. Pierwsze prawo Faradaya 203 PYTANIA 203 12.5.2. Drugie prawo Faradaya 204 PYTANIA 204 12.6. Ogniwa i akumulatory 204 12.6.1. Ogniwa 204 12.6.2. Akumulatory 205 PYTANIA 206 13. POLE MAGNETYCZNE 206 PYTANIA 207 13.1. Prawo Culomba dla magnetyzmu 207 13.2. Natężenie pola magnetycznego H 208 PYTANIA 209 13.3. Pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem (prawo Ampere’a) 209 13.3.1. Prawo Oersteda 210 13.3.1. Pole magnetyczne w solenoidzie 210 PYTANIA 210 13.4. Reguły prawej i lewej dłoni oraz śruby prawoskrętnej. Prawo Faradaya – wzory na siłę elektromotoryczną samoindukcji. 211 13.4.1. Silnik (reguła lewej dłoni) 211 13.4.2. Prądnica (reguła prawej dłoni) 212 PYTANIA 213 13.4.3. Wartości chwilowe siły elektromotorycznej indukcji, prądu i napięcia 216 13.4.4. Reguła śruby prawoskrętnej 216 13.4.5. Definicja Ampera 216 PYTANIA 217 13.5. Związek momentu magnetycznego Mm z momentem siły MF 218 13.6. Moment magnetyczny elektronu w atomie wodoru 218 PYTANIA 222 13.7. Zjawisko Halla 223 14. PRĄD PRZEMIENNY 224 14.1 Prawo Ohma dla prądu przemiennego 224 14.1.1. Zależność rezystencji R i reaktancji RL oraz RC od częstotliwości f 229 14.2. Zjawisko rezonansu elektrycznego 231 14.2.1. Dobroć obwodu rezonansowego 232 PYTANIA 233 14.3. Zależność rezystencji przewodnika i półprzewodnika od temperatury 233 PYTANIA 234 14.4. Moc prądu zmiennego (wartość skuteczna prądu zmiennego)235 PYTANIA 235 14.5. Mierniki elektryczne (amperomierze, miliamperomierze i woltomierze) 237 14.5.1. Mierniki magnetoelektryczne 238 14.5.2. Mierniki elektromagnetyczne 239 14.5.3. Mierniki elektrodynamiczne 239 14.5.4. Elektryczne mierniki cieplne 240 14.5.5. Amperomierz jako miliamperomierz z bocznikiem (Rb) 240 14.5.6. Woltomierz (miliamperomierz z opornikiem dodatkowym Rd)241 14.5.7. Mostek Wheatstone’a do pomiaru oporności 242 14.5.8. Potencjometr i jego zastosowanie 242 PYTANIA 242 15. TRANSFORMATOR 244 15.2. Schematyczny opis zasady działania transformatora 244 15.3. Prawo Ohma dla magnetyzmu 245 15.4. Równanie transformatora 246 15.5. Pętla histerezy 247 PYTANIA 249 15.6. Prądy wirowe Foucaulta 250 PYTANIA 250 16. WŁASNOŚCI MAGNETYCZNE MATERII 252 PYTANIA 252 17. ZASTOSOWANIA W PRAKTYCE NIEKTÓRYCH ZJAWISK I PRAW FIZYCZNYCH W URZĄDZENIACH ELEKTROTECHNICZNYCH 253 17.2. Induktor – cewka (Ruhmkorffa) 253 17.3. Diatermia ultrakrótkofalowa 254 17.4. Nagrzewanie wybiórcze 257 PYTANIA 258 18. ELEKTROAUKUSTYKA 258 18.2. Mikrofony węglowe 258 18.3. Mikrofony piezoelektryczne 259 18.4. Mikrofony pojemnościowe 259 18.5. Mikrofony elektrodynamiczne 260 PYTANIA 260 19. PRĄD ELEKTRYCZNY W GAZACH 261 19.1. Wyładowania w gazach rozrzedzonych 262 PYTANIA 262 20. DRGANIA ELEKTROMAGNETYCZNE 263 PYTANIA 264 21. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE (RADIO, TELEWIZJA, RADAR) 265 21.1. Równania Maxwella 265 21.1.1. Radio 266 PYTANIA 266 21.2. Lampa oscyloskopowa 269 21.2.1. Krzywe Lissajous otrzymywane na ekranie lampy 269 21.2.2. Generator drgań relksacyjnych wytwarzających napięcie piłokształtne 272 PYTANIA 273 21.3. Telewizja 273 21.4. Radar 273 PYTANIA 275 22. OPTYKA GEOMETRYCZNA 275 22.1. Metody wyznaczania prędkości światła 276 22.1.1. Metoda astronomiczna Röemera 276 22.1.2. Metoda Foucaulta 276 PYTANIA 276 22.2. Prawa odbicia i załamania 277 22.3. Kąt graniczny 279 PYTANIA 280 22.4. Zwierciadło płaskie 280 22.5. Zwierciadło wklęsłe 281 22.5.1. Powiększenie 281 22.5.2. Wzór na ogniskową dla zwierciadła wklęsłego 282 22.6. Zwierciadło wypukłe 283 PYTANIA 284 22.7. Pryzmat 285 PYTANIA 287 22.7.1. Doświadczenie Younga 287 22.7.1.1. Dyfrakcja (ugięcie) 288 22.7.1.2. Polaryzacja światła 289 22.7.1.3. Przesunięcie promienia p przy przechodzeniu przez płytkę płasko – równoległą 291 PYTANIA 292 22.8. Soczewki 292 22.8.1. Soczewki wypukłe 292 22.8.2. Lupa 294 22.8.2.1. Powiększenie kątowe lupy 294 22.8.3. Zdolność zbierająca albo skupiająca „z” układu soczewek 295 22.9. Mikroskop 296 22.9.1. Powiększenie mikroskopu 22.9.2. Zdolność rozdzielcza mikroskopu optycznego 296 22.10. Luneta (teleskop astronomiczny) 297 PYTANIA 298 22.11. Soczewki rozpraszające 298 22.12. Wady soczewek 298 22.12.1. Aberracja sferyczna 299 22.12.2. Aberracja chromatyczna 299 22.12.3. Astygmatyzm 299 22.12.4. Dobór rodzaju soczewki do oka 300 PYTANIA 300 22.13. Rodzaje widm 301 22.14. Zjawisko Dopplera w optyce 301 22.15. Oko i barwy 302 22.15.1. Oko 302 22.15.2. Barwy 304 22.16. Fotometria 306 22.16.1. Wielkości fotometryczne, ich oznaczenia i jednostki 306 22.16.2. Fotometr 307 22.16.3. Luminacja L 309 23. BUDOWA ATOMU 310 23.1. Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra po danej orbicie w atomie wodoru 310 PYTANIA 311 23.2. Serie widmowe 312 23.2.1. Serie widmowe atomu 315 24. ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE 317 24.1. Bilans energetyczny zjawiska fotoelektrycznego 318 24.2. Fotokomórka 318 25. PROMIENIOWANIE RENTGENOWSKIE 319 25.1. Mechanizm powstawania promieni X (rentgenowskich) 320 25.2. Widmo ciągłe i charakterystyczne promieni X 321 25.3. Prawo absorpcji promieni X 322 25.3.1. Grubość warstwy połowiącej D1/2 323 25.3.2. Mechanizm absorpcji promieni X oraz γ 323 25.3.2.1. Zjawisko Comptona 325 25.3.2.2. Tworzenie się par elektron – pozyton 325 PYTANIA 326 25.4. Doświadczenie Laue’go 326 25.5. Fale materii de Broglie’a 327 25.5.1. Mechanika kwantowa 329 25.5.1.1. Stan energetyczny atomu wzbudzonego 331 25.5.2. Zjawisko Zeemana (liczby kwantowe) 336 25.5.3. Spin 338 25.5.4. Zakaz Pauliego 340 25.6. Kryształy 340 25.6.1. Środek symetrii kryształu 341 25.6.2. Osie symetrii kryształu 341 25.6.3. Płaszczyzny symetrii kryształu 341 25.7. Zdolność rozdzielcza (z) 25.7.1 Zdolność rozdzielcza mikroskopu elektronowego 342 PYTANIA 343 26. BUDOWA JĄDRA 344 26.1. Doświadczenie Rutheforda 344 26.2. Przemiany jądrowe 346 26.3. Tory cząstek alfa, beta oraz gamma w polu elektrycznym 346 26.4. Tory cząstek alfa i beta w polu magnetycznym 348 26.5. Izotopy 348 26.5.1. Promieniotwórczość naturalna 348 26.5.2. Prawo przesunięć Soddy’ego Fajansa 348 26.5.3. Prawo rozpadu promieniotwórczego 349 26.5.4. Promieniotwórczość sztuczna 350 26.5.5. Rodziny (szeregi) promieniotwórcze 350 PYTANIA 351 26.5.6. Wpływ promieniowania jonizującego na organizmy żywe 351 26.6. Spektrograf masowy Astona 354 26.7. Radiometria 355 26.7.1. Błony 355 26.7.2. Komora Wilsona 356 26.7.3. Komora pęcherzykowa 356 26.7.4. Elektrometr 357 26.7.5. Licznik Geigera – Müllera 357 PYTANIA 358 26.8. Akceleratory (przyspieszacze) 359 26.8.1. Generator Van de Graffa 359 26.8.2. Cyklotron 360 26.8.3. Betatron 361 PYTANIA 361 26.9. Energia wiązania jąder 361 26.9.1. Defekt masy 362 26.9.2. Anihilacja masy 362 26.9.3. Kreacja masy 363 PYTANIA 363 26.9.4. Cząstki elementarne 363 26.9.4.1. Zasady zachowania w oddziaływaniach cząstek elementarnych 365 26.9.4.2. Kwarki 366 26.9.4.3. Oddziaływania fundamentalne w klasyfikacji cząstek 366 VI FIZYKA CIAŁA STAŁEGO 367 27. Półprzewodniki 368 27.1. Półprzewodniki samoistne z IV grupy 368 27.2. Półprzewodniki domieszkowe 369 27.3. Dioda krystaliczna 369 PYTANIA 370 27.4. Tranzystory 370 27.4.1. Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne 370 27.4.2. Charakterystyki kolektorowe tranzystora 371 27.4.3. Tranzystor polowy 373 PYTANIA 374 27.4.4. Tyrystory 375 27.5. Elementy optoelektroniczne 375 27.5.1. Diody świecące – elektroluminescencyjne 376 27.5.1.1. Fotodiody 376 27.5.1.2. Fototranzystory 377 27.5.1.3. Transoptory 377 27.6. Układy scalone 378 27.6.1. Układy scalone hybrydowe 378 27.6.2. Układy scalone monolityczne 379 27.6.3. Podział układów scalonych ze względu na stopień scalenia oraz w zależności od spełnianej funkcji 380 28. NADPRZEWODNICTWO 381 28.1. Nadprzewodnictwo dla ołowiu 381 VII FIZYKA RELATYWISTYCZNA 382 29. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 382 29.1. Prawo dodawania prędkości 382 29.2. Względny wzrost masy ciała w zależności od prędkości 382 29.3. Względność zmiany wymiarów ciała w kierunku ruchu 382 29.4. Czas w obiektach poruszających się względem obserwatora 382 29.5. Zasada nieoznaczoności Heisenberga 383 29.6. Promieniowanie wymuszone – lasery 384 29.7. Holografia 387 30. ZAŁĄCZNIK 291 31. PODSTAWOWE ZASADY PRZEKSZTAŁCANIA UŁAMKÓW 32. LICZBY ZESPOLONE 392 32.1. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 393 32.2. Działania na liczbach zespolonych: 32.3. (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) 394 . Postawowe zasady przekształcania ułamków Elementarna i niezbędna wiedza do nauczenia się fizyki, to umiejętność przekształcania ułamków. Dlaczego niektórzy ludzie sądzą, że fizyka jest nauką trudną, nudną i nie dla nich, a ponadto należy mieć do niej specjalne predyspozycje? Bardzo istotną przyczyną takiego przeświadczenia jest brak umiejętności przekształcania ułamków. Dlatego, aby to szkodliwe przekonanie zlikwidować, należy przyswoić sobie sześć prostych podanych poniżej reguł: 1. Każdą stronę równania można pomnożyć przez dowolną liczbę np.: przez „z”, lub podzielić przez tę samą, lub inną liczbę np.: przez „k” (oczywiście oprócz zera, przez które nie dzielimy); można też dodać lub odjąć tę samą liczbę np.: „q”, a prawdziwość równania się nie zmieni, np.: 2. Aby podzielić ułamek przez ułamek należy: ułamek znajdujący się w liczniku pomnożyć przez odwrotność ułamka, który jest w mianowniku, np.: 3. Mianownik mianownika można przenieść do licznika i odwrotnie – z licznika dowolne wyrażenia można przenieść do mianownika mianownika, np.: oraz odwrotnie – z licznika dowolne wyrażenie np.: „uw” można przenieść do mianownika mianownika, np.: 4. Należy poza tym zwracać uwagę na ułamki zwykłe, na to, przy której kresce ułamkowej znajduje się znak równości, ponieważ np.: , ale 5. Zawsze możemy przenieść na drugą stronę równania dowolne wyrażenie z licznika do mianownika i odwrotnie, np.: lub 6. Wiadomo, że obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez pewne wyrażenie, a równanie pozostanie nadal prawdziwe. Aby wyznaczyć zatem z równania: np.: „y”, to obie strony równania mnożymy przez „y” oraz przez „cx”, a dzielimy przez „ab” i wówczas mamy: podobnie postępujemy, aby wyznaczyć „x” z równania: należy obie strony pomnożyć przez „x” oraz przez „fy” jak również podzielić przez „de” mamy wówczas: ale zamiast „x” pisać po prawej stronie równania możemy go napisać po lewej stronie, czyli: Przekształcenia powyższe robimy wszystkie w pamięci jeśli mamy odrobinę wyobraźni. Po opanowaniu tych prostych sześciu reguł przekształcania ułamków nasz stosunek do fizyki może się radykalnie zmienić. Możemy ją polubić, a nawet zachwycić się jej pięknem i w ogóle nie wyobrażać sobie dalszego życia bez posługiwania się na co dzień prawami fizyki. Niewielki wysiłek związany z pokonaniem tych prostych trudności na pewno się nam opłaci nie tylko ze względu na fizykę, ale również na matematykę i chemię. I MECHANIKA 1. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO I BRYŁY SZTYWNEJ Punktem materialnym nazywamy taki obiekt, którego wymiary są małe w porównaniu z przebywanymi przez niego odległościami. Bryła sztywna składa się z punktów materialnych, których wzajemne odległości nie ulegają zmianie. 1.1 Wielkości fizyczne Wielkości fizyczne są tensorami, wśród których wyróżniamy skalary i wektory. Skalary są tensorami zerowego rzędu, a wektory pierwszego rzędu. Istnieją również tensory wyższych rzędów. Przykładem tensora drugiego rzędu jest np.: naprężenie, przenikalność elektryczna i moment bezwładności. Wektor jest to taka wielkość fizyczna, która posiada: · wartość, inaczej mówiąc długość lub moduł · punkt przyłożenia · kierunek – wyznaczony jest przez prostą, na której leży · zwrot określony jest jego początkiem i końcem Rys. 1 Obraz wektora na płaszczyźnie Można również powiedzieć, że wektor na płaszczyźnie to uporządkowana para liczb, a w przestrzeni trójwymiarowej to uporządkowana trójka liczb, które podają odpowiednie wartości składowe wektora [x, y, z]. Każde n liczb napisane w kolejności można traktować jako wektor w przestrzeni „n” wymiarowej, chociaż trudno sobie taką przestrzeń wyobrazić. Wektory mogą być swobodne lub związane, inaczej mówiąc, zaczepione. Wektory swobodne można przesuwać zarówno wzdłuż prostej, na której leżą jak i równolegle do tej prostej. Natomiast wektory związane można przesuwać tylko wzdłuż prostej, na której leżą, są one jakby „związane” z tą prostą. Wielkościami wektorowymi są np.: prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, moment siły, moment pędu itd. Skalary posiadają tylko wartość, nie posiadają natomiast punktu przyłożenia, kierunku i zwrotu. Przykładem wielkości skalarnych mogą być: gęstość, temperatura, masa, ciśnienie, objętość, praca itd. PYTANIA 1) Wymień rodzaje wielkości fizycznych. 2) Podaj definicję wektora oraz przykłady wielkości wektorowych. 3) Wymień rodzaje wektorów. 4) Co wyznacza kierunek wektora? 5) Czym się różnią wektory związane (zaczepione) od swobodnych? 6) Co to są skalary, czym się różnią od wektorów? Aforyzmy 1. Wszystko na świecie ma swoją wartość, ale mieć wartość, to jeszcze nie wszystko (skalar). Oprócz wartości trzeba mieć kierunek i być zawsze ku czemuś zwróconym, mając przy tym punkt odniesienia ściśle określony, (wektor). 2. Jednostka ma daną wartość lub zwrot jednostkowy, kilka jednostek razem to już szyk bojowy, (wersor i baza). 2.1 Wektory 2.1.1 Dodawanie wektorów swobodnych Najczęściej w fizyce stosuje się następujące metody dodawania wektorów swobodnych: metodę równoległoboku, metodę wieloboku zamkniętego, oraz metodę algebraiczną dodawania i odejmowania wektorów. Metoda algebraiczna polega na dodawaniu lub odejmowaniu poszczególnych składowych wektorów. 2.1.1.1 Metoda równoległoboku Metoda ta polega na budowaniu równoległoboku o bokach równoległych do wektorów A i B (jak na rysunku 2). Przekątna tego równoległoboku, której początek znajduje się we wspólnym punkcie będącym początkiem wektorów A i B jest wypadkową lub inaczej sumą tych wektorów A i B. Następnie do otrzymanej sumy A + B dodajemy podobnie wektor C, przesuwając go równolegle do wspólnego początku. Rys. 2 Dodawanie wektorów metodą równoległoboku 2.1.1.2 Metoda wieloboku zamkniętego Metoda wieloboku zamkniętego polega na tym, że do końca wektora A dołączamy początek wektora B, a do końca wektora B dołączamy początek wektora C itd. (Należy przy tym pamiętać, że wektory te przesuwamy zawsze tylko równolegle i wzdłuż prostej, na której leżą, jest to bowiem metoda dodawania wektorów swobodnych. Metoda dodawania wektorów związanych zostanie omówiona w punkcie 1.8.1.2). wypadkową albo sumę wektorów otrzymujemy łącząc początek wektora pierwszego z końcem wektora ostatniego. Rys. 3 Dodawanie wektorów metodą wieloboku zamkniętego 2.1.2 Rozkładanie wektora W na składowe S1 i S2 W celu rozłożenia wektora W na składowe S1 i S2 , które leżą na dowolnie wybranych prostych P1 i P2 przecinających się w punkcie A, będącym początkiem wektora W, należy z końca wektora W poprowadzić równoległe do prostych P1 i P2, w punkcie przecięcia równoległych z prostymi P1 i P2 zaznaczamy strzałką końce składowych S1 i S2 jak na rysunku 4. Rys. 4 Rozkład wektora na składowe 2.1.3 Nazwy przedrostków wielkości fizycznych oraz ich symbole Gdy jednostką wielkości fizycznej jest np.: metr, to wykorzystując poniższe przedrostki mamy: Jotta – 1024 Ym - jottametr Zetta - 1021 Zm - zettametr Eksa – 1018 Em – eksametr Peta – 1015 Pm – petametr Tera – 1012 Tm – terametr Giga – 109 Gm – gigametr Mega – 106 Mm – megametr kilo – 103 km – kilometr hekto – 102 hm – hektometr deka – 101 dam – dekametr bazowe jednostki fizyczne: m, g, A, W, V, Ω, s, N, Pa, itd. decy – 10-1 dm – decymetr centy – 10-2 cm – centymetr mili – 10-3 mm – milimetr mikro – 10-6 μm – mikrometr nano – 10-9 nm – nanometr piko – 10-12 pm – pikometr femto – 10-15 fm – femtometr atto – 10-18 am – attometr zepto – 10-21 – zm- zeptometr jokto – 10-24 – ym - joktometr PYTANIA 1) Omów na przykładach metody dodawania wektorów? 2) W jaki sposób dodajemy wektory metodą równoległoboku oraz wieloboku zamkniętego? 3) Opisać metodę rozkładania wektora na składowe. 4) Wymienić nazwy przedrostków wielkości fizycznych oraz podać dla nich odpowiednie wartości potęg. Aforyzmy 1. Chcąc cel wspólny osiągnąć, dodajmy swe siły, bacząc przy tym, by w sumie nie osiągnąć zera. Oto jest każdej idei bariera, (dodawanie wektorów). 2. Nauczmy się dzielić naszym wspólnym zadaniem skupiając swe siły w określonych kierunkach, wówczas tylko cel swój wzniosły osiągniemy na takich warunkach, (rozkład wektora na składowe). 3. Decy i centy, mili i mikro, nano i piko to są drobiazgi, ale za to deka, hekto i kilo, mega, giga i tera to już jest afera (małe i duże przedrostki wielkości fizycznych). 3.1 Podstawowe wzory z kinematyki Za pomocą wzorów matematycznych podaje się zarówno definicje różnych wielkości jak i prawa fizyczne. Jak odróżnić definicję od prawa? Znak równości w definicji odczytujemy jako: „jest to” lub „nazywamy”, a w prawach znak „ =” odczytujemy jako: „jest wprost lub ) odwrotnie proporcjonalne do...” 3.1.1 ruch jednostajny (v = const, a = = 0) Rozpatrując jakikolwiek ruch należy zwrócić uwagę na układ odniesienia – ponieważ ruch jest względny. Ruch odbywa się w czasie i przestrzeni. Mówimy, że przestrzeń jest izotropowa i jednorodna, ponieważ żaden kierunek ani punkt tej przestrzeni nie jest wyróżniony. O czasie można powiedzieć, że jest jednorodny, ponieważ dowolne zjawiska zachodzące w jednakowych warunkach w różnych chwilach czasu podlegają tym samym prawom. Z jednorodności czasu i przestrzeni wynika, że nie można ustalić położenia punktu względem przestrzeni. Dlatego możne mówić tylko o względności ruchu jednych ciał względem drugich. Ciało lub układ ciał względem których określa się ruch nazywamy układem odniesienia. Prędkość w ruchu jednostajnym wyrażamy wzorem : stąd mamy, że: s = vt Rys. 5 Zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnym prędkość średnia: prędkość chwilowa: 3.1.2 Ruch jednostajnie zmienny (v ≠ const, a = const) Cechą charakterystyczną tego ruchu w porównaniu z ruchem jednostajnym jest występujące tu przyspieszenie a. W fizyce wszelkie definicje poszczególnych wielkości podaje się najczęściej za pomocą wzorów np.: przyspieszenie średnie: przyspieszenie chwilowe: Δ – we wzorze tym oznacza zmianę w tym przypadku prędkości w czasie – Δt. Każda bezwzględna ) wielkość fizyczna posiada wymiar tzn. jednostki. Fakt ten ułatwia sprawdzenie poprawności pisanych wzorów, w których lewa strona równania musi mieć taki sam wymiar jak strona prawa. Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym tzn. przyspieszonym lub opóźnionym, wyraża się wzorem: znak „+” dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, a znak „–„ dla ruchu jednostajnie opóźnionego Sprawdźmy w tym wzorze jednostki; po obu stronach równania powinny być identyczne. Droga przebyta ruchem jednostajnie zmiennym w czasie t wyraża się wzorem: EMBED Equation.3 Drogę przebytą przez ciało liczbowo przedstawia na wykresie pole powierzchni zakreskowanej. Rys. 6 Pole powierzchni – jako droga przebyta przez ciało 3.1.3 Prędkość średnia Prędkość średnia jest to stosunek sumy dróg s1 i s2 do sumy czasów t1 i t2, w którym te drogi zostaną przebyte. A zatem: (1) Prędkość średnią w ruchu jednostajnie zmiennym można obliczyć ze wzoru: (2) gdzie: vo – prędkość początkowa, a vk – prędkość końcowa Aby się przekonać jak pożyteczne jest pojęcie prędkości średniej w ruchu jednostajnie przyspieszonym spróbujmy obliczyć vk jeśli mamy dane: a, v0 oraz drogę s przebytą przez ciało. Stwierdzimy wówczas ile trudności napotkamy jeśli nie skorzystamy ze wzoru (2). Korzystając zaś z tego pojęcia mamy: s = vśrt stąd: ponieważ: stąd: i ostatecznie otrzymamy: Rys. 7 Prędkość średnia w ruchu jednostajnie zmiennym Natomiast w ruchu jednostajnym jeśli ciało porusza się najpierw ze stałą prędkością v1, a następnie ze stała prędkością v2 i przebywa odpowiednio drogi s1 i s2 i jeśli s1 = s2, to prędkość średnią vśr obliczamy ze wzoru: Postać tego wzoru uzasadniamy poniżej w sposób następujący: jeśli na drodze s1 jedzie pojazd z prędkością np. v1 = 100 km/h, a na drodze s2 z prędkością v2 = 10 km/h, to prędkość średnia nie będzie na pewno, jak by się mogło wydawać, 55 km/h. Obliczamy ją bowiem dzieląc całkowitą drogę przebytą przez ciało, czyli s1 + s2 przez całkowity czas trwania ruchu t1 + t2, ale ponieważ: stąd ; oraz stąd podstawiając wielkości t1 i t2 do wzoru (1) mamy: gdy przyjmiemy, że s1 = s2 = s, co spełnione jest w przybliżeniu (np. w poruszającym się tłoku w cylindrze), to: Rys.8 Prędkość średnia w ruchu jednostajnym Rys. 9 Ruch jednostajny tłoka w cylindrze Często w zadaniach testowych pojawia się pytanie związane ze stosunkiem dróg przebywanych w ruchu jednostajnie przyspieszonym: a) w kolejnych sekundach, b) w czasie o odpowiedniej liczbie sekund. Stosunek dróg przebytych ruchem jednostajnie przyspieszonym w kolejnych sekundach: W pierwszej sekundzie: , ale ponieważ na początku pierwszej sekundy v1 =0, to w drugiej sekundzie: , ale v2 = at stąd: EMBED Equation.3 w trzeciej sekundzie: , ale stąd: stąd: s1 : s2 : s3 = : : Ogólnie można powiedzieć, że: stosunek dróg przebywanych w pierwszej sekundzie, drugiej sekundzie i w dalszych sekundach, mają się do siebie tak, jak kolejne liczby nieparzyste. s1: s2 : s3 : ...= 1:3:5:... Można również udowodnić, że drogi przebywane w jednej sekundzie, w dwóch sekundach, w trzech sekundach itd. mają się do siebie tak, jak kwadraty kolejnych liczb. s1 : s2 : s3: ...= : : = 12 : 22 : 32 : ... =1 : 4 : 9 : ... PYTANIA 1) Podać wzory na prędkość i drogę w ruchu jednostajnym. 2) Co to jest prędkość średnia? 3) Podać wzór na prędkość średnią w ruchu jednostajnie przyspieszonym. 4) Wyprowadzić wzór na prędkość średnią tłoka w cylindrze poruszającego się z prędkością v1 w jednym kierunku i v2 w drugim. 5) Co to jest przyspieszenie? 6) Co to jest przyspieszenie chwilowe? 7) Czym się różni prędkość chwilowa od średniej? 8) Czy prędkość i szybkość oznaczają to samo? Aforyzmy 1. Przy ocenie trudności, dziel je śmiało z przyjacielem, abyś ich nie musiał mnożyć w samotności. 2. O jakże łatwo pozorom ścisłości dajemy swą wiarę. Chcąc na przykład wyliczyć średnią z dwóch prędkości stałych myślisz by je dodać i przez dwa podzielić, tak jednak nie można, w tym jest sens odkrycia! Średnią można obliczyć dzieląc drogę przebytą przez czas jej przebycia, . 3.2 Zasady dynamiki Newtona 3.2.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona Zasada ta nie jest prawem przyrody, jest ona tylko postulatem istnienia układu inercjalnego tzn. takiego, w którym nie działa przyspieszenie, a = 0. Zasada ta mówi, że: „Jeśli na ciało nie działa żadna siła ) lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.” Rys. 10 Siły działające na ciało równoważą się Pierwszą zasadę dynamiki można sformułować w inny sposób: „Jeśli ciało, którego masa skupiona jest w jednym punkcie znajduje się w spoczynku ), to albo na ciało nie działa żadna siła albo siły działające tworzą wielobok zamknięty o wypadkowej równej zeru.” Przykład: ciężar Q zawieszony jest na dwóch linach tworzących kąty α z poziomem. Obliczamy wartości sił naciągu lin S1 i S2. Ciało o ciężarze Q zawieszone na linach pozostaje w spoczynku, wobec tego zgodnie z pierwszą zasadą Newtona wielobok sił działających na ciało jest zamknięty i w związku z tym ich wypadkowa jest równa zeru. Rys. 11 Wyznaczenie sił naciągu lin (Ciało pozostaje w spoczynku wielobok sił wobec tego jest zamknięty) Wysokość w trójkącie równoramiennym │S1│= │S2│= │S│dzieli podstawę Q na dwie równe części Q/2 i Q/2 możemy napisać: stąd . PYTANIA 1) Co mówi pierwsza zasada dynamiki Newtona? 2) Czy pierwsza zasada dynamiki Newtona jest prawem natury, czy tylko życzeniem (postulatem)? 3) Czy pierwsza zasada dynamiki Newtona może być w rzeczywistości zawsze spełniona? 4) Dlaczego pierwsza zasada dynamiki Newtona nie jest prawem natury? 5) W jakim przypadku, jeśli na ciało nie działa żadna siła, może się ono poruszać? 6) Dlaczego według pierwszej zasady dynamiki Newtona ciało ma się poruszać po linii prostej? Aforyzmy Jeżeli nic nie działa na Cię, albo to co działa znosi się wzajemnie, będziesz tkwił w bezruchu, albo jednostajnie bez kierunku zmiany dojdziesz do Nirwany. Czyż jest to możliwe? Byłoby tak, gdyby: pierwsza zasada Izaaka Newtona mogła być spełniona. Lecz marzenia te są nadaremne, zasada ta spełniona nie może być wszakże, jest to tylko postulat i w fizyce także, (pierwsza zasada dynamiki Newtona) 3.2.2. Druga zasada dynamiki Newtona Rys. 12 Siła F działająca na ciało o masie m Jeśli na ciało o masie m działa stała niezrównoważona siła F, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a, które jest wprost proporcjonalne do siły F i odwrotnie proporcjonalne do masy m tego ciała. Drugą zasadę dynamiki Newtona zapisujemy krótko w postaci wzoru: stąd F = m ∙ a Przyspieszenie średnie aśr jest to stosunek przyrostu prędkości Δv, do czasu Δt, w którym ten przyrost nastąpił. Przyspieszenie chwilowe określa się jako: 1.4.2.1 Jednostki siły Wychodząc ze wzoru: F = m ∙ a, możemy podać definicje poszczególnych jednostek siły. Układ m k s (tzn. metr, kilogram, sekunda) Układ c g s (tzn. centymetr, gram, sekunda) Jednostkami układu SI są: metr [m], kilogram [kg], sekunda [s], amper [A], kelwin [K], mol [mol], kandela [cd], oraz dwie jednostki uzupełniające radian [rad] i steradian [sr]. Metr [m] jest taką długością, na której mieści się 1 650 763. 73 długości fali λ fotonu uzyskanego z atomu kryptonu Kr8630 przy przechodzeniu elektronu z poziomu 5d5 na 2p10 w próżni ). Kilogram [kg] jest masą wzorca kilogramowego przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem. Sekunda [s] jest czasem trwania 9 192 631 770 okresów T = ; gdzie ν jest częstością kwantu otrzymanego przy przechodzeniu elektronu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego w atomie cezu Cs131. Rys. 13 Kąty – płaski [rad] i przestrzenny [sr] Definicje jednostek siły słowami można wypowiedzieć wykorzystując wzór F = m ∙ a, używając następującej „matrycy słownej”: np.: N. . .jest to siła, która masie . . .1kg nadaje przyspieszenie . . . .1 , w miejsce kropek wstawiamy odpowiednie nazwy jednostek definiowanych siły i odpowiednie dla nich jednostki masy oraz przyspieszenia. Można również łatwo przeliczyć jedne jednostki siły na drugie, przyjmując, że przyspieszenie ziemskie g = 9.81 m/s2 = 981 cm/s2 lub, że N = 1kg ∙ 1m/s2 = 103 g ∙ 102 cm/s2 = 105 dyn. dyna = 10-5 N PYTANIA 1) Co mówi druga zasada dynamiki Newtona i czym się różni od pierwszej? 2) Podać nazwy i definicje jednostek siły. 3) Co to jest niuton, kilogram siły, gram siły i dyna? 4) Ile kilogram siły ma niutonów? 5) Co jest większe niuton czy dyna? 6) Ile niuton ma dyn i ile dyna ma niutonów? Aforyzmy 1. Chcąc stan swój zmienić, stan ten, w jakim tkwimy niezależnie od tego, czy jest to spoczynek, czy ruch jednostajny, siły trzeba użyć, siły nienagannej. 2. Wiedzą dobrze nasze pany, trzeba siłą zmieniać stany. 3. Chcąc zwiększać swą szybkość w osiąganiu celu, 4. musisz więcej siły użyć przyjacielu. (II zasada dynamiki Newtona ). 1.4.2.2 Gęstość ρ (ro) – inaczej masa właściwa Mówimy, że gęstość ciała jest to stosunek masy ciała m do objętości V, jaką ta masa zajmuje. 1.4.2.3 ciężar właściwy ciała γ (gamma) stąd γ = ρ ∙ g Q – ciężar – jest to siła z jaką Ziemia przyciąga dane ciało Q = m ∙ g g – przyspieszenie ziemskie (g = 9.81m/s2 dla naszej szerokości geograficznej ) Jeśli ciało posiada gęstość np.: ρ = 1kg/m3, to ciężar właściwy tego ciała zgodnie z uzyskanym powyżej wzorem wynosi: Jak widać ciężar właściwy ciała i jego gęstość są liczbowo sobie równe chociaż są to zupełnie inne wielkości fizyczne i mają różne jednostki, a poza tym masa jest skalarem, a ciężar wektorem PYTANIA 1) Podaj definicję gęstości albo masy właściwej i jej jednostki. 2) Podaj definicję ciężaru właściwego i jego jednostki. 3) Jaki jest związek ciężaru właściwego z gęstością? Aforyzmy 1. Wszystko co istnieje, swe miejsce zajmuje. Im głębszy sens posiada jest pozornie mniejsze. Im bardziej jest rozległe i mgliście rozmyte, przestrzeni większej wymaga. Co jest jednak ważniejsze? Trudno orzec humaniście. Fizycy na tę okoliczność gęstość wymyślili, radząc z niej korzystać w odpowiedniej chwili. 2. Ciężar właściwy naszych wypowiedzi też się czasem zdarzy, lecz gdy nie wstawiamy zbędnych komentarzy. 3. Ciężar właściwy ludzkich wypowiedzi jest stosunkiem ciężaru, które one mają do ich objętości, w których się zawierają. (ciężar właściwy ). 4. A cóż to jest ciężar, którego dźwigamy? Ciężar jak wiadomo jest siłą ciążenia, którego nam nie szczędzi nasza matka Ziemia. 1.4.2.4 Pęd i popęd Pęd jest to iloczyn masy ciała i jej prędkości. Popęd (impuls siły) jest iloczynem, siły i czasu jej działania. Rys. 14 Działająca na ciało siła nadaje ciału pęd p F ∙ Δt = Δp , popęd bywa czasem oznaczany literą π Rys. 15 Działający na ciało impuls siły zmienia pęd ciała z mv1 na mv2 (np.: kopnięcie piłki) Gdybyśmy np.: zechcieli zatrzymać gwałtownie (tzn. w czasie Δt → 0) poruszający się samochód posiadający pęd mv1, tzn. zmniejszyć jego pęd do zera, to należałoby użyć nieskończenie wielkiej siły, która niewątpliwie zmiażdżyłaby samochód. Efekt działania takiej siły byłby taki sam jak zderzenie się samochodu ze sztywną przeszkodą. Innym przykładem wiążącym pęd z popędem jest kulka zawieszona na nici, do której przyczepiona jest od spodu druga identyczna nitka, na którą działa siła F jak na rys. 16. Zmiana pędu kulki równa jest jej popędowi. Gdy siłę F zwiększa się powoli, to zerwie się górna nitka (powoli tzn. Δt → ∞) ponieważ oprócz siły F działa ciężar Q. Gdy siła F wzrasta gwałtownie zerwie się dolna nitka (gwałtownie tzn. Δt → 0) siła F musiałaby dążyć do nieskończoności. Aby nadać ciału pęd, czyli przesunąć kulkę. Takiej nieskończenie dużej siły dolna nitka nie wytrzyma i zerwie się. Rys. 16 Zrywanie nitek w punkcie (1) lub (2) w zależności od szybkości zwiększania siły F Rys. 17 Wprawianie w ruch ciężkiego wozu małą siła F w długim czasie Δt. „Działając wytrwale uzyskujemy określony cel”. W przypadku ogólnym, w którym oprócz zmiany prędkości ciała może ulegać zmianie jego masa, np: w czasie lotu rakiety, (ubywa paliwa), lub gdy masa ciała zależy od jego prędkości, (jest szczególnie jest to widoczne przy prędkościach zbliżonych do prędkości światła), drugą zasadę dynamiki Newtona zapisuje się ściślej w ogólniejszej postaci: Gdyby F = 0, to p = const – warunek ten spełnia I zasada dynamiki Newtona. Po zróżniczkowaniu powyższego wyrażenia, korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji (uv)’ = u’v + uv’, mamy: Najczęściej m = const i w związku z tym dm/dt = 0, wówczas PYTANIA 1) Co to jest pęd i popęd? Omówić te pojęcia na przykładach (piłki nożnej, kuleczki zawieszonej na nitce i pociąganej za identyczną nitkę od dołu, wprawianie w ruch ciężkiego wózka z węglem przez ludzi itp.). 2) Jaki efekt można by zaobserwować przy gwałtownym zatrzymaniu pojazdu samochodowego jadącego z prędkością np.: 40 km/h? 3) Która z dwu nitek zerwie się pierwsza i dlaczego, nitka, na której wisi kuleczka, czy nitka, do której przyłożona jest siła, która będzie narastać: a) powoli, b) gwałtownie? 1.4. 2. 5 Zasada zachowania pędu W układzie izolowanym suma pędów jest stała. Układ izolowany ) to taki układ, który nie wymienia z otoczeniem masy ani energii. Układ izolowany definiuje się również jako układ, na który nie działają niezrównoważone siły zewnętrzne. Sumaryczny pęd wszystkich cząsteczek jest wektorem, który nie ulega zmianie bez ingerencji sił zewnętrznych. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, jeśli F = 0, czyli dp/dt = 0, to p = m ∙ v = const, (ponieważ funkcja, której pochodna jest równa zeru jest stała). Rys. 18 Mała kulka dopędza dużą (v1 > v2) i po zderzeniu zmniejsza swą prędkość z v1 do u1 Przy zderzeniu doskonale sprężystym to jest takim, w którym kulki po zderzeniu odbijają się od siebie mamy: m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 = const gdzie: v1, v2 – prędkości przed zderzeniem u1, u2 – prędkości po zderzeniu Przy zderzeniu niesprężystym, to jest takim, w którym kulki po zderzeniu stanowią jedno ciało o masie m1 + m2, mamy: m1v + m2v2 = (m1 + m2) ∙ v v – prędkość ciała o masie m1 + m2 po zderzeniu niesprężystym. Przykładem procesu, w którym spełniona jest zasada zachowania pędu jest strzał z karabinu. Przed wystrzałem pęd p = 0 (pocisk spoczywa w nieruchomej lufie). Po wystrzale, jeśli tylko pocisk nie wychodzi poza granice układu zamkniętego. suma pędów pocisku i karabinu nie uległa zmianie i nadal ∑p = 0, Rys. 19 Zasada zachowania pędu na przykładzie wystrzału pocisku Pęd układu względem jego środka masy jest zawsze równy zeru. Ilustracją tego stwierdzenia może być np. eksplozja lecącego pocisku, którego odłamki lecą dalej po takim torze jakim by leciał cały pocisk. stąd mpvp – mkvk = 0 mpvp = mkvk Aby rakieta o masie mr mogła poruszać się z prędkością vr, to masa spalonego gazu mg oraz jego prędkość vg z jaką wyrzucona zostaje na zewnątrz muszą, zgodnie z zasadą zachowania pędu spełniać następujące równanie: mgvg = mrvr Rys. 20 Rakieta i gaz w układzie zamkniętym Jeżeli biegnący człowiek, o masie mc, z prędkością vc wskoczy na spoczywającą łódkę, to pęd człowieka wraz z łódką o masie M będzie taki sam jak pęd samego człowieka przed wskoczeniem na łódkę, tzn. mcvc = (M + m) ∙ vł Rys. 21 Człowiek wskakujący do łódki 1.4.2 .6 Układy inercjalne i nieinercjalne Układy inercjalne to takie, w których nie występują siły bezwładności, tzn. przyspieszenie a = 0. Poruszają się one zatem względem siebie ruchem jednostajnym. Układów takich może być nieskończenie wiele, jeśli tylko znajdziemy taki jeden, że będzie się on poruszał ruchem jednostajnym względem innych, to i one względem niego poruszać się będą ruchem jednostajnym. PYTANIA 1) Podaj zasadę zachowania pędu. 2) Podaj definicję układu zamkniętego oraz układu izolowanego. 3) Wyjaśnij zmianę pędu cząsteczki zderzającej się ze ściankami naczynia w układzie izolowanym 1.4.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FA, to ciało B działa na ciało A, taką samą siłą FB lecz przeciwnie skierowaną. Siły FA i FB nie znoszą się, ponieważ są przyłożone do różnych ciał – nie można mówić również o wypadkowej tych sił. Rys. 22 Ciała działające na siebie wzajemnie Aforyzmy 1. Cóż to jest popęd? Młodzieniec zapyta. Siła namiętności i czas jej działania, odpowiesz i kwita, (zmiana pędu). 2. Młody człowiek w popęd hojnie jest wyposażony i często nieświadomie tym impulsem siły zostaje zwiedziony. Pędu swego zmienić on łatwo nie może, dopiero gdy się zderzy w swym pędzie szalonym z przeszkodą trudną do przebicia, skutkiem czego pęd jego ulega zmianie, a także czas i treść jego przeżycia. 3. Im szybciej pęd swój zmienić chcemy, tym więcej siły potrzebujemy. 5. Czymże pęd jest? Nie wiecie! Iloczynem masy i prędkości przecież, (p = mv). 6. Pęd jest w fizyce wielkością przezacną, posiada wartość i jest skierowany, ma punkt zaczepienia, bo jest szanowany. Szacunek do pędu jest i w tym zawarty, że cechuje go stałość i to nie na żarty. (zasada zachowania pędu w układzie izolowanym). 7. Nic pędu nie zmienia w układzie zamkniętym, chyba że obca siła, albo jakiś święty. 8. W układzie zamkniętym wielce szanowanym, na który obce siły nie działają żadne, otoczenie masy również nie ukradnie. 9. Jaką wielką mądrość dałeś nam o Panie, w związku pędu z popędem wieczne obcowanie. (Popęd jest równy zmianie pędu). 10. Wszystko, co zamierzasz w życiu swym osiągniesz, jeśli będzie to tylko możliwe, gdy z mądrości fizycznych skorzystasz skwapliwie i wytrwale będziesz dążył do celu, mając nawet siłę niewielką drogi przyjacielu. 11. Chcąc zmienić swój stan, albo cel osiągnąć, drogi przyjacielu, musisz dążyć siłą woli wytrwale do celu. 12. Jeśli zmian dokonać chcesz, musisz siłą działać w odpowiednim czasie. Jeśli siły masz małe, czas musisz wydłużyć, jeśli czasu masz mało, dużej siły musisz użyć. Albowiem nieubłagane są prawa natury, aby zmianę pędu dokonać, musisz ciało impulsem siły potraktować z góry. 13. Mówiąc o sile, nie wolno myśleć jedynie o mięśniach do przemocy skorych, byłaby to myśl ludzi zaiste słabych i przewlekle chorych. Sił potęga co nami miota, to siły umysłu i serc ochota. 14. Każdej akcji towarzyszy reakcja. Mógłby ktoś zapytać to po co ta akcja? Taka jest jednak istota natury wszechświata, że dobre ze złym zawsze się przeplata. 15. Jeśli ciało działa na ciało z pewną jakąś siłą, to reakcja może być miłą albo też niemiłą. Trzecia zasada dynamiki Newtona, tak jest ułożona. 1.4.4 Zderzenia sprężyste i niesprężyste W zderzeniach sprężystych spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej i pędu. W zderzeniach nie sprężystych obowiązuje zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii w sensie ogólnym. Natomiast nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej, ponieważ część energii zamienia się w ciepło. Rys. 23 Zderzenie nie centralne równych mas, gdy jedna z nich spoczywa, to po ich zderzeniu, kąt między ich wektorami prędkości wyniesie 90o Rys. 24 Podczas zderzenia pędzącej większej masy z nieruchomą mniejszą masą. Kąt między torami ruchu mas po zderzeniu będzie mniejszy od 90˚ (Większa masa zabiera jakby ze sobą mniejszą masę) Rys. 25 Podczas zderzenia pędzącej mniejszej masy ze spoczywającą większą masą. Kąt między torami mas po zderzeniu będzie większy od 90˚ (W skrajnym przypadku np. piłka po zderzeniu się ze ścianą może się odbić nawet pod kątem 180o ) m1=m2 Rys. 26 Zderzenie centralne dwóch ciał o równych masach m1=m2, jedno z ciał m2 pozostaje przed zderzeniem w spoczynku Uwaga do rys. 26: gdy m1 = m2, v1 > 0, v2 = 0, to po zderzeniu centralnym kulka o masie m1 zmniejszy swoją prędkość z v1 do zera, natomiast druga kulka o masie m2 osiągnie prędkość v2 = v1. Ten fakt wiąże się ze spowalnianiem neutronów w ciężkiej wodzie (neutron o masie mniejszej niż cząstka wody D2O zmniejszy swoją prędkość powodując zmniejszenie prędkości cząstki D2O). PYTANIA 1) Co mówi trzecia zasada dynamiki Newtona? 2) Czy w przypadku trzeciej zasady dynamiki Newtona można mówić o wypadkowej dwóch sił? 3) Od czego zależą kąty, które tworzą wektory prędkości po zderzeniu nie centralnym ciał o różnych masach (przedstaw na rysunkach poszczególne przypadki) 1.5 Praca Praca jest to iloczyn skalarny siły i przesunięcia gdzie F = const. Jeśli zwrot wektora siły jest zgodny ze zwrotem wektora przesunięcia, to wtedy kąt α = 0. Z uwagi na to, że cos0˚ = 1 mamy: W = F · s Rys. 27 Siła działająca zgodnie z przesunięciem Jeśli na masę działamy siłą skierowaną pod pewnym kątem do przesunięcia, to zgodnie z definicją iloczynu skalarnego dwóch wektorów mamy: W = F · s · cosα Gdzie kąt α jest kątem zawartym między kierunkiem działania siły i kierunkiem przesunięcia, tak jak na rys. 28. Rys. 28 Siła działająca pod kątem α do przesunięcia Z rys. 28 widać, że: stąd Fx = F · cosα Ogólnie rzecz biorąc możemy rozpatrzyć następujące przypadki gdy: α = 0˚ → cos0˚ = 1 stąd W = F · s gdy siła działa prostopadle do przesunięcia, to: α = 90˚ → cos90˚ = 0 stąd W = 0 gdy siła działa w kierunku przeciwnym do przesunięcia, to: α = 180˚ → cos180˚ = - 1 stąd W = - F · s 1.5.1 Siły zachowawcze (grawitacyjne) i nie zachowawcze (tarcia) Siłę, która na torze zamkniętym nie wykonuje pracy nazywamy siła zachowawczą (praca, a raczej energia tu została zachowana). Jeśli siła na torze zamkniętym wykonuje pewną pracę np. w przypadku sił tarcia, to siła taka jest nie zachowawcza ponieważ energia mechaniczna nie została zachowana – zamieniła się ona na ciepło. Siły zachowawcze skierowane są do źródła siły zewnętrznej np.: w polu grawitacyjnym, a siły nie zachowawcze w kierunku przeciwnym do kierunku siły wywołującej ruch. Księżyc krążąc dookoła Ziemi nie wykonuje pracy ). 1.5.2 Jednostki pracy Układ m k s 1J jest to praca, którą wykonuje siła 1N na przesunięciu 1m. kGm jest to praca, którą wykonuje siła 1kG na przesunięciu 1m. 1.6 Moc Moc jest to stosunek pracy do czasu (definicje i oznaczenie poszczególnych wielkości przyjmujemy podobnie jak wyżej) Jednostki mocy: Poza tym jednostką mocy jest koń mechaniczny KM: Aforyzm Chociaż nie każdy człowiek końskie zdrowie ma, to moc jego w koniach mechanicznych, zawsze zmierzyć się da. 1.6.1 Sprawność η (eta) Sprawność η jest to stosunek pracy użytecznej Wu do pracy włożonej Ww przy czym: gdzie: Ww = Wu + Wr Wr - praca „rozproszona” (dyssypacji) zamieniona na ciepło Wiadomo, że: stąd Wu = Pu · t 1.6.2 Sprawność układu złożonego Sprawność całkowita (ηc) układu złożonego przedstawionego na rys. 29 jest iloczynem sprawności poszczególnych jego członów: Rys. 29 Sprawność całkowita układu złożonego Traktując ten złożony układ jako jedną całość, zgodnie z definicją sprawności mamy: Udowodnimy, że sprawność ηc = η1 · η2 · η3 wynika to z przeprowadzonego poniżej rozumowania: stąd: Wu1 = Ww1 · η1, Wu2 = Ww2 · η2 Wu3 = Ww3 · η3 z rys. 29 wynika, że Ww3 = Wu2 oraz, że Ww2 = Wu1, mamy zatem: PYTANIA 1) Podaj definicję pracy i napisz wzór na pracę. 2) W przypadku ogólnym we wzorze na pracę występuje cosα, podać między jakimi wielkościami on występuje. 3) Podać przykłady pracy ujemnej. 4) Jakie są jednostki pracy? 5) Co jest większe dżul czy kilogramometr? 6) Ile kilogramometr ma dżuli? 7) Co jest większe dżul czy erg? 8) Do jakiego układu jednostek należy erg i dyna? 9) Ile dżul ma ergów i ile erg ma dżuli? 10) Czy księżyc krążąc wokół Ziemi wykonuje jakąś pracę? 11) Co to jest moc? 12) Jakie są jednostki mocy? 13) Co to jest wat i koń mechaniczny? 14) Ile koń mechaniczny ma kGm/s, a ile watów? (uzasadnić) 15) Co to jest sprawność? 16) Co to jest moc użyteczna i moc włożona lub praca użyteczna i praca włożona? 17) Dlaczego praca włożona jest większa od pracy użytecznej? 18) W jaki sposób można wykazać, że sprawność układu złożonego jest równa iloczynowi sprawności poszczególnych elementów układu? Aforyzm Jeśli dwóch ludzi kolejno wykonuje pracę, każdy z nich po części, to sprawność ich się zmniejsza, zamiast się powiększyć. (Sprawność układu złożonego). 1.7 Rzuty 1.7.1 Rzut pionowy (zasada zachowania energii) Energia jest to zdolność do wykonywania pracy i mierzy się ją w takich samych jednostkach jak pracę. Ciało znajdujące się w spoczynku na wysokości h posiada energię potencjalną Ep = mgh i energię kinetyczną , ponieważ v = 0. Przy rzucaniu ciała pionowo do góry z prędkością v0 nadajemy mu energię kinetyczną Ek = mv02/2 wówczas Ep = 0 ponieważ h = 0. Rys. 30 Ciało rzucone do góry z prędkością v0 wznosi się na wysokość h Ciało wyrzucone pionowo do góry porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, a zatem: v = v0 – g · t po uzyskaniu maksymalnego wzniesienia v = 0, czyli: v0 – g · t = 0 stąd g · t = v0 oraz Jest to czas wznoszenia się ciała do góry (t = tw), z prędkością początkową vo Przy spadaniu ciała mamy: v = g · t ponieważ prędkość początkowa v0 w tym przypadku jest równa zeru, stąd czas spadania t: t = ts Można doświadczalnie stwierdzić, że tw = ts i potwierdzić istnienie zasady zachowania energii. Można również odwrotnie, wyjść z zasady zachowania energii i wyciągnąć wniosek, że tw = ts. Całkowita energia mechaniczna ciała jest stała Ec = Ek + Ep = const (Wyrażenie to słuszne jest dla próżni, gdzie nie ma zamiany energii na ciepło w procesie tarcia ciała o powietrze). Podstawiając do wzoru , otrzymujemy: stąd 2gh = v02 mnożąc obie strony przez m/2 mamy: Energia potencjalna, jaką ciało uzyskuje na wysokości h jest równa energii kinetycznej, którą nadano ciału wyrzucając je z prędkością v0. Fakt ten potwierdza zasadę zachowania energii. Przy swobodnym spadku ciała z wysokości h obliczamy t ze wzoru: natomiast przy rzucie ciała do góry: po wstawieniu za t = v0/g otrzymamy: W rzucie do góry otrzymaliśmy identyczny wzór jak przy swobodnym spadku. Biorąc pod uwagę, że: Ep = mgh oraz, że mamy: Ponieważ g · t = v, otrzymujemy znowu: Aforyzm 1. W górę wspinać się można coraz wolniej, lecz na dół spadać z góry, nie ma już przeszkód takiej natury. 3. Czas wznoszenia i czas spadku, jest jednaki nie z przypadku. 1.7.1.1 Przykład względności ruchu w rzucie pionowym W przytoczonych poniżej dwóch przykładach, wykazane zostanie, jak ważne jest, przyjęcie właściwego punktu odniesienia dla prostoty rozwiązywania wszelkiego rodzaju zadań, Przykład 1 Ze wznoszącego się do góry ruchem jednostajnym balonu wypada kamień. Znaleźć wzór według, którego można dla każdej chwili obliczyć odległość między balonem a kamieniem. Punktem odniesienia względem, którego rozpatrywać można ruch obu ciał może być: Ziemia, balon, kamień, a także ten punkt przestrzeni, w którym kamień wypadł z balonu. Najwłaściwszym punktem odniesienia, jak łatwo się przekonać, jest w tym wypadku balon. Kamień względem balonu w chwili wypadania był w spoczynku. Drogę s jaką przebywa kamień względem balonu wyraża wzór: Gdybyśmy jednak układ odniesienia umieścili nie w balonie ale np.: w tym punkcie, w którym kamień wypadł z balonu, rozwiązanie staje się dość mozolne. Rozwiążmy go dla przykładu. Należy zauważyć, że kamień po opuszczeniu balonu wznosił się będzie jeszcze do góry ruchem jednostajnie opóźnionym w czasie t1 = v0/g. Droga s1 jaką on przebył do chwili gdy jego prędkość zmaleje do zera wyraża się wzorem: w tym samym czasie t1 balon przebył drogę sb: Rys. 31 Wznoszący się balon, z którego w pewnej chwili wypada kamień Droga sb jest większa od drogi s1 jaką przebył w owym czasie kamień. Droga s, którą przebywa balon w stosunku do kamienia (lub odwrotnie tzn. kamień w stosunku do balonu) wyrazi się więc wzorem: gdzie t* - czas, w którym kamień spada po osiągnięciu maksymalnej wysokości a zatem: t* = t – t1 lub t = t* + t1 przyjmując, że: t = t* + t1 = t* + v0/g po wstawieniu za t do wzoru na mamy: Otrzymamy zatem dokładnie takie samo wyrażenie na s jak poprzednio, a zatem wzór , (aby to zobaczyć wystarcza jedynie za t wstawić: ) j.w., a zatem wzór prawidłowo określa drogę kamienia względem balonu. Na podstawie tego przykładu widać jak można skomplikować pewne problemy jeśli nie właściwie przyjmie się punkt odniesienia Przykład 2 Innym tego typu przykładem jest zadanie ze zgubionym kołem ratunkowym przez wioślarza, który po czasie np.: t = 30 min zauważył jego brak i kiedy zawrócił znalazł zgubiony przedmiot w odległości np.: s = 6 km od miejsca, w którym wypadło mu zgubione koło. Na podstawie tych danych należy obliczyć prędkość nurtu rzeki. Zadanie można łatwo rozwiązać jeśli za punkt odniesienia przyjmie się nurt wody w rzece, względem której zgubiony przedmiot spoczywa. Mamy wówczas: Problem skomplikowałby się znacznie gdyby za punkt odniesienia przyjęto np.: most na rzece lub dowolny punkt brzegu rzeki. Warto zauważyć, że w obu tych przypadkach łatwiejszy sposób rozwiązania był ten, w którym punktem odniesienia był obiekt, względem którego drugi obiekt był nieruchomy. PYTANIA 1) Czy czas wznoszenia i czas spadku są takie same? Podać przykłady i uzasadnić. 2) Jak obliczamy czas wznoszenia się ciała do góry w rzucie pionowym? 3) Jakim ruchem ciało wznosi się do góry i dlaczego? 4) Jaki jest wzór na prędkość w rzucie ciała do góry? 5) Jaką prędkość uzyskuje ciało w chwili maksymalnego wzniesienia się do góry? 6) Czy energia kinetyczna zawsze jest równa energii potencjalnej? 7) Podać jak należy rozumieć stwierdzenie, że energia kinetyczna równa jest energii potencjalnej? 8) Jak należy rozumieć zasadę zachowania energii w rzucie pionowym? 9) Od czego i w jaki sposób zależy wysokość, na jaką ciało wzniesie się do góry? 10) Wykazać, że wzory na wysokość przy wznoszeniu się i przy opadaniu są identyczne chociaż mają różną postać. 11) Wykazać, że obowiązuje zasada zachowania energii w rzucie pionowym chociaż ciało po spadnięciu nie posiada energii kinetycznej (ponieważ przestało się poruszać, ani energii potencjalnej – wyjaśnić dlaczego). Aforyzm Chcąc ułatwić zadania rozwiązanie, zwróć uwagę na bezruch mój Panie. 1.7.2 Rzut ukośny – jako ruch złożony W rzucie ukośnym wyrzucamy ciało pod pewnym kątem α z określoną prędkością vo. Zadanie polega na znalezieniu maksymalnej wysokości , hmax na jaką się ciało wzniesie, oraz kąta α pod jakim należy ciało wyrzucić, aby osiągnęło ono zasięg maksymalny s=smax W rzucie ukośnym mamy: Dane: wektor Szukane: 1) hmax 2) α, dla którego s = smax Rys. 32 Zasięg s i wysokość maksymalna hmax w rzucie ukośnym Wektor rozkładamy na składowe vx i vy, których wartości znajdujemy z zależności trygonometrycznych: stąd vx = v0 cosα vy = v0 sinα W rzucie pionowym: gdzie . W przypadku rzutu ukośnego musimy zamiast v0 wstawić składową vy, która jest skierowana pionowo do góry, tak jak v0 w rzucie pionowym. Wobec tego t będzie w tym przypadku określone wzorem: po podstawieniu za vy mamy: stąd po uproszczeniu otrzymujemy odpowiedź na pytanie o wysokość maksymalną jaką ciało osiągnie w rzucie ukośnym: Jeżeli mamy do czynienia z jakimkolwiek ruchem musimy zawsze na początku rozważań zadać sobie pytanie – jaki to jest ruch. W tym przypadku ciało porusza się wzdłuż osi x ruchem jednostajnym, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona, ponieważ wzdłuż osi x nie działa żadna siła ). Siła grawitacji działa bowiem tylko wzdłuż osi y. Możemy więc napisać wzór na drogę w ruchu jednostajnym: s = vx tx = vx 2t tx – całkowity czas lotu ciała, tx = tw + ts, tx = 2t ponieważ tw = ts = t, ale wobec tego: ponieważ vx = v0 cosα, stąd: ponieważ 2 sinα cosα = sin2α, to: s = smax sin2α = 1 czyli gdy 2α = 90˚, stąd α = 45˚ - i oto otrzymaliśmy odpowiedź na pytanie pod jakim kątem należy wyrzucić ciało (w próżni )), aby osiągnęło ono zasięg maksymalny. Torem ciała jest parabola. PYTANIA 1) Co jest dane a czego szukamy w rzucie ukośnym? 2) Z jakiego wzoru korzystamy zwykle przy obliczaniu wysokości maksymalnej w rzucie ukośnym – co wstawia się w tym przypadku za czas wznoszenia? 3) Czy czas wznoszenia w rzucie ukośnym wyraża się takim samym wzorem jak w rzucie pionowym? 4) Co wstawiamy zamiast vo do wzoru na czas wznoszenia się ciała w rzucie ukośnym? 5) Jak, korzystając z funkcji trygonometrycznych, wyznaczyć vy i vx? 6) Jeśli rozważamy problemy z kinematyki, to jakie pytanie należy sobie postawić na początku rozważań? 7) Czy pozioma składowa prędkości w rzucie ukośnym jest stała w czasie lotu ciała czy się zmienia? 8) Czy w kierunku poziomym w przypadku rzutu ukośnego działa jakaś siła? 9) Co wiemy z I zasady dynamiki Newtona, w przypadku jeśli ciało spoczywa? 10) Czy jeśli na ciało nie działa żadna siła, to czy ciało owe będzie się poruszać? Jeśli tak, to jakim ruchem i dlaczego? 11) Jeśli wiemy, że w kierunku poziomym, w rzucie ukośnym, jest ruch jednostajny, to jakim wzorem wyrazi się droga w tym ruchu? 12) Jak długo ciało porusza się w kierunku poziomym w rzucie ukośnym ciała? 13) Jak określić czas lotu ciała w rzucie ukośnym? 14) Czemu się równa 2 sinα cosα? 15) Jakim wzorem określa się zasięg rzutu w rzucie ukośnym? 16) Jakiego kąta sinus ma największą wartość i ile ona wynosi? 17) Pod jakim kątem należy ciało wyrzucić w próżni, aby miało ono największy zasięg? 18) W jaki sposób zmienia się składowa vy w rzucie ukośnym? Aforyzm Im większy zasięg ma mieć twa idea, tym większą prędkość należy jej nadać i kąt wyrzutu dobrać odpowiedni. Jeśli strzelisz nią w górę, do nieba poleci, a jeśli w poziomie płasko w ziemię się zaryje. Pod odpowiednim kątem należy ją rzucić niech trafi do ludu i jego oświeci. Ona tylko wówczas najbardziej odżyje. (Zasięg w rzucie ukośnym zależy od wielkości prędkości i kąta wyrzutu). 1.7.3 Rzut poziomy – przykład ruchu złożonego Dane: h, v0 Szukane: s, vk Rys. 33 Zasięg rzutu i prędkość końcowa Ruch w kierunku poziomym jest ruchem jednostajnym, ponieważ w tym kierunku nie działa żadna siła, wobec tego: s = v0 t ponieważ czas przesuwania się ciała w ruchu poziomym jest jednocześnie czasem spadania ciała, a ze wzoru mamy wobec tego , z twierdzenia Pitagorasa mamy: po wstawieniu za t2 wartości 2h/g mamy: PYTANIA 1) Jak jest skierowana prędkość końcowa w rzucie poziomym? 2) Która z prędkości, czy też obie (pozioma i pionowa) ulegają zmianie w czasie trwania ruchu? 3) Jak długo ciało przesuwa się w rzucie poziomym? 4) Z jakiego twierdzenia geometrycznego korzystamy przy obliczaniu prędkości końcowej przy uderzaniu ciała w ziemię w rzucie poziomym? 1.8 Pole grawitacyjne Pole grawitacyjne jest to przestrzeń, w której działają siły grawitacyjne na ciała umieszczone w tej przestrzeni. Przestrzeń ta charakteryzuje się natężeniem pola γ i potencjałem V. Rys. 34 Obraz linii sił pola grawitacyjnego dla punktu materialnego 1.8.1 Prawo grawitacji Newtona (ciążenia powszechnego) Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie, a zatem każde dwa ciała przyciągają się siłą F wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (M · m) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między ich środkami ciężkości (r2). gdzie: G = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2 – stała powszechnej grawitacji równa liczbowo sile z jaką dwie masy jednokilogramowe przyciągają się z odległości 1m. Siłę F można sobie wyobrazić jako ciężar ciała Q = mg = F = . Jeśli więc znamy masę M i promień r ciała wytwarzającego pole to możemy obliczyć przyspieszenie (ziemskie) g, które jak widać zależy odwrotnie proporcjonalnie do r2, a więc nie jest stałe i zależy wprost proporcjonalnie od masy M ciała wytwarzającego to pole. 1.8.1.1 Środek ciężkości (środek masy) Środek ciężkości – jest to punkt, w którym przyłożona jest siła wypadkowa W wszystkich elementarnych sił Fi działających na ciało. Rys. 35 Środek ciężkości w punkcie zaczepienia siły W Rys. 36 Środki ciężkości S znajdują się tu poza ciałami Aby znaleźć punkt, w którym zaczepiona jest wypadkowa W, należy zapoznać się z metodami dodawania wektorów związanych. PYTANIA 1) Podaj definicję pola grawitacyjnego. 2) Wymień wielkości charakteryzują pole grawitacyjne. 3) Podać treść prawa grawitacji. 4) Podać wartość i jednostki stałej grawitacji. 5) Od czego zależy natężenie pola grawitacyjnego? 6) Co oznacza r występujące w prawie grawitacji? 7) Co nazywamy środkiem ciężkości ciała? 8) Czy środek ciężkości ciała może znajdować się poza ciałem? 1.8.1.2 Metody dodawania wektorów związanych (równoległych) 1.8.1.2.1 Metoda graficzna W celu omówienia powyższych metod należy wprowadzić pojęcie ciała doskonale sztywnego oraz momentu siły. Ciała doskonale sztywne to takie ciała, które nie ulegają odkształceniu pod wpływem działania sił.. W celu dodania dwóch sił F1 i F2 równoległych będących wektorami związanymi, wprowadzamy dodatkowo, dwie siły P równe i przeciwnie skierowane, działające wzdłuż tej samej prostej jak na rys. 37. Dzięki temu znajdujemy siły W1 i W2. Po zsumowaniu tych sił (metodą równoległoboku) mamy siłę: W = W1 + W2 = F1 + F2 Działającą w odległości x od punktu przyłożenia siły F1. Rys. 37 Graficzny sposób wyznaczania punktu przyłożenia i siły wypadkowej W 1.8.1.2.2 Metoda obliczeniowa Wypadkową W można znaleźć korzystając z pojęcia momentu siły. 1.8.1.2.2.1 Moment siły Moment siły - jest iloczynem wektorowym dwóch wektorów i . Zwrot momentu siły wyznaczamy stosując regułę śruby prawoskrętnej, tzn. jeśli palce prawej ręki ustawimy zgodnie z promieniem r i będziemy kierować je w stronę siły F po najkrótszej drodze, to wyprostowany kciuk wskaże zwrot wektora M, jego wartość bezwzględną określamy z rysunku 37b: M =F r sin α = F x gdzie: x = r sinα Rys. 37b Obraz momentu siły Moment siły wypadkowej W względem punktu jej zaczepienia jest równy zeru Mw = W · 0 = 0 i musi być równy sumie momentów sił składowych F1 i F2 względem tego samego punktu O. A zatem algebraiczna (tzn. opatrzona znakiem) suma momentów sił F1 i F2 jest też równy zeru: MF1 + MF2 = 0, Jeśli przyjmujemy, że siła obraca ciało zgodnie ze wskazówkami zegara to moment siły jest dodatni , a jeśli przeciwnie to ujemny. Wobec tego (patrząc na rys. 37) mamy: F2(l – x) – F1x = 0 MF1 = F1x = F2(l – x) = MF2 F1x = F2l – F2x F1x + F2x = F2l x(F1 + F2) = F2l stąd: Ogólnie odległość środka ciężkości x lub środka masy xś od jednego dowolnie wybranego kierunku działania siły lub środka ciężkości jednej z mas można napisać w postaci wzoru: , podobnie wyznacza się yś, oraz zś gdzie: mi – masa i-tego elementu xi – odległość środka ciężkości i-tego elementu od wybranego kierunku działania siły lub środka ciężkości wybranej masy. PYTANIA 1) W jaki sposób można dodawać wektory związane? Podać dwa sposoby. 2) Co to jest ciało doskonale sztywne? 3) Czy ciało doskonale sztywne istnieje w przyrodzie? 4) Dlaczego, chociaż w przyrodzie nie występują ciała doskonale sztywne, ani ciała doskonale czarne, to jednak wprowadza się je do rozważań? 5) W jakim sensie można twierdzić, że doskonałość świata polega na jego niedoskonałości? 6) W jaki sposób można wyznaczyć środek ciężkości ciała korzystając z pojęcia momentu siły? Podać definicję momentu siły. 1.8.2 Natężenie pola grawitacyjnego Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie jest to stosunek siły, F, jaka będzie działać na masę m w tym punkcie do masy m, tam umieszczonej. ponieważ F = mg stąd natężenie pola liczbowo jest równe przyspieszeniu . (Jeśli w danym punkcie pola nie ma masy, to nie ma sensu mówić o przyspieszeniu, natomiast, natężenie pola ma sens, ponieważ charakteryzuje ono samo pole – jego gotowość do działania jeśli pojawi się tylko w nim jakaś masa) Przyspieszenie charakteryzuje zatem ruch ciała. Natężenie pola grawitacyjnego γ, charakteryzuje natomiast poszczególne punkty tego pola. 1.8.3 Potencjał grawitacyjny V Potencjał grawitacyjny w danym punkcie określamy jako stosunek pracy, którą należałoby wykonać przenosząc masę m z tego punktu do nieskończoności, do masy m przenoszonego ciała. Znak „ – „ jest dlatego, że siła przenosząca ciało z danego punktu do nieskończoności ma zwrot przeciwny do siły grawitacji Newtona. 1.8.4 Praca w polu grawitacyjnym W celu przeniesienia ciała w polu grawitacyjnym z punktu 1 do punktu 2 należy wykonać pracę równą (patrz rysunek 34): ΔW = W1∞ - W2∞ ponieważ W1∞ = ΔW + W2∞ Pamiętając definicję potencjału mamy: W1∞ = V1m oraz W2∞ = V2m oraz ΔW = V1m – V2m Po uwzględnieniu i wstawieniu wartości za V1 i V2 mamy: gdy r2 → ∞, to W1∞ = jest to praca, która jest potrzebna do przeniesienia ciała o masie m z punktu 1 do nieskończoności. Jak widać ze wzoru praca ta ma wartość skończoną (nie jest ona, jak by się mogło wydawać, nieskończenie wielka). PYTANIA 1) Podać definicję natężenie pola. 2) podać definicję potencjału grawitacyjnego. 3) Podać związek między potencjałem i natężeniem pola grawitacyjnego. Aforyzmy 1. O jakże piękne są prawa natury: wszystkie ciała lgną do siebie, choć mają różne struktury. 2. Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie, taką mają już naturę, czy chce czy też nie chce które. 3. Pole emocjonalne jest przestrzenią taką, która działa siłą na emocję każdą, ale nie jednako. 4. Przestrzeń polem emocjonalnym nazwana może ziać nienawiścią albo być kochana. 5. Każda emocja wywołuje przestrzeń charakterystyczną dla się i działa na inne emocje jak tylko da się. 6. Miłość z nienawiścią zmaga się i znosi, a siła ich zmagania zależy od ich wielkości oraz odległości (odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości ). 7. Wektor prędkości styczny jest zawsze do toru i to niezależnie od swego humoru. 8. Niektóre emocje znoszą się wzajemnie, inne się wzmacniają, ale są i takie, co się rozpraszają. 9. Emocje same nie istnieją wszakże, zawsze mają one nośnik, są nimi ludzie, zwierzęta i rośliny także. 1.9 Przyspieszenie dośrodkowe ad (normalne an, radialne ar) Nazwa przyspieszenie dośrodkowe pochodzi stąd, że skierowane jest ono do środka okręgu. Nazwa przyspieszenie normalne – wywodzi się stąd że działa ono wzdłuż normalnej do stycznej w danym punkcie okręgu. Radialne ponieważ działa ono wzdłuż promienia, a radius z łaciny oznacza promień. Należy zaznaczyć, że ar = an tylko w przypadku ruchu po okręgu. Dla dowolnej krzywej ar ≠ an, ponieważ promień wodzący r i promień krzywizny ρ nie pokrywają się. Promień wodzący związany jest z obserwatorem znajdującym się poza układem, a promień krzywizny z krzywizną. Rys. 38 Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu Korzystając z definicji przyspieszenia: oraz z faktu, że: │v1│=│v2│=│v│ a także korzystając z twierdzenia: że w dwóch trójkątach o bokach wzajemnie prostopadłych kąty między tymi bokami są takie same, (rys. 39) możemy napisać: (patrz rys. 38) Rys. 39 Warunki podobieństwa kątów Ponieważ s = vt wobec tego powyższe wyrażenie zapisujemy w postaci: stąd czyli ar = an = ad = Dla bardzo małych kątów α, ∆s → 0 a ∆v pokrywać się będzie z promieniem okręgu, a zatem skierowane będzie do środka okręgu. Stąd nazwa przyspieszenie dośrodkowe. Siła dośrodkowa Fd = G równa jest sile odśrodkowej i dlatego ciało krąży po okręgu. Gdyby Fd ≠ Fo ), wówczas dla Fo > Fd ciało oddalało by się od osi obrotu, a gdyby Fo < Fd, ciało zbliżałoby się do osi obrotu, a zatem ponieważ: Fd = - F0 = jednocześnie zgodnie z prawem grawitacji: Na biegunach siła dośrodkowa jest równa zeru a siła przyciągania jest równa sile grawitacji. Na równiku działa siła odśrodkowa Fo ≠ 0 i dlatego siła grawitacji na równiku jest mniejsza niż na biegunach o siłę odśrodkową. Ziemia jest w związku z tym nieco spłaszczona ma większy promień na równiku niż na biegunie. Rys. 40 W ruchu po okręgu Fo = Fd PYTANIA 1) Jak inaczej nazywa się przyspieszenie dośrodkowe? 2) W jakim ruchu jednostajnym występuje przyspieszenie? 3) Podać wzór na przyspieszenie radialne, albo normalne. 4) Jakie założenia upraszczające przyjęte zostały przy wyprowadzaniu wzoru na przyspieszenie dośrodkowe? 5) Czy jest jakaś różnica między przyspieszeniem i natężeniem pola grawitacyjnego? 1.10 Prędkości kosmiczne 1.10.1 Pierwsza prędkość kosmiczna Pierwsza prędkość kosmiczna vI jest to taka najmniejsza prędkość, którą trzeba nadać ciału stycznie do powierzchni Ziemi, aby ciało to, oderwało się od Ziemi i zaczęło krążyć dookoła niej po stałej orbicie o promieniu r, możliwie jak najbliżej Ziemi (r ≈ R). Przyjmując, że siła dośrodkowa jest równa sile grawitacji, a siła grawitacji jest po prostu ciężarem ciała, mamy: stąd mamy pierwszą prędkość kosmiczną: = 7.9 km/s lub Z powyższego wzoru można też wyznaczyć masę Ziemi: Rys. 41 Pierwsza prędkość kosmiczna gdzie r – promień kuli ziemskiej, który można obliczyć „patrząc w gwiazdy” w sposób następujący: Rys. 42 Obliczanie promienia kuli ziemskiej s = α r stąd , wystarczy wybrać dowolną gwiazdę G nad sobą, zmierzyć drogę s oraz kąt γ i obliczyć α. 1.10.2 Druga prędkość kosmiczna Druga prędkość kosmiczna vII, jest to taka prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby wyrzucić je wzdłuż promienia Ziemi do nieskończoności ), tzn. musimy nadać ciału energię kinetyczną równą W∞ czyli: Ek = W∞ Stąd a zatem druga prędkość kosmiczna: vII = Prędkość ta jest zatem razy większa od pierwszej prędkości kosmicznej. Istnieje również trzecia i czwarta prędkość kosmiczna. Trzecia to taka prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby mogło ono opuścić nasz Układ Słoneczny, a czwarta – galaktykę. VIII = 42,1 km/s VIV = ok. 300 km/s PYTANIA 1) Podaj definicję i sposób obliczania pierwszej prędkości kosmicznej? 2) Wyprowadź wzór na pierwszą prędkość kosmiczną. 3) Ile wynosi pierwsza prędkość kosmiczna? 4) Dlaczego we zworze na pierwszą prędkość kosmiczną występuje promień Ziemi? 5) Jak się definiuje i oblicza drugą prędkość kosmiczną? 6) Wyprowadzić wzór na drugą prędkość kosmiczną. 7) Jaki jest stosunek drugiej prędkości kosmicznej do pierwszej? 8) Ile wynosi druga prędkość kosmiczna? Aforyzmy 1. Pierwsza prędkość kosmiczna jest to taka, że ciało sunąc stycznie po Ziemi daje z niej drapaka. (Pierwsza prędkość kosmiczna v1 = 7.9 km/s). 2. Tylko wówczas nic Twojego biegu nie zmieni, gdy z drugą prędkością kosmiczną pomkniesz w nieskończoność próżną wzdłuż promienia Ziemi. (Próżna tzn. bez innych ciał niebieskich vII = 11.2 km/s). 1.11 Ruch obrotowy W ruchu obrotowym wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej zwanej osią obrotu. Oś obrotu może również znajdować się na zewnątrz ciała. Wiadomo, że obwód koła wyraża się wzorem: S = 2π r Gdzie 2π to kąt pełny wyrażony w mierze łukowej, w radianach (rad). Wobec tego przesunięcie s będzie wprost proporcjonalne do wielkości przesunięcia kątowego α zawartego między promieniami. Stąd mamy: Wielkości liniowe ↑ wielkości kątowe s = α r gdzie: 2π – kąt pełny s – przesunięcie α – przesunięcie kątowe ω – prędkość kątowa ε – przyspieszenie kątowe Jak widać, aby otrzymać wielkości liniowe, które są wektorami (s,v,a) należy wielkości kątowe również wektorowe (α, ω, ε) pomnożyć wektorowo przez r. Rys. 43 Związki między wielkościami liniowymi i kątowymi Krótko, ale niezbyt dokładnie można zapisać związki między wielkościami liniowymi i kątowymi w sposób następujący: s = α r v = ω r a = ε r 1.11.1 Ruch jednostajny obrotowy W ruchu jednostajnym obrotowym prędkość liniowa wyraża się wzorem: po wstawieniu za v i s otrzymujemy: ← wzór na prędkość kątową ← wzór na drogę kątową 1.11.2 Ruch jednostajnie zmienny obrotowy Prędkość liniowa wyraża się wzorem: v = v0 ± a t jeśli wstawimy za: v = ω r, v0 = ω0 r, a = ε r, to otrzymamy: ω r = ω0 r ± ε r t po podzieleniu obu stron równania przez r mamy: ω = ω0 ± ε t ← wzór na prędkość kątową w ruchu jednostajnie zmiennym obrotowym. Podobnie jeśli napiszemy wzór na drogę s w ruchu liniowym: to po wstawieniu za: s, v0, a, odpowiednio α r, ω0 r, ε r, to otrzymamy: dzieląc obie strony równania przez r mamy: ← wzór na drogę kątową w ruchu jednostajnie zmiennym obrotowym. Jak widać z powyższych wzorów, można na zasadzie analogii między ruchem obrotowym i liniowym otrzymywać wzory dla ruchu obrotowego, wstawiając odpowiednie wielkości zamiast: s → α v → ω a → ε F → M m → I p → L PYTANIA 1) Z jakiego prostego stwierdzenia wychodzimy przy wyprowadzaniu związków między wielkościami liniowymi i kątowymi? 2) Jaką nazwę nosi kąt zawarty między dwoma promieniami w ruchu obrotowym? 3) Co to jest prędkość kątowa i jaki jest jej związek z prędkością liniową? 4) Co to jest przyspieszenie kątowe? 5) Jaki jest związek między przyspieszeniem liniowym i przyspieszeniem kątowym? 6) Podać wzór na prędkość kątową w ruchu jednostajnym obrotowym. 7) Podać wzór na drogę kątową w ruchu jednostajnym obrotowym. 8) Jakie istnieją związki między wielkościami liniowymi i kątowymi? 9) Wyprowadzić wzór na prędkość kątową w ruchu jednostajnie zmiennym obrotowym. 10) Wyprowadzić wzór na drogę kątową w ruchu jednostajnie zmiennym obrotowym. 1.11.3 Siła działająca na punkt materialny w ruchu obrotowym Korzystając z II zasady dynamiki Newtona po pdstawieniu do wzoru: F = m a za a = ε·r, to otrzymamy: F = m r ε Mnożąc obie strony ostatniego równania przez r mamy: F r = m ε r2 ponieważ m r2 = I, otrzymujemy: M = I ε Gdzie : I – moment bezwładności punktu materialnego względem osi obrotu. Jeśli dowolne ciało wirujące wokół osi z prędkością ω podzielimy na n małych elementów o masie mi i odległości ri od osi, to moment bezwładności ciała względem osi obrotu wyraża się wzorem: I = m1 r12 + m2 r22 + . . . + mn rn2 Należy tu jednocześnie zaznaczyć, że moment bezwładności I danego ciała zależy od wybranej osi, względem której będziemy go obracać, np. w przypadku jak na rys 44a I1 < I2 < I3 Rys. 44a moment bezwładności względem wybranej osi Rys. 44 Moment bezwładności ciała Wzór ten można zapisać w sposób następujący: a w przybliżeniu gdzie: n – dowolna liczba naturalna 1.113.1. Twierdzenie Steinera Twierdzenie Steinera mówi, że moment bezwładności I względem dowolnej osi równa się sumie momentów bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości danego ciała tj. Is oraz iloczynu masy ciała m i kwadratu odległości „d” między osią przechodzącą przez środek ciężkości ciała i nową osią względem której chcemy obliczać moment bezwładności. Twierdzenie to zapisujemy wzorem: I=Is+md2 PYTANIA 1) W jaki sposób z drugiej zasady dynamiki Newtona można otrzymać wzór na moment siły w ruchu obrotowym? 2) Jakie wielkości w ruchu obrotowym są odpowiednikami drogi liniowej i przyspieszenia liniowego? 3) Jaka wielkość w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruchu liniowym? 4) Co jest odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym? 1.11.4 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym Energia kinetyczna punktu materialnego: stąd Ruchem obrotowym bryły nazywamy ruch, w którym każdy jej punkt zatacza okrąg, a środki wszystkich okręgów leżą na jednej prostej, zwanej osią obrotu. Dla takiego ruchu energia kinetyczna bryły wyraża się wzorem analogicznym do energii kinetycznej w ruchu postępowym. Moment bezwładności obliczany jest zawsze względem osi obrotu. Całkowita energia kinetyczna toczącej się masy jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego (ponieważ ciało się przesuwa) i ruchu obrotowego ponieważ jednocześnie ciało przesuwa się i toczy (obraca): 1.11.5 Moc w jednostajnym ruchu obrotowym (Po) Po = ponieważ: v = ω x r, to: Po = F ω r ale: F r = M więc: Po = M ω gdzie: M – jest momentem siły działającym na bryłę względem osi obrotu. Widać, że sile F w ruchu postępowym odpowiada tu moment siły M, a prędkości v prędkość kątowa ω. Aforyzm O zwycięstwie moc decyduje mój miły, która jest, jak wiadomo, iloczynem prędkości i siły, (P = F v). 1.11.6 Zasada zachowania momentu pędu (krętu) L Moment pędu (kręt) jest iloczynem wektorowym ( ) podobnie jak moment siły . Mamy wobec tego: L = r m v = r m ω r = m r2 ω = I ω W układzie izolowanym L = const (podobnie jak w zasadzie zachowania pędu): L = I ω = const I = m r2 Siłę F określiliśmy jako pochodną pędu względem czasu: F = , podobnie moment siły: jeśli M = 0, to L = const, jeśli F = 0, to p = const. Przykładem zasady zachowania momentu pędu może być: piruet, skok z trampoliny lub człowiek z hantlami w rękach na stołku obrotowym. Piruet: na początku piruetu r – duże, stąd I duże, a zatem również duże I ω = const. Jeśli r ↓ =>↓ I => ↑ω gdy r ↓ =>↓ I => ↑ω, gdy r ↑ =>↑ I => ↓ω Rys. 45 Piruet wykonywany zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu Rys. 46 Człowiek z hantlami na stołku obrotowym Gdy r ↓ =>↓ I => ↑ω Rys. 47 Obroty ciała przy skoku do wody z trampoliny są zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu L = const. po odbiciu od trampoliny, skoczek nadaje sobie ruch obrotowy o prędkości kątowej ω, zwijając się w „kłębek”, a przed wejściem w wodę prostuje się zwiększając I i jednocześnie zmniejsza się ω. PYTANIA 1) Wyprowadzić wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowym. 2) W jaki sposób otrzymujemy wzór na moc w ruchu obrotowym? 3) W jakich jednostkach mierzy się moc w ruchu obrotowym? (Odpowiedź uzasadnić) 4) Co to jest moment pędu? 5) Co mówi zasada zachowanie momentu pędu? 6) Jakiej wielkości z ruchu liniowego odpowiada moment pędu? 7) Moment pędu jest wektorem, czy skalarem? W jaki sposób można go wyznaczyć? 8) Podać przykłady zasady zachowania pędu. 9) W jaki sposób można zwiększyć prędkość obrotową przy wykonywaniu piruetu? 10) Co należy zrobić aby zwiększyć prędkość wirowania w czasie wykonywania piruetu? 11) W jaki sposób skacząc z trampoliny do wody możemy zmieniać liczbę obrotów swojego ciała? Aforyzmy 1. Piruety czyniąc zadziwić możesz bez wątpienia swą widownię, działając na zasadzie zachowana momentu pędu niezawodnie. 2. Kręcić się musisz, czyś stary czy młody, jeśli na zasadzie zachowania momentu pędu chcesz skoczyć do wody 1.11.7 Prawa Keplera 1.11.7.1 Pierwsze prawo Keplera Prawo to mówi, że Ziemia krąży po elipsie. W jednym z ognisk tej elipsy znajduje się środek masy Słońca i Ziemi. Rys. 48 Obrazowe przedstawienie II prawa Keplera (S1 = S2) 1.11.7.2 Drugie prawo Keplera Prawo to mówi, że promienie krzywizny elipsy ), po której krąży Ziemia i inne planety zakreślają w tym samym czasie takie same powierzchnie S Rrys. 48). Fakt ten wiąże się z tym, że: 1˚ Im bliżej Słońca przebiega Ziemia lub inne planety, tym ich prędkość jest większa. Gdyby było inaczej mogłyby one spaść na Słońce. 2˚ Im bliżej Słońce przebiega dana planeta, tym promień krzywizny jej toru jest mniejszy, ale prędkość v jest większa: F0 = Ponieważ ω – const, a v wzrasta, wobec tego w tym samym czasie promień krzywizny zakreśli taką szmą powierzchnię S. W związku z powyższym , gdzie dS. – pole zakreślone przez promień wodzący planety w czasie dt. Fakt, że , wynika również z tego, że moment siły M planety krążącej wokół słońca względem słońca jest równy zeru, ponieważ siła skierowana jest wzdłuż promienia. Jeśli M = 0 to L = const = m v r = , wynika stąd, że iloczyn s r = const czyli . 1.11.7.3 Trzecie prawo Keplera Prawo to głosi, że kwadraty czasów obiegów danej planety wokół Słońca mają się do siebie tak jak sześciany promieni ich orbit, tzn: prawo to można uzasadnić korzystając ze wzoru: Fd = Fo podobny wzór możemy napisać dla innej orbity o promieniu r2: Z równań tych można łatwo wyznaczyć masę Słońca M jeśli znamy okres obiegu T danej planety i jej odległość od Słońca. Dzieląc drugie równanie przez pierwsze uzyskujemy wzór zawierający treść trzeciego prawa Keplera. W uzasadnieniu tego prawa skorzystaliśmy z faktu, że zarówno siła grawitacji jak i ruch obrotowy występuje tylko wówczas, gdy istnieje więcej niż jedno ciało. Znając czas obiegu satelity wokół danej planety można obliczyć masę planety, biorąc pod uwagę, że siła dośrodkowa równa jest sile grawitacji: Siła dośrodkowa → ← siła grawitacji stąd , ale a zatem masę planety Mp obliczymy ze wzoru: 1.12 Tarcie Tarcie jest to siła przeciwstawiająca się ruchowi, mierzy się ją w jednostkach siły. Rys. 49 Tarcie posuwiste ciała o powierzchnię T = f N gdzie: f – współczynnik proporcjonalności (współczynnik tarcia), w rozpatrywanym przypadku N = Q. Istnieje tarcie statyczne Ts i kinetyczne Tk Ts > Tk ponieważ przy wprawianiu ciała w ruch poza siłą bezwładności, występują siły spójności między ciałem i podłożem. fs > fk gdzie: fs – współczynnik tarcia statycznego fk – współczynnik tarcia kinetycznego Współczynnik tarcia f zależy tylko od rodzaju powierzchni ). Nie zależy natomiast, jakby się mogło wydawać, od wielkości powierzchni i od siły nacisku. Natomiast tarcie T zależy od siły nacisku i współczynnika tarcia. 1.12.1 Pomiary współczynników tarcia fs i fk 1.12.1.1 Za pomocą dynamometru Po zaczepieniu dynamometru do ciała, zaczynamy go przesuwać. W chwili ruszania ciała z miejsca, odczytujemy na dynamometrze siłę, która równa jest sile tarcia statycznego. Rys. 50 Dynamometryczny pomiar współczynnika tarcia 1.12.1.2 Pomiar współczynników tarcia fs i fk za pomocą kątomierza Rys. 51 Pomiar współczynników tarcia Na ruchomym ramieniu R umieszczamy ciało o ciężarze Q. Między tym ciałem i ramieniem R występują siły tarcia Ts i Tk. Wyznaczamy najpierw współczynnik tarcia statycznego fs, a następnie zmniejszając kąt α, aż do momentu zatrzymania się ciała na równi – znajdujemy wówczas współczynnik tarcia statycznego. Ciało zaczyna się zsuwać, gdy F = Ts. F jest tu wprost proporcjonalne do Q i zależy od kąta α. Siła F zwiększa się w miarę zwiększania kąta α od F = 0 do F = Q (gdy kąt α = 90°). Współczynnik tarcia fs i fk możemy zmierzyć wyskalowaną linijką, mierząc odległość a i b (na rys. 51). Tarcie przy toczeniu tzw. tarcie potoczyste jest wielokrotnie mniejsze niż tarcie posuwiste, ponieważ przy toczeniu (ruch obrotowy) zamiast siły T występuje moment siły M (rys. 52). M = F R = x N wielkość x zależy od rodzaju podłoża (przy twardym podłożu x jest mniejsze i ciało łatwiej się toczy) Rys. 52 Tarcie potoczyste Siła F jest odpowiednikiem siły tarcia T, jest odpowiednikiem współczynnika tarcia fs lub fk. Współczynnik tarcia potoczystego f jest odwrotnie proporcjonalny do promienia koła R. PYTANIA 1) Od czego zależy siła tarcia i w jakich jednostkach się ją mierzy? 2) Od czego zależy współczynnik tarcia? 3) Czy współczynnik tarcia zależy od wielkości powierzchni styku ciał? 4) Czy współczynnik tarcia zależy od siły nacisku? 5) Od czego zależy tarcie? 6) Jakiego rodzaju wyróżniamy tarcia? 7) Dlaczego tarcie statyczne jest większe od kinetycznego? 8) Jakimi przyrządami można mierzyć współczynnik tarcia? 9) W jaki sposób współczynnik tarcia można zmierzyć dynamometrem? 10) W jaki sposób współczynnik tarcia można zmierzyć kątomierzem? 11) W jaki sposób można zmierzyć współczynnik tarcia linijką wyskalowaną np. w centymetrach? Aforyzmy 1. Tarcie statyczne jest nieekonomiczne i jest zawsze większe niż to kinetyczne. 2. Całą tajemnicę istoty kochania, wyjaśniają bez trudu siły bezwładności oraz przyciągania (Wyjaśnienie dlaczego Ts > Tk). 3. Współczynnik tarcia, zależy tylko od rodzaju i gładkości powierzchni styczności, nie zależy on wszakże od siły nacisku i wielkości powierzchni także. 4. Nie tylko długość można mierzyć metrem, współczynnik tarcia także, a nawet kątomierzem i dynamometrem. 5. Jeśli jakiś poważny problem lub trudne zadanie rozwiązać pragniesz, a siły nie stanie, to podziel go na małe i już łatwe części w takiej sytuacji nie ma wątpliwości, że Ci się poszczęści. 6. Taką swą naturę wielkie rzeczy mają, że wszystkie bez wyjątku z małych się składają. 1.13 Maszyny proste Maszyny proste są to urządzenia ułatwiające pracę. Za pomocą maszyn prostych na pracy nic nie zyskujemy (ze względu na zasadę zachowania energii). W = F s = const natomiast możemy zyskać na sile, ale tracić na drodze, lub odwrotnie, (chociaż rzadko się to zdarza). Maszyny proste mogą być typu równi pochyłej lub dźwigni. 1.13.1 Maszyny proste typu równi pochyłej 1. Równia pochyła 2. Śruba 3. Klin 2.13.1.1 Równia pochyła Ciężar Q rozkładamy na składowe: wzdłuż długości równi l i w kierunku prostopadłym do podstawy równi. Aby podnieść ciężar Q na wysokość h działamy na niego mniejszą od ciężaru Q siłą F, ale za to na dłuższej drodze l zamiast na drodze h. Rys. 53 Równia pochyła jako maszyna prosta (tarcie pomijamy) stąd gdy h = l, to F = Q Z zasady zachowania energii mamy: hQ = F l ponieważ przy przesuwaniu ciała na drodze h musielibyśmy działać siłą Q, a na drodze l siłą F, stąd: 1.13.1.2 Śruba Śruba jest maszyną prostą typu równi pochyłej. Za pomocą śruby podnosimy ciężar Q działając siłą F, która jest dużo mniejsza od Q. Śrubę, jako maszynę prostą, stosuje się m. in. w podnośnikach samochodowych. Rys. 54 Śruba jako równia pochyła Siłę Q rozkładamy na dwie składowe: N i F. Rys. 55 Rozkład siły Q dla śruby Z podobieństwa trójkątów mamy: h – skok śruby stąd 1.13.1.3 Klin Klinem jest np.: nóż, igła, siekiera itd. Analizując zasadę działania klina korzystamy z trzeciej, a następnie z pierwszej zasady dynamiki Newtona. Siłę F rozkładamy na dwie składowe S1 i S2, prostopadle do ścianek bocznych klina. Rys. 56 Rozkład i analiza sił działających na klin. Rys. 56 a Wielobok sił dla klina. Siły F, R1, R2 działają na klin a mimo to klin pozostaje w spoczynku. Wobec tego, zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, wielobok sił musi być zamknięty, tzn. wypadkowa sił F, R1 i R2 równa jest zero. │R1│= │R2│= R Korzystając z funkcji trygonometrycznych można napisać: stąd F = 2 R sinα Ze wzoru tego widać, że przy mniejszym kącie działania α, możemy za pomocą mniejszej siły F uzyskać żądaną wartość R. 1.13.2 Maszyny proste typu dźwigni Dźwignia może być: a) jednostronna b) dwustronna Ad. a) dźwignia jednostronna – to taka dźwignia, w której siły działają po jednej stronie punktu zawieszenia lub podparcia. Przykładem takiej dźwigni może być ręka (Rys. 57) Ad. b) dźwignia dwustronna – to taka dźwignia, w której siły działają po obu stronach punktu podparcia lub zawieszenia, np.: czaszka (Rys. 57a). Rys. 57 Rodzaje dźwigni Rys. 57a Gdy człowiek zasypia na siedząco, to głowa mu opada bo mięsień M rozluźnia się, a moment siły Q nadaje głowie ruch powodujący skłon głowy . 1.13.2.1 Krążek stały Krążek stały powoduje tylko zmianę kierunku działania siły. Ten fakt często ułatwia nam pracę (zgodnie z definicją maszyn prostych) Rys. 58 Krążek stały jako maszyna prosta 1.13.2.2 Krążek ruchomy Za pomocą krążka ruchomego zyskujemy na sile. Ciężar Q podnoszony za pomocą tego krążka jest dwa razy większy od działającej siły F, którą go podnosimy. (Ze względu jednakże na zasadę zachowania energii, na pracy nic nie zyskujemy, ponieważ wprawdzie pracę wykonujemy dwa razy mniejszą siłą , ale na dwa razy dłuższej drodze). Rys. 59 Krążek ruchomy w stanie równowagi 1.13.2 .3 Wielokrążek zwykły Przecinając liny w płaszczyźnie AA widzimy, że na każdą z nich działa siła F (patrz rys. 60), ponieważ każdy krążek zawieszony jest na dwóch linach, a liczba krążków jest w jednym zestawie równa n (tu n = 3), wobec tego Q = 2 n F stąd Rys. 60 Wielokrążek zwykły w stanie równowagi 1.13.2 .4 Wielokrążek potęgowy Nazwa pochodzi stąd, że we wzorze końcowym wiążącym siłę F, za pomocą której podnosimy ciężar Q występuje cyfra 2 w potędze n – tej, gdzie n jest liczbą krążków ruchomych w danym wielokrążku (na rys. 61 n=3, S3 = F). Z rys. 61 widać, że Q=2· S1 = 2 · 2 · S2 = 2 · 2 · 2 · S3, to: Q = 2n · F stąd Rys. 61 Wielokrążek potęgowy w stanie równowagi 1.13.2 .5 Wielokrążek różnicowy Dla ciała pozostającego w spoczynku, słuszna jest nie tylko I zasada dynamiki Newtona, ale jednocześnie dla ruchu obrotowego algebraiczna suma momentów sił względem dowolnego punktu równa się zeru. (Algebraiczna, tzn. opatrzona znakiem „+”, lub „ – "). Moment siły jest, jak wiadomo iloczynem wektorowym ramienia siły oraz siły lub to samo inaczej siły i ramienia prostopadłego do niej. Zapisywane to jest krótko w postaci: M = F · r Siła F utrzymuje ciężar Q w równowadze, wobec tego algebraiczna suma momentów sił ∑M względem dowolnego punktu jest równa zeru. Umawiamy się, że jeśli jakaś siła obraca ciało zgodnie ze wskazówkami zegara, to moment tej siły jest dodatni, a jeśli odwrotnie, to ujemny. Mamy więc: – S1 · R + S2 · r + F · R = 0 wstawiając za S1 i S2 ; Q/2 mamy: Rys. 62 Wielokrążek różnicowy w stanie równowagi stąd Jak widać nazwa wielokrążka ma swoje uzasadnienie we wzorze. W liczniku występuje różnica (R – r). 1.13. 2.6 Kołowrót Kołowrót to walec osadzony na osi i obracany za pomocą siły F działającej na ramienia R (jak na rysunku 63). Stosowany jest do podnoszenia ciężaru Q siłą F mniejszą od Q. Rys. 63 Kołowrót w stanie równowagi Rys. 63 a Momenty sił działających na kołowrót Algebraiczna ∑M = 0 czyli – Q · r + F · R = 0 stąd F · R = Q · r Większość z omówionych tutaj maszyn prostych znalazło zastosowanie między innymi również w medycynie, głównie w protetyce, a także w terapii (cęgi i nożyce – dzwignia dwustronna), skalpel, igła (klin), wielokrążki, kołowrót – podnoszenie chorych , fizykoterapia mięśni. Archimedes np.: za pomocą maszyn prostych rozbijał okręty wrogów, którzy napadli na jego kraj. PYTANIA 1) Na czym zyskujemy, a na czym tracimy posługując się maszynami prostymi? 2) Czy za pomocą maszyn prostych możemy jednocześnie zyskać na sile i na drodze? 3) Podać przykłady zastosowań maszyn prostych w medycynie i technice 1.14 Rodzaje równowagi Rozróżniamy: równowagę stałą, chwiejną i obojętną. Przyjmuje się następujące kryteria rozróżniania rodzajów równowagi: 1) Jaką wartość przyjmuje energia potencjalna Ep; 2) Co się dzieje z ciałem po jego wychyleniu; 3) Jakie jest położenie punktu zawieszenia ”x” ciała w stosunku do środka ciężkości „·” 1.14.1 Równowaga stała Równowaga stała charakteryzuje się tym, że: 1) Ep = Emin 2) Ciało wychylone z położenia równowagi wraca do położenia równowagi 3) Punkt zawieszenia „x” znajduje się powyżej środka ciężkości „•”. Rys. 64 a Kulka w paraboloidzie oraz deseczka zawieszona na nici w równowadze stałej 1.14.2 Równowaga chwiejna Równowaga chwiejna charakteryzuje się tym, że: 1) Ep = Emax 2) Ciało wychylone z położenia równowagi nie wraca do położenia równowagi 3) Punkt zawieszenia „x” znajduje się poniżej środka ciężkości ”·”. Rys. 64 b Kulka na szczycie paraboloidy oraz deseczka na nici w równowadze chwiejnej 1.14.3 Równowaga obojętna Równowaga obojętna charakteryzuje się tym, że: 1) Ep = const 2) Ciało wychylone z położenia równowagi pozostaje w nowym położeniu w równowadze 3) Punkt zaczepienia ”x” znajduje się w punkcie ciężkości „·” Rys. 64 c Kulka na płaszczyźnie oraz deseczka na nici w równowadze obojętnej 1.15 Metody rozwiązywania zadań W celu nabrania biegłości w rozwiązywaniu zadań należy: 1) Wypisać oddzielnie dane i szukane, na podstawie których należy powtórzyć z pamięci treść zadania 2) Sprowadzić wielkości do układu SI np: 3) wykonać rysunek (schemat), przykładowo – jeśli chcemy obliczyć nacisk na most jadącego po nim z pewną prędkością pojazdu: Rys. 65 Pojazd w ruchu na wypukłym moście 4) wypisać wzory, które mogą być przydatne np.: (z Rys.65) N = Q – F0 5) przekształcić wzory tak, aby wielkość szukana była po lewej stronie równania (nie obliczaj żadnych wielkości pośrednich, które nie są szukane). 6) Sprawdzić jednostki, czy po prawej stronie równania są takie same jak po lewej. Jeśli nie, to sprawdzić poprawność przekształceń 7) Podstawić dane i wykonać obliczenia PYTANIA 1. Jakie są rodzaje równowagi? 2. Podać kryteria i charakterystykę poszczególnych równowag. 3. W jaki sposób sprawdzić można (w pewnym stopniu) poprawność napisanego wzoru fizycznego? 4. Jak należy postąpić w przypadku, gdy jednostki po obu stronach równania są różne? 2. MECHANIKA CIECZY I GAZÓW 2 .1 Hydrostatyka cieczy i gazów 2 .1.1 Ciśnienie p Ciśnienie jest to stosunek parcia P (tzn. siły naporu) do powierzchni S ciśnienie można mierzyć np.: w paskalach [Pa] lub atmosferach technicznych [at]. 2 .1.1.1 Ciśnienie hydrostatyczne Ciśnienie hydrostatyczne ph jest stosunkiem ciężaru Q słupa cieczy o ciężarze właściwym γ,do powierzchni na jakiej on spoczywa S. I określamy go wzorem: ; (parcie P jest w tym wypadku równe ciężarowi cieczy Q), a z definicji: wynika, że: Q = γ V A zatem: ph = h γ Jak wynika z powyższego wzoru ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od wielkości powierzchni , ani od kształtu naczynia Rys. 66 Menzurka napełniona cieczą 2 .1.1.2 Ciśnienie atmosferyczne Ciśnienie atmosferyczne jest to nacisk słupa powietrza o wysokości równej grubości atmosfery ziemskiej wynoszącej na poziomie morza ok. 10 km na daną powierzchnię 2.1.1.3Doświadczenie Toricelle’go Rurkę szklaną o długości 1 m napełniono rtęcią i po odwróceniu jej do góry dnem zanurzono ją w naczyniu z rtęcią. Poziom rtęci w rurce obniżył się wówczas do wysokości h = 760 mm. Ciśnienie powietrza, jakie wywiera słup powietrza atmosferycznego na powierzchnię rtęci w naczyniu wynosi zgodnie ze wzorem na ciśnienie hydrostatyczne: Słup powietrza atmosferycznego, które wywiera nacisk na powierzchnię rtęci zawartej w naczynku równoważny jest ciśnieniem słupa rtęci o wysokości h równej 760 mm =1 Atm = 1.033 at stąd: Atm > at (w technice dla uproszczenia przyjęto atmosferę techniczną i nazwano ją barem at = 1bar gdzie: Atm – atmosfera fizyczna Ciśnienie atmosferyczne wyraża się w paskalach Pa najczęściej jednak podaje się go w hektopaskalach (1hPa = 100 Pa) Rys. 67 Doświadczenie Toricelle’go Pa = 101300 = 1013 hPa = 1013 mb (milibarów) Ciśnienie mierzy się również w torach 1 Tr = 1 mm Hg = 1.33 hPa PYTANIA 1) Co to jest ciśnienie, czy jest ono wektorem czy skalarem? 2) Czym różni się ciśnienie od parcia? 3) Jakie są synonimy parcia? 4) Czy ciśnienie hydrostatyczne obowiązuje tylko dla cieczy? 5) Czemu jest równe ciśnienie hydrostatyczne? 6) W jaki sposób wyprowadza się wzór na ciśnienie hydrostatyczne? 7) Czy ciśnienie hydrostatyczne zależy od wielkości powierzchni dna naczynia? 8) Czy ciśnienie hydrostatyczne zależy od kształtu naczynia? 9) Jakiej długości rurkę mógł użyć w swoim doświadczeniu Toricelli? 10) Czy rurka w doświadczeniu Toricellego była zamknięta na obu końcach czy nie? Aforyzmy 1. Ciśnienie hydrostatyczne, to pojęcie nie tylko fizyczne i choć od nacisku płynnej materii zależy, nie ilością owej się mierzy, lecz wielkością poziomu na jaki się wznosi i jej rodzaju jak nauka głosi. 2. Ciśnienie idei jest stosunkiem siły nacisku do powierzchni jej wyzysku 3. Ciśnienie atmosferyczne chociaż zmienne i krytyczne, wbrew sądom Pascala istnieje i nacisk swój wywiera, lecz wydać się dziwnym może, że chociaż ciąży wyraźnie to nie uwiera. 4. Często sobie nie uświadamiamy jak wielki ciężar dźwigamy, nie wiem czy wiecie, że ok. 20 ton powietrza jest na każdym grzbiecie. 2 .1.2 Prawo Pascala Jeśli na ciecz w naczyniu zamkniętym wywrzemy parcie zewnętrzne P, to ciśnienie p w każdym punkcie wewnątrz cieczy będzie takie samo, przy założeniu, że ciśnienie hydrostatyczne jest do pominięcia w stosunku do ciśnienia wywieranego parciem P. Rys. 68 Ciecz w naczyniu zamkniętym poddana parciu zewnętrznemu Znając prawo Pascala i definicję ciśnienia możemy opisać równaniem prasę hydrauliczną. 2 .1.3 Prasa hydrauliczna Rys. 69 Schemat ideowy prasy hydraulicznej (z prawa Pascala) 2 .1.4 Prawo Archimedesa Prawo Archimedesa brzmi następująco: na ciało zanurzone w płynie (tzn. w cieczy lub gazie, działa siła wyporu, W (skierowana ku górze) i równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało, lub inaczej: ciało zanurzone w płynie traci pozornie na ciężarze tylko tyle, ile waży płyn wyparty przez to ciało. Ciało pływa jeśli jego ciężar jest równy wyporowi, jeśli ciężar ciała jest więkzy od siły wyporu , to ciało tonie. Rys. 70 ciało zanurzone w płynie gdzie: Qc – ciężar wypartego płynu Vc – objętość płynu wypartego przez ciało PYTANIA 1. Jaką wspólną nazwę mają ciecze i gazy? 2. Co mówi prawo Archimedesa? 3. Dlaczego butelka szklana wypełniona wodą tonie w wodzie, a butelka szklana wypełniona rtęcią nie tonie w rtęci? Aforyzm 1. Z prawa Pascala wynika niezbicie, że gdy parcie działa na ciecze w naczyniach zamkniętych zawarte, to w każdym punkcie ciśnienie jest to samo nieodparte. Lecz parcia na dusze w narodzie zawarte nie wszędzie jednako działają, chociaż problemy życiowe takie same mają. 2. Ciało zanurzone w ciele traci na wadze, dlatego dobrze jest przy zanurzaniu mieć to na uwadze. 3. Ciała zanurzone w cieczy tracą pozornie na swoim ciężarze. Problem jednakże też jest w tym zawarty, ile one tracą, ale nie naprawdę, tylko tak na żarty. Tracą one tyle bez wątpienia ile waży ciecz wyparta – co jest do sprawdzenia. 4. Archimedes mędrcem był kochanym, walczył z przestępczością i był szanowany. Swoją potęgę umysłu w służbie ojczyzny powierzył i każdego wroga zniszczył zanim się z nim zmierzył. Maszyny proste, soczewki i zwierciadła w walce swej stosował, unicestwiał skutecznie nimi wroga zanim się ten zorientował. Mądrość jego wszakże była w tym zawarta, że wykorzystywał fizykę jak jest tego warta. 5. Mądry król zwątpieniem targany zwrócił się do Archimedesa, aby ten sprawdził czy król jego nie jest oszukiwany. Mądrość królewska polegała na tem, aby radzić się swych mędrców i być dla nich bratem. 2 .1.4.1 Nurek Kartezjusza Wzrost ciśnienia p wciska wodę do wnętrza nurka i nurek tonie. Gdy ciśnienie p maleje, to nurek wypływa. Rys. 71 Nurek Kartezjusza 2 .1. 5 Metody pomiaru ciężaru właściwego ciał Metoda 1 Ciężar właściwy ciała wyznaczamy korzystając ze wzoru: Musimy w tym przypadku mieć dany ciężar Q ciała i jego objętość V. Ciężary właściwe niektórych ciał: Metoda 2 Za pomocą naczyń połączonych 2a) dla cieczy niemieszających się ze sobą (dwie różne ciecze w jednej rurce): Rys. 72 a Naczynie w kształcie litery U napełnione cieczami niemieszającymi się ze sobą. Panuje tu jednakowe ciśnienie na jednakowych poziomach w tej samej cieczy 2b) dla cieczy mieszających się ze sobą, muszą być dwa naczynia (ponieważ w jednym naczyniu obie ciecze zmieszały by się): Rys. 72 b Pomiar ciężaru właściwego cieczy mieszających się ze sobą Metoda 3 Za pomocą wagi hydrostatycznej w oparciu o prawo Archimedesa Dane: Szukane: γc – ciężar właściwy cieczy γ – ciężar właściwy ciała Q – ciężar ciała w powietrzu G – ciężar ciała w cieczy W – siła wyporu Qc – ciężar cieczy wypartej Rys. 73 Waga hydrostatyczna do pomiaru ciężaru właściwego ciał Q – G = W = Qc = γc Vc Stąd: Ponieważ objętość ciała równa jest objętości cieczy wypartej przez ciało V = Vc, wobec tego, ponieważ wiadomo, że ciężar właściwy ciała wyraża się wzorem: , to wstawiając za V wyrażenie na Vc (objętość zanurzonego ciała jest równa objętości cieczy wypartej) mamy: Metoda 4 (Za pomocą aerometru umieszczonego w badanej cieczy). Aerometr to rurka szklana zamknięta z obu stron, obciążona w dolnej części np.: śrutem metalowym lub inną substancją, w zależności od tego, jakiej cieczy, chcemy wyznaczać ciężar właściwy - wykorzystując dany aerometr. Rys. 74 Aerometr w naczyniu z cieczą Całkowity ciężar Aerometru wynosi Q, jest on równy ciężarowi cieczy wypartej W. Aerometr będzie się zanurzał w cieczy do takiej głębokości aż wypór W = Q. Stąd możemy obliczyć głębokość h do jakiej zanurzy się aerometr o ciężarze Q, w cieczy o znanym ciężarze właściwym γ. Uwaga! Aerometr można więc wyskalować korzystając jedynie z wagi do pomiaru ciężaru Q i suwmiarki, za pomocą której mierzymy średnicę aerometru d (znając d można obliczyć pole przekroju rurki aerometru ). Z powyższego wzoru widać, że im ciężar właściwy cieczy γ, do której zanurzono aerometr jest większy, tym głębokość, h, zanurzenia aerometru jest mniejsza. PYTANIA 1) Jak brzmi prawo Pascala? 2) Czy prawo Pascala dotyczy naczynia zamkniętego czy otwartego? 3) Czy prawo Pascala obowiązuje dla gazów? 4) Czym się charakteryzuje prasa hydrauliczna? 5) Z jakiej definicji i z jakiego prawa korzystamy przy wyprowadzaniu równania na prasę hydrauliczną? 6) Podać prawo Archimedesa w dwu różnych sformułowaniach. 7) Dlaczego butelka szklana wypełniona wodą tonie w wodzie, a wypełniona rtęcią nie tonie w rtęci? 8) W jakich jednostkach mierzy się ciśnienie? 9) Ile hektopaskali i paskali ma milibar? 10) Co to jest atmosfera fizyczna i czym się ona różni od technicznej? 11) Jakie są metody pomiaru ciężaru właściwego ciał? 12) W jaki sposób wyznacza się ciężar właściwy cieczy w przypadku gdy mieszają się ze sobą, a w jaki gdy się nie mieszają? 13) W jaki sposób wyznacza się ciężar właściwy ciała stałego za pomocą wagi hydrostatycznej w oparciu o prawo Archimedesa? 14) Przy jakim założeniu dokonujemy pomiaru ciężaru właściwego ciała w oparciu o prawo Archimedesa? 15) W jaki sposób można wykonać aerometr? 16) Podać dwa sposoby wyskalowania aerometru. 17) W jaki sposób za pomocą suwmiarki i wagi można wyskalować aerometr? 18) W jaki sposób zanurzenie aerometru zależy od ciężaru właściwego cieczy? Aforyzm Naczynia połączone niezbywalny urok mają, chociaż są ze sobą nierozerwalnie złączone, to się nie kochają Walka bowiem ciągła między nimi trwa, o tę zawartość, którą każde ma. 2.2 Podstawy hydrodynamiki cieczy i gazów 2.2.1 Prawo ciągłości Prawo ciągłości dotyczy cieczy nieściśliwych i można go sformułować następująco: tyle cieczy ile dopływa do danego przekroju rurki, tyle musi odpływać. Wydatek, q jest to stosunek objętości, V cieczy wypływającej z rurki do czasu, t w którym ona wypływa. Rys. 75 Rurka o różnych przekrojach, w których q = const Korzystając z definicji wydatku dochodzimy do poniższych równości: q = S1v1 = S2v2​ = S3v3 = const gdzie: v1, v2, v3 – prędkości cieczy w odpowiednich przekrojach rurki S1, S2, S3, z których wynika, że im węższa rurka (mniejsze S), tym v większe. 2.2.2 Prawo Bernoulliego Prawo Bernoulliego dotyczy cieczy idealnych tzn. nieściśliwych i nielepkich EMBED Equation.3 Rys. 76 Przepływ cieczy w rurce o zmiennym przekroju i ustawieniu ukośnym Suma całkowita energii poszczególnych elementów objętości we wszystkich przekrojach rurki jest taka sama. Można to zapisać wzorem: dzieląc obie strony równania przez objętość cieczy V (m = ρ V) mamy: ponieważ: V = S1s1 = S2s2, ale ρ · g = γ, oraz mamy więc: gdzie: γ h1, γ h2 – ciśnienie hydrostatyczne w przekrojach S1 i S2 - ciśnienie hydrodynamiczne w przekrojach S1 i S2 p1, p2 – ciśnienie statyczne wywierane przez siły F1 i F2 Natomiast dla cieczy rzeczywistej: suma ciśnień proporcjonalna jest do różnicy energii całkowitej E, i rozproszonej w postaci ciepła Er. W przypadku przepływu laminarnego Er jest wprost proporcjonalna do prędkości v, natomiast w przypadku ruchu turbulentnego Er jest proporcjonalna do v2. Dla cieczy rzeczywistych, aby otrzymać przepływ musi istnieć pewna różnica ciśnień Δp. Prawo Bernoulliego i prawo ciągłości mają praktyczne zastosowanie przy pomiarach strumienia objętości gazów w aparacie do narkozy, w którym wykorzystywany jest rotametr. Wydatek W = q = ponieważ: stąd stąd: Rys. 77 Rotametr do pomiaru natężenia przepływu płynu Nazwa rotametr pochodzi stąd, że pływak umieszczony wewnątrz rotametru obraca się (dzięki ukośnie naciętym rowkom, które znajdują się na jego obwodzie). Ciecz przepływające przez te rowki nadaje mu ruch obrotowy. Rotacja pływaka jest potrzebna po to, aby pływak nie zatrzymywał się na skutek tarcia o ścianki rotametru. 2.2.3 Pomiar ciśnienia hydrostatycznego i hydrodynamicznego Za pomocą rurki Pitota możemy wyznaczyć ciśnienie hydrodynamiczne w sposób następujący: ponieważ: oraz H(= , to Rys. 78 Schemat do pomiaru ciśnień hydrostatycznego i hydrodynamicznego h – miara ciśnienia hydrostatycznego (h () h’ = H – h – miara ciśnienia hydrodynamicznego (h( () Znając obliczamy , znając przekroje przewodów S1 i S2 podstawiamy za v i otrzymujemy: wydatek (przepływ lub natężenie): q = v1 S1 = v2 S2 ponieważ: , V = l S dla rurki o przekroju kołowym S = π r2 q = π r2 v 2.2.3 Prawo Newtona Prawo Newtona dotyczące lepkości cieczy zapisujemy wzorem: gdzie: F – siła wywołująca przepływ cieczy przez rurkę η – współczynnik lepkości dynamicznej cieczy S – powierzchnia boczna walca dv – różniczka prędkości między dwoma warstwami odległymi od siebie o dx dx – różniczka odległości między sąsiednimi warstwami 2.2.3.1 Definicja współczynnika lepkości dynamicznej i kinematycznej w układzie SI Współczynnik lepkości dynamicznej η równy jest liczbowo sile potrzebnej do podtrzymania ruchu, gdy powierzchnia trących się warstw wynosi 1 m2 i gradient prędkości jest jednostkowy. Jednostką w układzie SI jest Pauz P (od nazwiska Poiseuille). Współczynnikiem lepkości kinematycznej μ nazywamy stosunek współczynnika lepkości dynamicznej do gęstości cieczy. P = 0.1 , współczynnik 0.1 bierze się z przeliczenia jednostek z układu cgs do SI. Jednostką współczynnika lepkości kinematycznej jest Stoks, 1 ST lub w układzie SI 1 ST = 10-4 m2/s 2.2.3.2 Definicja cieczy doskonałej i różnice między cieczą newtonowską a nieniutonowską. Przykłady wzory i wykresy Ciecz doskonała jest nie lepka (η = 0) i nieściśliwa( χ = 0). Ciecz newtonowska η = const (czysta woda). Ciecz nienewtonowska η ≠ const (np.: krew) stąd Współczynnik ściśliwości χ, ( ) jest analogiczny do modułu Younga E, ( ) (patrz p. 3.1), przez analogię do prawa Hooke’a można w tym przypadku napisać zamiast (ε = ) -wydłużenia względnego pręta napisać: ( ). Rys. 79 Współczynniki lepkości dla cieczy Nienewtonowska siła F nie jest proporcjonalna do gradientu dv/dx, tzn. że η nie jest wartością stałą. jak widać z powyższego wzoru wraz ze wzrostem temperatury lepkość cieczy maleje, natomiast lepkość gazów rośnie wraz ze wzrostem temperatury T. A, B – stałe współczynniki dla danej substancji k – stała Boltzmanna (k = 1.38 10-23 J/K), T – temperatura w K 2.2.4 Prawo Poiseuille’a (czyt. Puazeja) Założenia – warunki: 1. ciecz newtonowska (η = const) 2. ruch stacjonarny (a = 0) 3. prędkość cieczy przy ścianie v = 0 4. zaniedbujemy siły ciężkości Wydatek: R – promień rurki l – długość rurki Δp różnica ciśnień na końcach rurki W ruchu jednostajnym cieczy lepkiej, przez rurkę sztywną, parcie Pk wywołujące ruch, równoważone jest siłą oporu cieczy lepkiej F opisanej wzorem Newtona: gdzie: - gradient prędkości Sb – powierzchnia boczna walca (wypływającej cieczy ) Sb = 2 π x l Rys. 80 Schemat do prawa Poiseuille’a Z definicji ciśnienia mamy: P = p S S – powierzchnia przekroju walca P = – F stąd: P + F = 0 Na elementarną rurkę o promieniu x wyciętą z cieczy przesuwającej się wzdłuż osi walca o promieniu r będzie działać ciśnienie Δp Mamy zatem: stąd: stąd stąd Wstawiając za C mamy: prędkość przesuwającej się rurki o promieniu x Objętość cieczy przepływającą przez rurkę otrzymamy sumując objętość poszczególnych elementarnych „rurek” cieczy przesuwających się po sobie z różną prędkością vx zgodnie z wyprowadzonym niżej wzorem na vx mamy: (pamiętając, że ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 wydatek : EMBED Equation.3 2.2.4.1 Rozkład prędkości przy przepływie stacjonarnym cieczy newtonowskiej przez rurę sztywną Rys. 81 Profile przepływów cieczy newtonowwskiej i nienewtonowskiej 0 ≤ x ≤ r 2.2.4.2 czynniki warunkujące odstępstwa od prawa Poisuille’a w przypadku przepływu krwi przez naczynia krwionośne odstępstwa: 1. krew jest cieczą nienewtonowską (η ≠ const 2. przepływ niestacjonarny (a ≠ 0) 3. przy ścianie v ≠ 0 4. elastyczność naczyń – występują w związku z tym straty energii 5. w sercu i aorcie przepływ jest burzliwy 2.2.4.3 Różnice w przepływach opisanych przez prawo Poiseuille’a, a w przepływach będących pod wpływem ciśnienia zmiennego w naczyniach. Liczba Womersleya α Liczba Womersleya α wiąże się z przesunięciem fazowym między prędkością i ciśnieniem oraz z profilem prędkości cząsteczek w rurkach elastycznych. ω = 2 π ƒ dla 1 < α < 3 występuje przesunięcie , jeżeli α > 3 zmienia się wówczas rozkład profilu prędkości Rys. 82 Profile rozkładu prędkości Prawo Poiseuille’a obowiązuje gdy : 1. rura jest sztywna 2. ciecz jest newtonowska (η = const) 3. przepływ jest stacjonarny (a = 0) 4. przy ścianie naczynia prędkość v = 0 W naczyniach pod zmieniającym się ciśnieniem (np.: w naczyniach krwionośnych – nie sztywnych, elastycznych, w których płynie krew – ciecz nienewtonowska o η ≠ const) przepływ jest niestacjonarny α ≠ 0 i prędkość przy ściance naczynia v ≠ 0. 2.2.5 Prawo Stokesa Siła tarcia kulki o promieniu r poruszającej się z prędkością v w cieczy o współczynniku lepkości dynamicznej η wyraża się wzorem: T = 6π η r v Na początku spadania kulka porusza się ruchem niejednostajnie przyspieszonym, a później jednostajnym ponieważ suma sił działających na kulkę jest równa zeru (zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona): Q – T – W = 0 Rys. 83 Zmienność sił działających na opadającą w cieczy kulkę określającą rodzaj ruchu kulki w czasie 2 .3 Podstawy aerodynamiki 2 .3.1 Opory ruchu ciał w powietrzu Za ciałami poruszającymi się w płynach z dużymi prędkościami powstają wiry, które powodują znaczny wzrost siły oporu. Na energię kinetyczną poruszających się cząsteczek w wirze tracona jest znaczna część pracy włożonej do poruszania się ciała. Energia zawarta w wirach cieczy i gazów rzeczywistych zamienia się na ciepło. W płynach idealnych (tzn. cieczach lub gazach) wiry mogą nigdy nie gasnąć, ponieważ nie ma strat energii na ciepło. 2 .3.2 Siła nośna Fn samolotu oraz opory ruchu Ra Rys. 84 Strumień powietrza omywającego profil skrzydła samolotu w przekroju Siła nośna Fn samolotu powstaje na skutek istnienia elementarnych sił odśrodkowych Fo działających na cząstki powietrza zmieniające swoje tory po zetknięciu się z profilem skrzydła samolotu. gdzie: n, a – współczynniki zależne od kształtu skrzydeł (ich promieni krzywizn) ρ – gęstość ośrodka w którym odbywa się ruch Ra – siła oporu aerodynamicznego 3. RUCH DRGAJĄCY (HARMONICZNY) 3.1 Prawo Hooke’a Jeśli na pręt o długości l0 i przekroju S działa siła F, to pręt ten wydłuży się o Δl. Rys. 85 Pręt wydłuża się pod wpływem siły F o Δl, podobnie jak sprężynka, na której zawieszono ciężarek o masie m mający ciężar Q = mg = F = - kx ( , przyjmując, że: mamy prawo Hooke’a w postaci: stąd: F = f(Δl) przedstawia równanie prostej. Siła F jest liniowo zależna od wydłużenia Δl (y = ax + b), przy czym b = 0 (przy danym E, S, l0). Energię sprężystości Es zgromadzoną w sprężynie można określić jako pracę W, którą należało włożyć przy odkształceniu sprężyny. gdzie: Wprowadzając dodatkowo takie pojęcia jak wydłużenie względne ε oraz naprężenie σ (sigma) możemy napisać: stąd: Moduł Younga E jest liczbowo równy takiemu naprężeniu, które powodowałoby (gdyby mogło) wydłużenie pręta o długość Δl równą długości początkowej l0, gdyby pręt wcześniej się nie zerwał, czyli: stąd: E = σ Moduł Younga jest wielkością charakterystyczną dla danego materiału, a naprężenie określa warunki w jakich znajduje się dany materiał pod działaniem siły) tzn. wielkość tej siły przyłożonej do danej powierzchni. Moduł Younga E i naprężenie σ są to dwa różne pojęcia (mimo tego, że mierzy się je w tych samych jednostkach). W rzeczywistości E jest dużo większy od naprężenia σ, ponieważ pręt zwykle wcześniej się zerwie niż podwoi swoją długość l0. Naprężenie, tym różni się od ciśnienia, że z ciśnieniem mamy do czynienia w gazach lub cieczach, naprężenie natomiast w ciałach stałych, w których cząsteczki są ściśle ze sobą powiązane. Przemieszczanie się jednych pociąga za sobą ruch innych. Rys. 86 Odkształcenie pręta pod wpływem przyłożonej siły Odkształcenia sprężyste to takie, przy których ciała po odjęciu siły wracają do pierwotnej długości. Odkształcenia plastyczne – to takie, w których ciała nie wracają do pierwotnej długości. n = 5 ÷ 12 gdzie: kr – naprężenie dopuszczalne na rozciąganie n – współczynnik bezpieczeństwa Rr – naprężenie krytyczne Przykład: Hutnicy produkują pręty stalowe o określonym naprężeniu krytycznym Rr, a inżynierowie budowlani przyjmują pewną wartość współczynnika bezpieczeństwa, n i obliczają naprężenie dopuszczalne jakie może wystąpić w danej konstrukcji kr. PYTANIA 1) Dlaczego prawo Hooke’a omawiane jest przy okazji ruchu harmonicznego? 2) Jaką funkcją matematyczną opisane jest prawo Hooke’a? 3) Czy prawo Hooke’a stosuje się w całym zakresie odkształceń sprężystych? 4) Co to jest wydłużenie względne? 5) Co to jest naprężenie i czym się różni od ciśnienia? 6) Podać definicję modułu Younga. 7) Co to jest współczynnik bezpieczeństwa i jakie przyjmuje wartości? 8) Od czego zależy wartość przyjmowanego współczynnika bezpieczeństwa? 3.2 Ruch harmoniczny Ruchem harmonicznym będzie poruszał się cień Ṕ’ jaki będzie rzucał oświetlony z boku przedmiot P zawierzony na sznurku i wprawiony przez nas w ruch obrotowy. Rzut P’ punktu P poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu poruszał się będzie po średnicy ruchem harmonicznym. Aby prześledzić ruch rzutu punktu P’ należy w zależności od ruchu punktu P zająć się rzutem P’ tego punktu na średnicę okręgu. W ruchu harmonicznym interesują nas związki między: · wychyleniem s i promieniem okręgu r · prędkością v punktu P i prędkością harmoniczną jego rzutu vh · przyspieszeniem dośrodkowym ar i przyspieszeniem harmonicznym ah rzutu punktu P’ Rys. 87 obraz ruchu harmonicznego Mając dane: możemy znaleźć: v, r wychylenie – x, vh, ah Z rysunku 87 widać, że: ale α = ω t stąd: x = r sinα = A sin(ωt +() gdzie: x – wychylenie rzutu punktu z położenia równowagi, r – amplituda wychylenia oznaczana często przez A, ( - kąt wychylenia początkowego, jeśli punkt P będziemy rzutować na oś y zamiast na oś x to samo można zapisać inaczej: y = A sinωt ogólnie można zapisać, że wychylenie: y = A sin(ωt + φ) ale φ = ωt = 2πft = 2π t = 2π , ponieważ ct = x stąd y = A sin2π Rys. 88 Zależność wychylenia x od fazy ωt Patrząc na rysunek 87 widzimy, że: stąd vh = v cosα ponieważ v = ω r, (=(t, a zatem: vh=(r cos((t +() również z tego rysunku mamy: stąd ah = ar sinα ponieważ wobec tego: Znak „ – „ pochodzi stąd, że wektor wychylenia s jest przeciwnie skierowany niż wektor przyspieszenia ah. Wzory powyższe można łatwo uzyskać pamiętając, że: x = r sin ωt, ale jak wiadomo: a zatem: vh = ω r cosωt podobnie: stąd: ah = - ω2 x gdzie: x – wychylenie rzutu punktu z położenia równowagi r – amplituda wychylenia = A Gdy na sprężynce (rys. 85) zawiesimy ciężarek m i pociągniemy go w dół siłą F = - kx, to ciężarek ten będzie się poruszał ruchem harmonicznym z przyspieszeniem ah. Gdzie k: jest współczynnikiem, zwanym stałą sprężyny, zależnym zarówno od rodzaju jak i materiału sprężyny. E – moduł Younga Wówczas: m ah = - kx wstawiając za ah = - mamy: stąd po uwzględnieniu, że mamy, że: m(​2=k, a stąd: ponieważ v = ω r, to: jeśli przyjmiemy, że r = l0, to: ponieważ S l0 = V oraz , gdzie V – jest objętością walca. Otrzymaliśmy w ten sposób przy okazji wzór na prędkość rozchodzenia się dźwięku w ciałach stałych. Energia kinetyczna punktu materialnego drgającego harmonicznie wyraża się wzorem: a energia potencjalna Ep, czyli inaczej energia zawarta w naciąganej sprężynie, wzorem: Ep=W=Fśr x ale: stąd: Całkowita energia mechaniczna E punktu materialnego drgającego harmonicznie wyraża się wzorem: E = Ek + Ep = Ponieważ m ω2 = k mamy: Energia całkowita, w ruchu harmonicznym ma wartość stałą. Przykładem ruchu harmonicznego może być ruch kulki zawieszonej na sprężynie w próżni. Energia całkowita w ruchu harmonicznym jest stała, (nie zmienia się np.: na ciepło bo nie ma tarcia). Jeśli natomiast, taka kulka poruszałaby się w gazie lub cieczy wystąpiłyby drgania tłumione na skutek straty energii na ciepło powstające w wyniku sił tarcia Ft (skierowanych przeciwnie do kierunku ruchu– stąd znak minus) EMBED Equation.3 b – jest tzw. współczynnikiem oporu, jest prędkością v poruszającej się kulki, Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona możemy napisać równanie ruchu drgań tłumionych, dla którego siła bezwładności, Fb, którą można nazwać siłą sprężystości i siła tarcia Ft , wyrażą się wzorem: Fb + Ft = m a = albo Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja: x = A0 e-βt cos(ωt + φ) gdzie: β = b / 2m – współczynnik tłumienia ω = - częstość drgań tłumionych (gasnących) ω0 – częstość drgań własnych (swobodnych) A0 e-βt = A – amplituda drgań (jak widać maleje z czasem wykładniczo) A = Ao eβt Rys. 89 Drgania tłumione i swobodne Widać, że częstotliwość ω zmniejsza się w ośrodku tłumiącym drgania. Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia Λ 1 / β = τ – czas relaksacji, jest to czas, po którym amplituda drgań tłumionych zmienia się o 37%, tj. osiąga wartość 1/e razy mniejszą niż amplituda A, ponieważ 1/ 2.71≈ 0.368. Jest to, jak widać logarytm naturalny z dwóch kolejnych amplitud różniących się o jeden okres T. Gdy β = ω0 mamy tzw. ruch aperiodyczny krytyczny tzn. taki, w którym ruch ciała trwa najkrócej (ze względu na tłumienie ośrodka). W celu uzyskania drgań niegasnących tzw. wymuszonych, mimo strat energii na tarcie w ośrodku, na punkt materialny należy zadziałać odpowiednio zmienną siłą wymuszającą: Fw = F0 cosΩt Drugą zasadę dynamiki Newtona zapiszemy wówczas w sposób następujący: Fs + Ft + Fw = m a albo Jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych, którego rozwiązanie przyjmuje postać: x = A cos(Ωt + Φ) gdzie: Φ = arc tg Przyjmując, że wówczas: A jest tym większe im β jest mniejsze, a także gdy częstość drgań wymuszających Ω zbliża się do ω0. Wykres A(Ω) – nazywamy krzywą rezonansową Rys. 90 Krzywa rezonansowa (zamiast β jest na rysunku B) PYTANIA 1. W jaki sposób można wyobrazić sobie ruch drgający w przypadku ruchu obrotowego? 2. W jaki sposób można na rysunku ująć związek między wielkościami liniowymi i harmonicznymi? 3. Jak można graficznie wyznaczyć wektor prędkości harmonicznej jeśli mamy dany wektor prędkości liniowej? 4. Podać sposób graficznego wyznaczenia wektora przyspieszenia harmonicznego, jeśli dany jest wektor przyspieszenia normalnego? 5. Podać wzór na wychylenie punktu z położenia równowagi. 6. Jakie przyspieszenie harmoniczne posiada punkt w chwili, gdy jego prędkość harmoniczna jest maksymalna? 3.3 Wahadło matematyczne Wahadło matematyczne określa się jako wahadło, w którym cała masa skupiona jest w jednym punkcie i zawieszona na nieważkiej nici. 3.3.1 Wyprowadzenie wzoru na okres drgań T wahadła o długości l Rys. 91 Wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi Z podobieństwa trójkątów (Rys. 91)wynika, że: stąd EMBED Equation.3 ) Otrzymaliśmy wzór na okres wahadła matematycznego. Otrzymany tu wzór jest słuszny tylko dla bardzo małych kątów, dla których długość łuku można w przybliżeniu zastąpić cięciwą. PYTANIA 1) Podać definicję wahadła matematycznego. 2) Jak rozkładamy siłę ciężkości w wahadle matematycznym? 3) Którą ze składowych sił ciężkości bierze się pod uwagę przy wyprowadzeniu wzoru na okres drgań wahadła? 4) Podać sposób na wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła matematycznego. 5) Jakie wielkości można wyznaczyć za pomocą wahadła matematycznego? 3.4 Wahadło fizyczne (wyprowadzenie wzoru na okres T) Wahadło fizyczne jest bryłą, która może się obracać wokół osi umieszczonej powyżej środka ciężkości. Wahadło fizyczne wychylone z położenia równowagi wraca do tego położenia na skutek działania momentu siły M. Dane: Szukane: m, r T = ? Rys. 92 Wahadło fizyczne x – wychylenie z położenia równowagi O – oś obrotu Sc – środek ciężkości Występujący tu moment siły M powoduje powrót wahadła do położenia równowagi: M = Q x Moment siły w ruchu obrotowym wyraża się również wzorem: M = l ε gdzie: Porównując prawe strony wyrażeń na M oraz wstawiając za Q, ε i ah odpowiednie wzory mamy: Q x = I ε stąd wobec tego: Wzór ten możemy porównać ze wzorem na okres T dla wahadła matematycznego o długości l i stwierdzić, że długość ta jest odpowiednikiem długości zwanej długością zredukowaną wahadła fizycznego: PYTANIA 1) Czym różni się wahadło fizyczne od matematycznego? 2) Z jakiego twierdzenia wychodzimy przy wyprowadzaniu wzoru na okres wahadła fizycznego? 3) Jakie przyspieszenie występuje w wahadle fizycznym i jaki jest jego związek z przyspieszeniem kątowym? 4) Jakie przyjęto założenie, aby ruch wahadła matematycznego można nazwać ruchem harmonicznym? 3.5 Rezonans Ogólnie mówiąc, rezonans może być: mechaniczny, akustyczny, elektryczny, optyczny. Rezonans między dwoma układami zachodzi wówczas, gdy częstości drgań własnych układu wymuszającego drgania i układu na którym są one wymuszane są jednakowe, czyli: f1 = f2 częstotliwość ≡ częstość ν = f = 1/T [Hz] 3.5.1 Rezonans mechaniczny Rezonans mechaniczny będzie zachodził między dwoma wahadłami, tylko wówczas gdy będą one miały taką samą długość. Rys. 93 Rezonans mechaniczny między wahadłami o długościach l1 i l2 f1 = f2 stąd l1 = l2 jest to warunek rezonansu mechanicznego PYTANIA 1) W jakim przypadku zachodzi rezonans między dwoma układami? 2) Jakiego rodzaju mogą być rezonanse? 3) Co to jest herc [Hz]? 4) Jaki jest warunek rezonansu mechanicznego? 4 RUCH FALOWY 4.1 Definicje pojęć Falą nazywamy rozchodzące się zaburzenie w przestrzeni wypełnionej polem potencjalnym lub substancją materialną. Fale można podzielić na fale podłużne i poprzeczne. 4.1.1 Fale podłużne Fale podłużne, to takie, w których cząsteczki drgają w kierunku rozchodzenia się fali (np.: fale głosowe). Rys. 94 Fala podłużna 4.1.2 Fale poprzeczne Fale poprzeczne, to takie, w których kierunek drgań cząsteczek jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np.: fale na wodzie). W fali elektromagnetycznej, która jest również falą poprzeczna zmienia się natężenie pola elektrycznego E i magnetycznego H, które są do siebie wzajemnie prostopadłe i prostopadłe są jednocześnie do kierunku rozchodzenia się fali. Rys. 95 Fale poprzeczne Innego rodzaju podziału fal można dokonać ze względu na kształt czoła fali wychodzącej ze źródła wytwarzającego drgania. Czoło fali jest to linia lub płaszczyzna, na której znajdują się cząsteczki mające tę samą fazę drgań. Rozróżniać będziemy wówczas fale np.: kuliste (w przestrzeni), koliste (na powierzchni np.: wody), cylindryczne (pochodzące np.: od drgającego wzdłuż swego promienia cylindra) i płaskie (wytwarzane np.: przez rytmiczne uderzanie w powierzchnię wody nieskończenie długą, prostą deseczką). 4.1.3 Okres drgań Okres drgań T jest to czas, w którym zachodzi jedno pełne drganie. Przez pełne drganie rozumie się czas, który potrzebny jest na maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi i powrót do położenia równowagi, następnie maksymalne jego wychylenie w przeciwnym kierunku i powrót do położenia równowagi. 4.1.4 Długość fali Długość fali λ jest to odległość, którą przebywa fala w czasie jednego okresu. Istnieje związek między prędkością rozchodzenia się fali v, długością fali λ i okresem drgań T: Przy przechodzeniu fali z jednego ośrodka do drugiego częstość f= ν = const, natomiast zmienia się prędkość v i λ. Inaczej: długość fali λ jest to odległość między dwiema najbliższymi cząsteczkami posiadającymi tę samą fazę drgań. Fazą drgań nazywamy kąt wychylenia cząsteczki z położenia równowagi. Rys. 96 Długość fali λ 4.2 Interferencja (nakładanie się) fal Rys. 97 Okres drgań T odmierzamy w czasie (długość fali odmierzamy w przestrzeni x) Wychylenie s jest algebraiczną sumą wychyleń poszczególnych harmonicznych, uzyskuje się je graficznie przez sumowanie, dla danego x, poszczególnych rzędnych: s1, s2 – patrz rys. 97. s = s1 + s2 oraz s’ = s1’ + s2’ albo obliczeniowo pamiętając, że s1 = A1 sin ωt, s2 = A2 sin ωt Rys. 98 Nałożenie pierwszej i trzeciej harmonicznej (trzecie harmoniczna ma 3 razy mniejszy okres niż pierwsza) 4.3 Fale stojące Rys. 99 Fala stojąca na sznurze. W węźle fazy drgań są przeciwne. PYTANIA 1) Wymień rodzaje fal. 2) Podać definicję fal podłużnych i poprzecznych. 3) Omów rodzaje fal ze względu na kształt czoła fali. 4) Co to jest czoło fali? 5) Co nazywamy okresem drgań? 6) Co nazywamy długością fali? 7) Na czym polega interferencja fal? 8) Co to jest faza drgań? 9) Narysować sumę pierwszej i trzeciej harmonicznej, które są w zgodnej fazie. 10) Narysuj i wskaż miejsca, tworzenia się węzłów i strzałek na poruszanym sznurze. 4.4 Prawa odbicia i załamania fal 1. Pierwsze prawo mówi, że kąt padania αp jest równy kątowi odbicia αo αp = αo 2. Drugie prawo mówi, że: sinusy kątów padania ( i załamania (, mają się do siebie tak, jak prędkości rozchodzenia się fal w ośrodku pierwszym i w ośrodku 2 ponieważ: n1 = - bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 1, stąd: n2 = - bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 2, stąd: n1 i n2 mają sens tylko dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w próżni (dźwięk w próżni nie rozchodzi się). c – prędkość światła w próżni n21 – względny współczynnik załamania drugiego ośrodka względem pierwszego 3. Trzecie prawo mówi, że: promień padający, odbity, załamany i normalne leżą w jednej płaszczyźnie. 4.4.1 Zasada Huygensa Zasada Huygensa mówi, że każdy punkt do którego dochodzi fala staje się źródłem nowej fali kulistej. Rys. 100 Odbicie i załamanie fali na granicy dwóch ośrodków. Posługując się powyższym rysunkiem można wykazać słuszność pierwszego prawa. Z rysunku widać, że: Ze wzoru widać, że sinus kąta padania do sinusa kąta załamania mają się do siebie tak jak prędkości rozchodzenia się fal w ośrodku pierwszym 1 i ośrodku 2. 4.5 Natężenie fali Natężenie fali I jest to stosunek energii E fali padającej na powierzchnię S do tej powierzchni i do czasu t w którym ta energia pada Dla kuli, w której środku znajduje się punktowe źródło fal mamy: Należy zaznaczyć, że r jest odległością od źródła dźwięku do punktu, w którym określamy natężenie dźwięku. Ze wzoru wynika, że natężenie I jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości r od źródła. Rys. 101 Fala kulista PYTANIA 1) Podać prawa odbicia i załamania fal. 2) Podać definicje względnego i bezwzględnego współczynnika załamania. 3) Czy można mówić o względnym i bezwzględnym współczynniku załamania fal akustycznych i dlaczego? 4) Wygłosić prawo Sneliusa (sinusów) dla fal akustycznych. 5) Przedstawić na rysunku i wypowiedzieć definicje kątów: padania, odbicia i załamania. 6) Udowodnić słuszność prawa Sneliusa. 7) Co to jest natężenie fali? 8) Podać natężenie fali na powierzchni kuli, w której środku znajduje się źródło dźwięku. 5 AKUSTYKA Przy odpowiednio wysokim natężeniu ucho ludzkie słyszy dźwięki w granicach od 16 Hz do 20 000Hz. Pies natomiast słyszy do 40 000 Hz. Dźwięki poniżej 16 Hz nazywamy infradźwiękami a powyżej 20 000 Hz ultradźwiękami. Prędkość rozchodzenia się dźwięku zależy od ośrodka, w którym dźwięk się rozchodzi. W normalnych warunkach (p = 760 mmHg = 1013 hPa, t = 0ºC = 273 K) prędkość dźwięku w powietrzu v = 332 m/s. Ogólnie w gazach prędkość dźwięku można określić na podstawie wzoru: gdzie: χ = Cp/Cv Cp – molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu Cv – molowe ciepło właściwe przy stałej objętości ρ – gęstość gazu p – ciśnienie R – uniwersalna stała gazowe V – objętość W ciałach stałych prędkość dźwięku v wyraża się wzorem: gdzie: E – moduł Younga. Dla cieczy odpowiednikiem modułu E – jest moduł ściśliwości K: k = jest współczynnikiem objętościowym lub inaczej współczynnikiem ściśliwości ρ – gęstość ciała, Vo – objętość początkowa, (V – zmiana objętości Dla ilustracji w tabelce przytoczone zostały odpowiednie wielkości v, E i ρ dla niektórych materiałów: jednostki materiał Woda 1450 2 1000 Stal 4900 200 7800 Ołów 1230 17 11300 Kauczuk 54 0.004 1500 Szkło 5000÷6000 76 2500 Prędkość dźwięku w danym ośrodku jest tym większa im większy jest moduł Younga E, a jednocześnie mniejsza gęstość ρ. Dlatego prędkość dźwięku w stali jest większa niż w ołowiu, a w ołowiu większa niż w gumie (kauczuku). Guma posiada bardzo mały moduł Younga – niewielkie naprężenie σ powoduje, że przyrost długości Δl=l0. 5.1 Cechy charakterystyczne dźwięku Cechy charakterystyczne dźwięku są subiektywne i obiektywne. Wiążą się one ze sobą w sposób następujący: Cechy subiektywne to: Cechy obiektywne to odpowiednio: 1. wysokość dźwięku, 1. częstość dźwięku, 2. głośność dźwięku 2. natężenie dźwięku 3. barwa dźwięku 3. widmo 1. wysokość dźwięku – zależy wprost proporcjonalnie od częstości drgań 2. głośność dźwięku – zależy od natężenia, I, (natężenie zależy od kwadratu amplitudy wychylenia z położenia równowagi -(I ~ A2)) cząstki danego ośrodka i od kwadratu częstotliwości drgań 3. barwa dźwięku związana jest z widmem, które zależy od zawartości w danym dźwięku składowych harmonicznych i ich amplitudy jak na rysunku 102 Rys. 102 Pierwsza i druga harmoniczna 5.2 Poziom natężenia L [Bel] gdzie: I – badane natężenie dźwięku 1 bel = 10 dB stąd: [dB] Wrażenia bólu doznaje człowiek słuchając dźwięku o natężeniu I = 1 . Dla takiego natężenia dźwięku, poziom natężenia L wynosi: L = 10 lg = 10 lg1012 = 10 · 12 lg10 = 120 dB Próg bólu I = 100 Próg słyszenia I0 = 10-12 dla 1000 Hz 5.3 Głośność dźwięku Głośność dźwięku mierzy się w sonach, a poziom głośności w fonach. Dźwięk posiada głośność 1 sona jeśli dla 1000 Hz ma poziom ciśnienia akustycznego 40 dB powyżej progu słyszalności. Głośność dowolnego dźwięku określa się przez porównanie z głośnością 1 sona. Badany dźwięk posiada n sonów jeśli jest n razy głośniejszy od dźwięku o głośności 1 sona. Definicję fona można natomiast wyrazić mówiąc, że dźwięk ma głośność n fonów jeśli słyszymy go tak samo głośno jak dźwięk o poziomie natężenia n decybeli dla częstotliwości 1000 Hz. Można krótko powiedzieć, że dla 1000 Hz liczba fonów jest równa liczbie decybeli. Rys. 103 Charakterystyka akustyczna ucha ludzkiego Ucho ludzkie posiada największą czułość dla 3400Hz. W zakresie częstotliwości od 1000 do 5000 Hz (jak widać na wykresie) człowiek najlepiej słyszy. PYTANIA 1) Jakie częstości dźwięku odbiera ucho ludzkie? 2) Od czego zależy prędkość rozchodzenia się dźwięku? 3) Podać wzór na prędkość rozchodzenia się dźwięku w gazach. 4) Podać wartość prędkości dźwięku w wodzie. 5) Czy prędkość dźwięku w stali jest większa niż w wodzie? 6) Podać wzór na prędkość dźwięku w cieczach. 7) Dlaczego prędkość dźwięku w gumie jest mniejsza niż w powietrzu? 8) Omówić cechy charakterystyczne dźwięku? 9) Od czego zależy wysokość dźwięku? 10) Od czego zależy głośność dźwięku? 11) Dlaczego głośność zależy m. in. od częstotliwości? 12) Wykazać, że głośność dźwięku zależy od kwadratu częstości i amplitudy. 13) Ile wynosi natężenie progu słyszenia dla 1000 Hz? 14) Czy natężenie progu słyszenia jest jednakowe dla wszystkich częstości? 15) Które wielkości mierzy się w decybelach? 16) Jaką wartość ma natężenie wywołujące wrażenie bólu dla 1000 Hz? 17) Czy wrażenie bólu odczuwa się przy tych samych natężeniach dla różnych częstości dźwięku? 18) W jakim celu wprowadzono decybele? 19) Wykazać, że zakres poziomu natężenia od progu słyszenia do progu bólu wynosi 120 dB. 20) W jaki sposób uzyskuje się krzywe izofoniczne? 21) Co jest liczbowo większe Dla 2000 Hz, która z liczb jest większa liczba fonów czy liczba decybeli? 5.3.1 Źródła dźwięku Źródłem dźwięku jest każde ciało drgające. Przykładem może być koniec pręta w rurze Kunkta. Pręt zamocowany jest w połowie jego długości. Pręt w celu wytwarzania dźwięku (w zasadzie „pisku”) pocierany jest szmatką posypaną np. kalafonią . Rys. 104 Rura Kunkta Za pomocą rury Kunkta (znając prędkość dźwięku v w pręcie, długość pręta l i pamiętając, że częstotliwość nie ulega zmianie przy przechodzeniu z jednego ośrodka do drugiego, oraz, że długość fali λ w pręcie równa się 2l – (ponieważ w miejscu zamocowania pręta jest węzeł, a na jego końcu strzałka, a odległość między węzłem i strzałką wynosi ¼ () można obliczyć: prędkość dźwięku w powietrzu vp, Można również (odwrotnie) znając prędkość dźwięku w powietrzu vp obliczyć prędkość dźwięku w pręcie np. Dane: Szukane l– długość pręta, vp – prędkość dźwięku w powietrzu v – prędkość dźwięku w pręcie jeśli w rurze znajduje się powietrze W rurze szklanej znajduje się suchy proszek np.: pyłek kwiatowy (likopodium). Obraz taki jak na rysunku 104 można uzyskać wówczas, gdy przesuwany tłoczek znajdzie się w miejscu powstawania węzła. Węzły - ruchu cząstki i strzałki ciśnienia fali pojawią się w rurze jak na rysunku). Można napisać: stąd mamy prędkość dźwięku w powietrzu: lub prędkość dźwięku w pręcie: 5.3.2 Piszczałki Rys. 105 λ = 2l dla struny Piszczałki mogą być zamknięte lub otwarte. Przy otworze zawsze powstaje strzałka. Węzły powstają na dnie piszczałki. (Węzeł jest to punkt, w którym dzięki interferencji fali padającej i odbitej drgania zostają wygaszone natomiast w strzałce drgania zostają wzmocnione.) a) w piszczałkach otwartych wytwarzają się dźwięki o parzystych harmonicznych. b) w piszczałkach zamkniętych wytwarzają się dźwięki o nieparzystych harmonicznych. PYTANIA 1) Do czego służy rura Kunkta? 2) Jak zmierzyć za pomocą rury Kunkta długość fali dźwiękowej, powstającej w pręcie metalowym? 3) W jakich okolicznościach powstają fale stojące w rurze Kunkta? 4) Dlaczego fala dźwiękowa powstająca w pręcie metalowym zmienia swoją długość przy przechodzeniu do powietrza? 5) Według jakich kryteriów fizycznych rozróżniamy piszczałki? 6) Jakie harmoniczne powstają w piszczałkach otwartych, a jakie w zamkniętych? 5.4 Zjawisko Dopplera Zjawisko Dopplera polega na zmianie słyszanej częstości dźwięku przy ruchu względnym obserwatora i źródła dźwięku. Gdy źródło dźwięku zbliża się do obserwatora lub obserwator do źródła, to obserwator słyszy dźwięk wyższy niż generuje źródło. W Rys. 106 a Źródło dźwięku w spoczynku – v jest to prędkość dźwięku, u – jest prędkością źródła dźwięku. 5.4.1 Pozorny wzrost częstości dźwięku przy zbliżaniu Rys. 106 b Źródło dźwięku zbliża się do obserwatora Pozorny wzrost częstości dźwięku – występujący przy zbliżaniu źródła do obserwatora lub obserwatora do źródła jest wynikiem skracania się długości fali λ’, na skutek zmniejszania się prędkości źródła względem prędkości dźwięku (źródło podąża za dźwiękiem w kierunku obserwatora). stąd: lub dlatego: wstawiając za ( mamy: stąd: Wzór ten ma zastosowanie w radarach policyjnych. Na jego podstawie można obliczyć: u – prędkość pojazdu badanego. 5.4.2 Pozorne obniżanie częstości dźwięku Przy oddalaniu źródła dźwięku od obserwatora, lub obserwatora od źródła następuje pozorne obniżenie częstości dźwięku. Powodem jest tu względny wzrost prędkości dźwięku względem źródła i w związku z tym wydłużenie się długości fali z λ do λ”. Źródło i dźwięk poruszają się w przeciwnych kierunkach w stosunku do obserwatora (patrz rys 106c). Po podstawieniu za λ” do wzoru na ν” mamy: Ogólnie można wyprowadzić wzór dla przypadku jednoczesnego poruszania się źródła i obserwatora. Okazuje się, że częstotliwość dźwięku odbieranego przez słuchacza (obserwatora) zależy również od tego co względem czego się porusza: obserwator względem źródła, czy źródło względem obserwatora. W celu przeprowadzenia analizy powyższego problemu wyobraźmy sobie źródło wysyłające impulsowo dźwięki z częstością f. Interesują nas w tym przypadku dwie wielkości: Rys. 106 c Źródło dźwięku oddala się od obserwatora a) czas, który upływa od momentu wysłania przez źródło pierwszego dźwięku o częstotliwości f = 1/T, a odebraniem przez słuchacza drugiego dźwięku pochodzącego z tego samego źródła b) odległość między źródłem i obserwatorem w chwili wysłania pierwszego dźwięku i odbierania przez niego drugiego dźwięku (pamiętamy, że obserwator i źródło są w ruchu). Rys. 106 d Jednoczesny ruch źródła dźwięku i obserwatora u – prędkość źródła v – prędkość dźwięku Z1 – położenie źródła w chwili wysyłania pierwszego dźwięku Z2 – położenie źródła w chwili wysyłania drugiego dźwięku O1 – położenie obserwatora w chwili odbioru pierwszego dźwięku O2 – położenie obserwatora w chwili odbioru drugiego dźwięku Drogę Z1O2 można przebywać na dwa różne sposoby: Z1O2 = Z1Z2 + Z2O2 Albo: Z1O2 = Z1O1 + O1O2 Mamy wobec tego posługując się rys. 106 d: uT + v t2 = v t1 + v0 T’ (1) Czas t, który upływa między nadaniem pierwszego dźwięku a odbiorem drugiego można też różnie podzielić: t = T + t2 t = t1 + T’ (2) gdzie: t1 – czas, który upływa od chwili nadania pierwszego dźwięku do chwili jego odbioru t2 – czas, który upływa od chwili nadania drugiego dźwięku do chwili jego odbioru T – czas, który upływa między wysłaniem pierwszego i drugiego dźwięku T’ – czas, który upływa między odbiorem pierwszego i drugiego dźwięku Możemy napisać dalej ze wzoru (1), że: v (t2 – t1) = v0 T’ –uT (3) oraz ze wzoru (2) T + t2 = t1 + T’ Stąd po wstawieniu do wzoru (3) za: t2 – t1 = T’ – T mamy: v (T’ – T) = v0 T’ –uT stąd wyznaczamy T’ v T’ – v T = v0 T’ –uT v T’ – v0 T’ = (v –u) T T’ (v – v0) = T (v –u) ponieważ f’=1/T’ mamy: Gdy obserwator pozostaje w spoczynku wówczas v0 = 0, a częstość odbierana przez obserwatora jest równa: Natomiast gdy źródło pozostaje w spoczynku, (u = 0), to częstość odbierana przez obserwatora jest równa: Ze wzorów tych widać, że fź’ > f0’, oznacza to, że w przypadku gdy do obserwatora zbliża się źródło z pewną prędkością u, to obserwatorowi wydaje się, że częstotliwość źródła jest większa niż w przypadku gdyby obserwator z taką samą prędkością zbliżał się do nieruchomego źródła. Fakt ten wynika stąd, że w pierwszym przypadku porusza się dźwięk i za nim również źródło dźwięku (dopędzające dźwięk), powoduje to skracanie się fali i wzrost częstotliwości, a w drugim przypadku porusza się tylko obserwator. 5.5 Rezonans akustyczny Rezonans akustyczny między dwoma kamertonami zachodzi w przypadku gdy posiadają one tę samą częstość, czyli jeśli posiadają tak samo rozmieszczoną masę o identycznej gęstości. Rys. 107 Kamertony pozostają w rezonansie w przypadku a) i powodują powstanie dudnień w przypadku b) 5.6 Dudnienie Dudnienie powstaje wówczas, gdy dwa dźwięki o zbliżonych częstościach nakładają się na siebie, w wyniku czego słyszymy okresowo wzmacnianie i zanik dźwięku. Częstość dudnień równa jest różnicy częstości poszczególnych dźwięków. Załóżmy, że amplitudy obu dźwięków składowych są takie same: x1 = A cos ω1t = A cos(ω + Δ ω)t x2 = A cos ω2t = A cos(ω – Δ ω)t częstość średnia: a średnia różnica częstości: Wówczas drganie wypadkowe wyrazi się wzorem: x = x1 + x2 x = A cos(ω + Δ ω)t + A cos(ω – Δ ω)t Korzystając ze wzorów na cos(α + β) oraz na cos(α – β) mamy: x = 2A cos Δωt · cos ωt = A*cos ωt Otrzymany wzór opisuje drganie o pulsacji ω, którego amplituda A* = 2A cos Δωt – zmienia się jak widać na rysunku okresowo w czasie. Rys. 108 Nakładanie się dźwięków o zbliżonej częstości f1 ≈ f2 np.: f1 = 1000 Hz f2 = 1003 Hz Rys. 109 Dudnienie jako wynik nałożenia się dźwięków o zbliżonej częstości Częstotliwość dudnień: fd = │f1 – f2│ = 3 Hz 5.7 Prawo Webera – Fechnera Prawo Webera – Fechnera, mówi, że przyrost energii (E niezbędny do stwierdzenia jej wzrostu jest wprost proporcjonalny do energii E. Prawo to zapisuje się w sposób następujący: (E=k E gdzie: k – jest współczynnikiem proporcjonalności. Prawo Webera – Fechnera znalazło głównie zastosowanie w akustyce (wiąże się ono z subiektywnymi wrażeniami słuchowymi – głośnością i wysokością tonu). Prawo to można jednak uogólnić i zastosować do wszelkich subiektywnych wrażeń psychicznych. Brzmiałoby ono wówczas następująco: zmiana jakiegokolwiek wrażenia (W) odbieranego przez psychikę człowieka jest doznawane wprost proporcjonalnie do stosunku tzn. przy czym k będzie miało różną wartość dla różnych wrażeń. Wyrażenie powyższe można zapisać w sposób następujący: oznacza to, że pochodna wrażenia względem energii jest odwrotnością energii, która dociera do naszych zmysłów. Co to za funkcja W(E), której pochodna jest . Wiadomo, że jest to funkcja logarytmiczna. W akustyce zamiast energii przyjmuje się natężenie I, które wyraża się wzorem: (a słowami natężenie I, jak podano wcześniej. można określić, że jest to stosunek energii E do powierzchni S, na którą pada i do czasu t, w którym dana energia pada na określoną powierzchnię S). Można zatem napisać, że zmiana wrażenia . Jeśli I1 przyjmiemy jako poziom odniesienia. Dla wrażenia słuchowego (dźwięku) przyjmuje się poziom odniesienia I0 = 10-12 W/m2 przy 1000 Hz. Jeśli przyjmiemy, że k = 1 Bel, to: W decybelach ( , ponieważ 1B = 10 dB. Człowiek ma 5 receptorów (słuch, wzrok, dotyk, smak, węch i można przyjąć dwa hipotetyczne: receptor informacyjny i receptor emocjonalny), z których każdy ma określoną charakterystykę czułości. Można dla każdego z nich, podobnie jak dla słuchu, określić wrażenie i odpowiednio je mierzyć, wykorzystując pojęcie natężenia odpowiednio zdefiniowanego. PYTANIA 1) Na czym polega zjawisko Dopplera? 2) Co się zmienia przy zbliżaniu się źródła dźwięku do obserwatora? 3) W jakim przypadku zachodzi rezonans między dwoma kamertonami? 4) W jakim przypadku powstają dudnienia? 5) Ile wynosi częstość dudnień jeśli częstość jednego kamertonu wynosi 1000 Hz, a drugiego 1003 Hz? 6) Jeżeli częstotliwość dudnień wynosi 4 Hz i wiadomo, że jedna z częstotliwości wynosi 1000 Hz, to ile może mieć druga? II FIZYKA DROBINOWA (MOLEKULARNA) 6 CIEPŁO I TEMPERATURA Temperatura jest wskaźnikiem energetycznym układu i mówi o energii wewnętrznej układu. Temperaturę można mierzyć różnego rodzaju termometrami np.: gazowymi, cieczowymi i dylatacyjnymi (wykorzystuje się tu rozszerzalność liniową ciał stałych), bimetalicznymi, termistorami, termoparą, termometrem oporowym, pirometrem optycznym i za pomocą ciekłych kryształów wykonanych w postaci przyklejanego do ciała plastra, na którym, gdy człowiek ma podwyższoną temperaturę ukazuje się napis „temperatura”. Rys. 110 Skale termometryczne a) Celsjusza, b) Farenchajta, c) Kelwina Termistor to bardzo mała kuleczka z półprzewodnika o średnicy np.: 0.5 mm zmieniająca swoją oporność w zależności od temperatury co przedstawia wykres z rys.111. Mierząc oporność termistora, możemy określić temperaturę z dokładnością do 0.001˚C. Rys. 111 Termistor i jego charakterystyka Rys. 112 Termopara z galwanometrem G Termopara to dwa, zespawane ze sobą różne metale wzięte z szeregu napięciowego metalii. Gdy spoinę będziemy ogrzewać, to na końcach przewodników pojawia się różnica potencjałów elektrycznych U. Mierząc wartość napięcia można określić temperaturę spoiny. Zdolność termoelektryczna termopary Zt określa się wzorem: ΔT – różnica temperatur między spoiną a wolnymi końcami termopary Ciepło jest inną od pracy formą przekazywania energii. Ciepło można mierzyć w kaloriach (cal) lub w dzulach (J). Ciepło podobnie jak praca nie jest funkcją stanu i zależy od sposobu przejścia układu z jednego stanu do drugiego. Energia w odróżnieniu od ciepła i pracy jest funkcją stanu. Wychodząc ze wzoru: Q = mcw ΔT, sprawdzamy jednostki po obu stronach równania otrzymujemy wzór, który może posłużyć jako definicja ciepła właściwego: Ciepło właściwe jest to ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 kg danej substancji o 1 K. Ten wzór jest słuszny tylko w obszarze temperatur, w którym nie ma zmiany stanu skupienia. Przy zmianie stanu skupienia, np.: przy topnieniu mamy: Q = m ct stąd ct = Przy topnieniu ciał krystalicznych temperatura topnienia nie ulega podwyższeniu w procesie topnienia mimo dostarczania ciepła do ciała topniejącego Temperatura topnienia stopu jest zawsze mniejsza od najniższej temperatury topnienia jego składników. Rys. 113 Topnienie ciał poli i monokrystalicznych Rys. 114 Topnienie ciała bezpostaciowego (amorficznego) Przy parowaniu: ciepło potrzebne do wyparowania danej masy m, bez zmiany jej temperatury Qp = m cp stąd Jednostką ciepła spoza układu SI jest kaloria. Kaloria jest to ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 g wody o 1˚C w granicach od 14.5 do 15.5˚C. (1 cal = 4.19 J). Ciepło parowania cp, jest to ilość ciepła potrzebna do wyparowania 1 kg danej substancji po uprzednim doprowadzeniu jej do temperatury wrzenia pod normalnym ciśnieniem. Ciepło atomowe danego ciała jest równe pojemności cieplnej jednego gramoatomu. W zależności od stanu skupienia różne są średnie odległości między cząsteczkami r1 < r2 < r3. Ciepło spalania jest to ilość ciepła, którą uzyskujemy z całkowitego spalenia 1 kg paliwa po ostudzeniu końcowych produktów spalenia do ich temperatury początkowej i skropleniu substancji lotnych. Rys. 115 Trzy stany skupienia i przejścia między nimi. Rys. 116 Więź między atomami zanika gdy r → ∞ Siły odpychania występują między jądrami atomów w cząsteczce i chmurami elektronów w atomie. .Siły przyciągania wynikają z oddziaływań grawitacyjnych i elektrycznych. Odległość ro , to odległość między atomem znajdującym się w początku osi współrzędnych i danym atomem. Ed – jest wielkością energii dysocjacji cząsteczki. Dysocjacja jest to rozpad cząsteczki pod wpływem oddziaływań czynników zewnętrznych np. promieniowania lub oddziaływaniem rozpuszczalnika. PYTANIA 1) Co to jest temperatura i jakiego rodzaju termometrami można ją mierzyć? 2) Jakie są skale temperatur i czym się one różnią? 3) Co to jest ciepło? 4) Dla jakiego przypadku obowiązuje wzór na ciepło w postaci: mcw ΔT? 5) Co to jest ciepło właściwe? 6) Czy ciepło właściwe jest stałe dla danego ciała? 7) Czym różnią się między sobą wzory: na ciepło właściwe i na ciepła przemiany (topnienia lub parowania)? 8) W jakim przypadku temperatura ciała nie wzrasta, mimo dostarczania mu ciepła? 9) Podać definicję kalorii. 10) Co jest większe dżul czy kaloria? 11) Ile kalorii ma dżul? 12) Wyjaśnić z czego pochodzą siły przyciągania i odpychania między atomami 6.1 Bilans cieplny W bilansie cieplnym opieramy się na zasadzie zachowania energii. Bilans cieplny polega na tym, że tyle ciepła ile jedne ciała oddają to tyle samo inne otrzymują. W celu nabycia umiejętności układania bilansu cieplnego rozważmy najpierw następujący problem: wyobraźmy sobie, że mamy bryłkę lodu o masie m = 10 g. Temperatura początkowa lodu wynosi tp = – 20˚C. Chcielibyśmy wiedzieć ile ciepła Q trzeba jej dostarczyć aby wyparowała? Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 gdzie: Q1 – ciepło potrzebne na ogrzanie bryłki lodu do 0˚C (mlcwl [0˚ - (-20)]) Q2 – ciepło potrzebne na jej stopienie (mct) Q3 – ciepło potrzebne na ogrzanie wody z lodu od 0˚ do 100˚C (mlcww(100˚ - 0˚) Q4 – ciepło potrzebne na wyparowanie uzyskanej z lodu wody (mlcp ) Q = mlcwl [0˚ - (-20)] + mct + mlcww(100˚ - 0˚) + mlcp (w ΔT – zawsze od temperatury wyższej odejmujemy mniejszą) gdzie: ciepło właściwe lodu cwl = 0.5 = 2.095 cal = 4.19 J ciepło topnienia lodu ct = 80 = 335.2 ciepło właściwe wody cww = 1 = 4.19 ciepło parowania wody cp = 540 = 2262.6 Woda, charakteryzuje się m.in. tym, że, posiada jedno z największych ciepeł właściwych spośród różnych ciał występujących w przyrodzie. Jedynie wodór i hel mają większe od wody ciepło właściwe. Ciepło właściwe wodoru cwH = 3 cal/g˚C. Ciepło właściwe helu cwHe = 1.2 cal/g˚C. Być może, woda zawdzięcza właśnie wodorowi tak duże ciepło właściwe. Woda jest więc tym jedynym tworzywem żywej materii najbardziej odpornym na wzrost entropii . Wzrost entropii ciała określa się wzorem: Zmiana entropii (bałaganu) jest szczególnie widoczna w przypadku zmian stanu skupienia ciała. Zadanie Dane: Szukane: masa lodu m1 = 10 g temperatura końcowa wody tk= ? temperatura początkowa lodu tpl = - 20˚C temperatura początkowa wody tpw = 80˚C masa wody mw = 500 g masa kalorymetru mk = 20 g Strzałki rysujemy do lub od ciała, w zależności od tego czy ciało pobiera czy oddaje energię na sposób ciepła Rys. 117 Istota bilansu cieplnego Wymiana ciepła między kalorymetrem i jego otoczeniem jest tu pomijana, ponieważ kalorymetr jest tu termosem Q1 + Q2 + Q3 = Q4 + Q5 Gdzie: Q1 – ciepło potrzebne do podgrzania lodu do 0˚C Q2 – ciepło potrzebne do stopienia lodu Q3 – ciepło potrzebne na ogrzanie wody z lodu od 0˚C do tk (temperatury końcowej) Q4 – ciepło pobrane przez lód od wody Q5 – ciepło pobrane przez lód od kalorymetru m1cwl [0 – (-20)] + mlct + mlcww (tk – 0) = mwcww (tpw – tk) + mkck (tpw – tk) gdzie: mkck – równoważnik cieplny kalorymetru (pojemność cieplna) Prawo Dulonga i Petita Iloczyn ciepła właściwego ciała stałego i masy jego gramoatomu jest dla wszystkich pierwiastków wielkością stałą, równą ok. 26 J/g atom · K. Jest to ciepło atomowe ca. PYTANIA 1) Jakie wielkości potrzebne są do obliczenia ilości ciepła niezbędnego do wyparowania bryłki lodu o temperaturze t < 0˚C? 2) Czy ciepło właściwe ciała zmienia się w zależności od stanu skupienia? 3) Jakie własności wody i dlaczego zadecydowały one o tym, że woda stała się głównym tworzywem organizmów żywych? 4) Co nazywamy pojemnością cieplną kalorymetru? 5) Jaką zasadę obowiązującą w fizyce należy zastosować przy układaniu bilansu cieplnego? 6.2 Rozszerzalność cieplna ciał Ciała rozszerzają się w miarę wzrostu ich temperatury ponieważ wzrastają odległości między cząsteczkami. Rys. 118 Energia wiązania między cząsteczkami w zależności od ich wzajemnej odległości 6.2.1 Rozszerzalność liniowa Ciała ogrzewane zwiększają swoje wymiary, np. ogrzewany pręt będzie się wydłużał w miarę jego ogrzewania. Rys. 119 Wydłużenie się pręta w czasie ogrzewania Δl = αl0 ΔT Jak widać z rysunku 119: lt = l0 + Δl po podstawieniu za Δl mamy: lt = l0 + α l0 ΔT = l0 (1 + α ΔT) gdzie: α – współczynnik rozszerzalności liniowej Liniową rozszerzalność cieplną wykorzystuje się w bimetalach. Bimetale to dwie cienkie płytki sprasowane ze sobą na stałe posiadające różne współczynniki rozszerzalności liniowej. Bimetale wykorzystuje się w różnego rodzaju wyłącznikach np.: sieciowe bezpieczniki automatyczne używane w gospodarstwach domowych, regulatory termiczne w żelazkach elektrycznych, wiertarkach, w migaczach samochodowych i termometrach bimetalicznych. 6.2 .2 Rozszerzalność objętościowa Rys. 120 Wzrost objętości ciała ΔV na skutek ogrzewania ΔV = βV0 ΔT Vt = V0 + ΔV = V0 + βV0 ΔT gdzie: V0 – objętość początkowa Vt – objętość w temperaturze T β – współczynnik rozszerzalności objętościowej β – 3α dla wszystkich ciał stałych i cieczy β = dla gazu idealnego Vt = V0 (1 + β ΔT) Rys. 121 Zmiany objętości ciał wraz ze zmianą temperatury Jest to równanie prostej 6.2 .3 Rozszerzalność cieplna wody W 4˚C woda posiada najmniejszą objętość i dlatego ma największą gęstość. Fakt ten można wytłumaczyć tym, że odległości między atomami są większe w krysztale przy niszczeniu struktury odległości te zmniejszają się. Dzięki tej anomalnej rozszerzalności wody nie zamarza ona całkowicie w zimie w większych zbiornikach wodnych, ponieważ między pokrywą lodową a wodą znajduje się dobry izolator cieplny jakim jest warstewka powietrza z utrudnioną konwekcją. Rys. 122 Nieliniowa zmiana objętości wody wraz ze wzrostem temperatury Rys. 123 Zbiornik wodny z zamarzającą wodą PYTANIA 1) Jakie zmiany zachodzą w pręcie podczas jego ogrzewania? 2) Napisać równanie opisujące rozszerzalność cieplną ciał? 3) Podać związek między współczynnikami rozszerzalności objętościowej i liniowej. 4) Ile wynosi współczynnik rozszerzalności objętościowej i liniowej dla gazu doskonałego? 5) Od czego zależy zwiększenie się objętości ciała pod wpływem ogrzewania? 6) Przedstawić na wykresie zależność objętości wody od temperatur – dla temperatur dodatnich. 7) Jaka jest zależność gęstość wody od temperatury dla t > 0˚C? 8) Jakie czynniki utrudniają oddawanie ciepła przez wodę w zbiornikach wodnych przy temperaturach t < 0˚C? 6.3 Wymiana energii na sposób ciepła Ciała mogą wymieniać energię na sposób ciepła z otoczeniem na drodze: a) konwekcji (unoszenia) b) przewodzenia c) promieniowania 6.3.1 Wymiana na drodze konwekcji Istotą wymiany energii na drodze konwekcji jest to, że przenosi się ona wraz z masą. Temperatura powietrza Tp otaczającego grzejnik zwiększa się na skutek wymiany energii i pędu w wyniku zderzeń z cząsteczkami grzejnika. Zwiększa się objętość powietrza zaznaczonego na rysunku jako V, ponieważ V = V0(1 + β ΔT),maleje jego ciężar właściwy γ = Q/V w związku z tym powietrze zaczyna się unosić do góry, jako lżejsze, zgodnie z prawem Archimedesa, (według, którego ciała lżejsze wypływają do góry) a następnie przechodzi do ściany S gdzie następuje proces odwrotny, tzn. powietrze oziębia się – ciężar właściwy powietrza wzrasta i opada ono ku dołowi. Rys. 124 Wymiana ciepła na drodze konwekcji 6.3.2 Wymiana energii cieplnej przez przewodzenie (analogie elektrotermiczne) Między różnego rodzaju przepływami istnieją pewne analogie zarówno między prawami jak i między wielkościami tam występującymi. Weźmy pod uwagę np.: przepływ prądu elektrycznego i przepływ energii zarówno przez przewodniki jak i izolatory. 6.3.2 .1 Prawa Fouriera dotyczące przepływu ciepła jako analogia do przepływu prądu elektrycznego opisanego prawami Ohma Strumień ładunków elektrycznych Q płynących przez przewodnik – inaczej natężenie prądu I określa się wzorem: I prawo Ohma: II prawo Ohma: Rys. 125 Przepływ prądu przez przewodnik gdzie: R – opór U – napięcie ρ – oporność właściwa γ – przewodność właściwa elektryczna V1, V2 – potencjały na początku i na końcu przewodnika 6.3.2.2 Wymiana energii między ciałami na sposób ciepła przez przewodzenie Wymiana ta opisana jest równaniem Fouriera. Mechanizm tej wymiany tłumaczy się na gruncie teorii kinetyczno – molekularnej budowy materii, a strumień ciepła q określa się wzorem: Z prawa Fouriera wynika, że strumień ciepła przechodzący przez pręt jest wprost proporcjonalny do różnicy temperatur między jego końcami, a odwrotnie proporcjonalny do oporności cieplnej Rc pręta ← prawo Fouriera (analogia do I prawa Ohma) Oporność cieplna pręta wyraża się wzorem: (analogia do II prawa Ohma) gdzie: λ – współczynnik przewodnictwa cieplnego (przewodność cieplna właściwa przewodnika) Q – ilość ciepła przepływająca przez przewodnik o długości l i przekroju S Rys. 126 Przepływ „energii cieplnej” przez przewodnik 6.3.2.3 Uogólnione prawo transportu Już w starożytności Heraklit stwierdził, że wszystko płynie mówiąc „panta rhei”. Jednakże prawa związane z różnego rodzaju przepływami zaczęto stopniowo odkrywać dopiero w XIX wieku. Onsager w 1931 roku zauważył m. in. że przyczyną przepływu prądu jest nie tylko napięcie X1, ale również gradien temperatury X2, gradient ciśnienia X3, gradient stężenia X4. Od tych samych gradientów, zwanych również bodźcami, zależą: przepływ energii ciepła oraz przepływy masy w sposób następujący: = I1 = L11 X1 + L12 X2 + L13 X3 + L14 X4 = I2 = L21 X1 + L22 X2 + L23 X3 + L24 X4 = I3 = L31 X1 + L32 X2 + L33 X3 + L34 X4 = I4 = L41 X1 + L42 X2 + L43 X3 + L44 X4 gdzie: I1, I2, I3, I4 – strumienie: I1 – natężenia prądu, I2 – ciepła, I3, I4 – masy. J = γ gradφ gdzie: X1, X2, X3, X4 – bodźce lub gradienty potencjałów: X1 – elektrycznego, X2 – temperatury X3 – ciśnienia, X4 – stężenia Lik – przewodność G = 1/R Zasada wzajemności Onsagera głosi,że: Lik = Lki = Gik = I1 = L11 X1 – prawo Ohma I2 = L22 X2 – prawo Fouriera I3 = L33 X3 – prawo Poiseuille’a I4 = L44 X4 – pierwsze prawo Ficka gdzie: , , , Drugie prawo Ficka: określa szybkość zmian stężenia c substancji w danym miejscu, podczas dyfuzji, w poszczególnych chwilach Rys. 127 Zmiana stężenia w czasie, w określonym miejscu x Współczynnik dyfuzji D określa się wzorem: gdzie: η – współczynnik lepkości dynamicznej, r – promień cząsteczki dyfundującej R – stała gazowa, T – temperatura cieczy N - liczba Awogadra 6.3.2.4 Zjawiska sprzężone z przepływami uogólnionymi Poniżej przedstawione zostały różne zjawiska sprzężone z przepływami uogólnionymi i tak np.: L12 X2 – człon odpowiedzialny za zjawisko termoelektryczne (efekt Seebecka – różnica potencjału elektrycznego wywołana różnicą temperatur obu złącz w termoparze różnicowej); różnica temperatur powoduje przepływ ładunku. L13 X3 – człon odpowiedzialny za zjawisko przepływu ładunków elektrycznych na cząsteczkach masy przepływającej substancji na skutek gradientu ciśnienia (wiąże się to również ze zjawiskiem piezoelektrycznym). L14 X4 – efekt związany z potencjałem elektrodowym opisanym wzorem Nernesta (V1 = V0 + ). Zjawisko spadku napięcia w czasie pobierania prądu ze źródła wskutek nieuporządkowanych zmian stężenia roztworów – ogniwa stężeniowe (zjawisko odwrotne do elektroosmozy). L21 X1 – efekt Peltiera (drugie równanie Thomsona) – różnica potencjałów elektrycznych powoduje przepływ „energii cieplnej”. L23 X3 – zjawisko wzrostu temperatury środowiska porowatego przez który zachodzi przepływ cieczy lub gazu na skutek wzrostu ciśnienia (dyssypacja energii - procesy nieodwracalne). L24 X4 – człon odpowiedzialny za efekt Dufoura. Polega na sprzężeniu przepływu ciepła z przepływem składników. Jeżeli w fazie wieloskładnikowej o jednolitej temperaturze utworzymy gradient stężeń i wywołamy dzięki temu dyfuzję składników, wówczas dyfuzja ta wytworzy gradient temperatury. Efekt taki stwierdzili w gazach Dufour, Clausius i Waldman. L31 X1 – elektroosmoza lub elektroforeza (równanie Saxena), ładunek elektryczny pędzony bodźcem napięcia elektrycznego wywołuje strumień przepływu masy (ciśnienie elektroosmotyczne). Człon odpowiedzialny za zjawisko elektrokapilarne (np.: odsączanie torfu). L32 X2 – konwekcja (wiatry na skutek różnicy temperatury) L34 X4 – pompy dyfuzyjne L41 X1 – elektrodyfuzja równanie Nersta – Plancka L42 X2 – zjawisko odwrotne do efektu Dufoura (termodyfuzja) L43 X3 – prawo Darcy, filtracja To uogólnione prawo transportu można również zapisać w formie macierzowej: lub krócej w postaci: [Ii] = [Lik] [Xk] PYTANIA 1) Omówić mechanizm wymiany ciepła przez ciało z otoczeniem na drodze konwekcji. 2) Dlaczego nagrzewane powietrze unosi się do góry? 3) Jaką rolę odgrywa zasada wymiany pędu i energii w ogrzewaniu i ostyganiu ciał? 4) Jakie analogie występują między wzorami opisującymi transport energii i ładunku elektrycznego? 5) Co jest odpowiednikiem strumienia ciepła przy przepływie ładunku elektrycznego? 6) Od czego zależy oporność cieplna przewodnika? 7) Wymienić czynniki od jakich zależy strumień ciepła (podać wzór ). 6.3.3 wymiana energii na sposób ciepła przez promieniowanie 6.3.3.1 Prawo Prèvosta Prawo Prèvosta mowi, że każde ciało, które ma temperaturę T > 0 K promieniuje energię. Rys. 128 Kwanty energii wychodzące z ciała 6.3.3.2 Prawo Stefana – Boltzmanna Prawo Stefana – Boltzmanna głosi, że strumień (albo przepływ) ciepła, q, wypromieniowany przez ciało jest proporcjonalny do czwartej potęgi temperatury (w kelwinach) w. Prawo to wyraża się wzorem: gdzie: q – przepływ ciepła ε – współczynnik emisyjności σ – stała Boltzmana (σ = 5.67 10-8 ) S – powierzchnia ciała Rys. 129 Ciało „doskonale czarne” skonstruowane przez człowieka Dla ciał doskonale czarnych (ε = 1) wzór na natężenie promieniowania I ma postać: Ciał doskonale czarnych nie ma. Ciałem najbardziej zbliżonym do ciała doskonale czarnego jest sadza. Dla sadzy ε = 0.98. Człowiek, jednakże, skonstruował „ciało” zbliżone do ciała doskonale czarnego (patrz rysunek 129). Jeśli na ciało pada pewna energia promieniowania E, to część jej ulega odbiciu Er, część zostaje zaabsorbowana Ea, a reszta przepuszczona Ep. Fakt ten zapisujemy wzorem: E = Er + Ea + Ep /: E dzieląc to równanie przez E mamy: Rys. 130 Rozdział energii padającej na ciało C. Otrzymaliśmy w ten sposób definicje współczynników: r, a, p – jako stosunki odpowiednich energii Er, Ea, Ep do energii padającej E, r + a + p = 1 gdzie: = r – współczynnik odbicia = a – współczynnik absorpcji = p – współczynnik przepuszczania (transmisji) ciała doskonale czarne, to takie, dla których: a = 1, r = 0, p = 0 ciała doskonale białe (doskonale rozpraszające lub całkowicie odbijające), to takie, dla których: r = 1, a = 0, p = 0 ciała doskonale przezroczyste, to takie, dla których: p = 1, a = 0, r = 0 6.3.3.3 Prawo Kirchhoffa Prawo to mówi, że stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała. Dla wszystkich ciał jest on (podaną przez Plancka) taką samą funkcją długości fali i temperatury – f(λ, T). Dla danej: długości fali λ i danej temperatury T stosunek ma wartość stałą. Zgodnie z prawem Kirchhoffa, ciało o większej zdolności absorpcyjnej posiada również większą zdolność emisyjną. Prawo Kirchoffa Prawo Plancka ↓ ↓ = const = f(λ, T) = gdzie: a – współczynnik absorpcji (zdolność absorpcyjna) ε – współczynnik emisji (zdolność emisyjna) k – stała Boltzmana (k = 1.38 10-23 J/K) ν = c/λ – częstość kwantu. Wynika stąd, że dla danej temperatury T i długości fali λ, ciała doskonale czarne, których współczynnik a = ε, to te, dla których a (λ, T) = 1, wobec tego . Ciała będące w równowadze termodynamicznej tzn. mające takie same temperatury stają się z definicji ciałami doskonale czarnymi i wówczas a = ε. 6.3.3.4 Prawo przesunięć Wiena (Wina) Ciało o temperaturze T wysyła kwanty promieniowania o różnej energii. Rys. 131 Ilustracja graficzna prawa przesunięć Wiena W miarę wzrostu temperatury λmax przesuwa się w stronę fal krótszych (patrz rys. 131). ; Iλ - natężenie promieniowania dla długości fali λ. Energia kwantu E = h ν = ; h = 6.62 · 10-34 J s jest tym większa im większa jest częstotliwość kwantu ν lub im krótsza długość jego fali λ. gdzie: h – stała Plancka c – prędkość światła λmax – długość fali, dla której energia promieniowania jest największa Wraz ze wzrostem temperatury ciała – rośnie natężenie promieniowania dla wszystkich długości fal, a jednocześnie λmax przesuwa się w stronę fal krótkich. Matematycznie prawo przesunięć Wiena wyraża się wzorem: λmaxT = 2897 μ m K (stała Wiena) stąd np.: dla organizmu człowieka mającego temperaturę T = 310 K mamy: = 9.35 μ m PYTANIA 1) Co mówi prawo Prèvosta? 2) Jak brzmi prawo Józefa Stefana i Ludwika Boltzmanna? 3) W jakich jednostkach mierzy się natężenie promieniowania temperaturowego? 4) Co to jest ciało doskonale czarne i czy występuje ono w przyrodzie? 5) Jaki jest rozdział energii padającej na ciało? 6) W jaki sposób określa się współczynnik odbicia? 7) Co to jest współczynnik absorpcji? 8) Jak określony jest współczynnik transmisji (przepuszczalności)? 9) Jakie wartości przyjmują współczynniki: odbicia, absorpcji, transmisji dla ciał doskonale: czarnych, białych i przezroczystych? 10) Jakie wartości przyjmują współczynniki: absorpcji, odbicia i przepuszczalności oraz ile wynosi ich suma? 11) Podać prawo Kirchhoffa.- dla promieniowania temperaturowego. 12) Podać wzór formułujący prawo Plancka. 13) Od czego zależy stosunek współczynnika emisyjności do współczynnika absorpcji? 14) Jak sformułowane jest prawo przesunięć Wiena? 15) Matematyczne sformułowanie prawa przesunięć Wiena.- napisz wzór. 16) Jaka jest wartość stałej Wiena i w jakich jednostkach jest mierzona? 17) Co to jest λmax w prawie przesunięć Wiena? 18) Obliczyć długość fali promieniowania temperaturowego, odpowiadającej maksymalnemu natężeniu promieniowania ciała ludzkiego. 19) Obliczyć energię jednego kwantu promieniowania temperaturowego człowieka odpowiadającego maksymalnemu natężeniu jego promieniowania. 20) Czy martwy człowiek wysyła energię w postaci kwantów? 6.4 Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne Temperatura krytyczna jest to temperatura, powyżej której dana substancja może znajdować się tylko w stanie gazowym. (temperatura krytyczna to jest taka, w której zanika różnica faz między fazą ciekłą i gazową). Rys. 132 Szklanka z wodą pod kloszem (temperatura wrzenia substancji zależy od ciśnienia). Rys. 133 Kociołek Papina – służy do badania zależności temperatury od ciśnienia, czyli Tw = f(p) Aby ciało pozostawało w równowadze to algebraiczna suma momentów sił względem przyjętego punktu obrotu równa się zeru, ∑MF = 0 Można zatem dla kociołka Papina napisać równanie: Q R = P r Stąd Parcie: → P = ponieważ , gdzie S jest powierzchnią zaworu bezpieczeństwa, z, w kociołku Papina (Rys. 133) mamy zatem: gdzie: R, r, S – stałe dla danej konstrukcji kociołka. Zawieszając zatem na dźwigni w kociołku Papina coraz większe ciężary, Q, uzyskujemy w nimcoraz większe ciśnienia, p,. Rys. 134 Zależność temperatury wrzenia wody od ciśnienia Ciśnienie krytyczne, pKr jest to takie ciśnienie, za pomocą którego możemy skroplić daną substancję w jej temperaturze krytycznej. PYTANIA 1) Co to jest temperatura krytyczna? 2) W jakiej temperaturze znika różnica faz i jakie to są fazy? 3) W jaki sposób temperatura wrzenia zależy od ciśnienia? 4) Co to jest ciśnienie krytyczne? 7.1 WŁASNOŚCI PAR I GAZÓW Gaz to stan lotny materii występującej powyżej temperatury krytycznej. Gaz tym się różni od pary, że gazu nie można skroplić bez obniżenia jego temperatury poniżej temperatury krytycznej, parę natomiast można skroplić w danej temperaturze wywierając odpowiednio duże ciśnienie. W przypadku pary nasyconej, o danej temperaturze, zmniejszaniu jej objętości nie towarzyszy wzrost ciśnienia, tak jak w przypadku gazu, ponieważ następuje tu skraplanie się pary – przy stałym ciśnieniu. Widać to na wykresie. Rys. 135 Zmiany stanu skupienia wody w zależności od objętości i temperatury. Obszary: 1) ciecz, 2) ciecz i para nasycona, 3) para nienasycona,, 4) gaz Powietrze po raz pierwszy udało się skroplić dopiero w 1883 r, a dokonali tego w Krakowie dwaj polscy uczeni – Wróblewski i Olszewski. Musieli oni pokonać trudności związane z obniżeniem temperatury do temperatury krytycznej (dla powietrza Tkr = - 140,7oC) następnie wywrzeć duże ciśnienie równe ciśnieniu krytycznemu. Prężność pary nasyconej w temperaturze wrzenia danej substancji równa jest ciśnieniu panującemu nad cieczą. Z pary nienasyconej można otrzymać parę nasyconą przez zwiększenie ciśnienia (a) lub przez obniżenie temperatury (b). 7.1 Wilgotność powietrza i gazów 7.1.1 wilgotność bezwzględna Wb Wilgotność bezwzględna jest to gęstość pary zawartej w powietrzu w danej temperaturze. gdzie: m – masa pary V – objętość w jakiej się ona znajduje 7.1.2 wilgotność względna Ww Wilgotność względna jest to stosunek masy pary m zawartej w danej objętości do masy pary, która by tę objętość nasyciła. gdzie: ρ – gęstość pary ρpn – gęstość pary nasyconej w danej temperaturze p – prężność pary (ciśnienie wewnętrzne) ppn – prężność pary nasyconej. Gęstość pary nasyconej ρpn wzrasta wraz ze wzrostem temperatury t (odwrotnie niż gęstość ciała, która zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury). Wilgotność względną mierzymy za pomocą: a) higrometru Daniela (Aluarda). Przedmuchując powietrze przez zbiorniczek z eterem usuwamy z nad jego powierzchni parę nasyconą ułatwiając w ten sposób dalsze parowanie eteru. Jednocześnie obniża się temperatura poniklowanej, a zatem „lśniącej” przedniej ścianki naczynia, na której z chwilą osiągnięcia temperatury punktu rosy , skrapla się para wodna zawarta w pomieszczeniu, w którym znajduje się higrometr. Rys. 136 Higrometr Daniela (Aluarda) i tabelka zależności gęstości pary nasyconej od temperatury b) psychrometru Augusta – Assmanna. Są to dwa termometry. Jeden z nich jest otulony watką zwilżoną. Woda ze zwilżonej watki paruje obniżając jej temperaturę. Wilgotność względną odczytujemy z tablic na podstawie wskazań obu termometrów. Rys. 137 Psychrometr Augusta – Assmanna (termometry te umieszcza się we wspólnej obudowie wraz z wiatraczkiem wymuszającym stały przepływ powietrza, którego wilgotność mierzymy. c) higrometru włosowego – włos ludzki wydłuża się w miarę zwiększania wilgotności bezwzględnej, a sprężynka przyczepiona do włosa, powoduje przez pociąganie włosa obrót walca, na którego osi zamocowana jest wskazówka Rys. 138 Higrometr włosowy 7.2 Punkt potrójny wody Punkt potrójny wody stanowi podstawę definicji Kelwina, która brzmi: (1 kelwin jest temperaturą w skali bezwzględnej równą temperatury, którą posiada woda w punkcie potrójnym . Na rysunku 139 pokazane są krzywe równowagi dynamicznej między poszczególnymi stanami skupienia. Równowaga dynamiczna polega na tym, że w każdej chwili tyle lodu się topi ile wody zamarza lub tyle wody wyparuje ile się jej skrapla. Wykres ten można porównać z wykresem z rysunku 134 gdzie pokazana jest zależność temperatury wrzenia od ciśnienia. Rys. 139 Zmiany stanu skupienia, O -punkt potrójny wody temperatury punktu potrójnego wody PYTANIA 1. Czym różni się gaz od pary? 2. Co się dzieje z ciśnieniem, jeśli w stałej temperaturze zmniejszymy objętość pary nienasyconej? 3. Co się dzieje z ciśnieniem pary nasyconej w stałej temperaturze, jeśli zmniejszamy jej objętość? 4. W jakich jednostkach mierzy się prężność pary i jak się ona inaczej nazywa? 5. Na czym polegała trudność przy skraplaniu powietrza? 6. Ile wynosi temperatura krytyczna powietrza? 7. W jaki sposób z pary nienasyconej można otrzymać parę nasyconą? 8. Dlaczego w zimie, gdy wchodzimy w okularach do ciepłego pomieszczenia, szkła okularów pokrywają się rosą? 9. Wymienić rodzaje wilgotności powietrza? 10. Co nazywamy wilgotnością względną i bezwzględną powietrza? 11. Podać trzy spośród czterech wzorów na wilgotność względną. 12. Jak zmienia się gęstość pary wodnej w zależności od temperatury? 13. Za pomocą jakich przyrządów można mierzyć wilgotność względną i bezwzględną, a za pomocą jakich tylko względną? 14. Jak jest zbudowany i do czego służy higrometr Daniela? 15. Jaka jest zasada działania higrometru Aluarda? 16. W jaki sposób za pomocą termometrów można mierzyć wilgotność powietrza? 17. W jakim przyrządzie znalazł zastosowanie włos ludzki i dlaczego? 18. Co to jest punkt potrójny wody i w definicji czego jest on wykorzystywany? Podać tę definicję. 8. PRZEMIANY GAZOWE GAZU DOSKONAŁEGO Wzór Clapeyrona stanowi uogólnienie praw gazowych dla gazu doskonałego: p V = n R T gdzie: p – ciśnienie V – objętość n – liczba moli R – stała gazowa μ – masa cząsteczkowa m – masa gazu Dla n = 1 W równaniu występują trzy wielkości: p, V, T są to paremetry stanu gazu. Na podstawie ich zmian można sformułować - trzy prawa gazowe, w których zawsze jedna z tych wielkości będzie stała. Ogólnie można napisać, że: 8.1 Prawo Boyle’a – Mariotte’a – przemiana izotermiczna (T = const) Prawo Boyle’a – Mariotte’a mówi, że w stałej temperaturze dla stałej masy gazu, ciśnienia gazu są odwrotnie proporcjonalne do objętości jakie ten gaz zajmuje albo wprost proporcjonalne do gęstości jakie ten gaz posiada. Słuszność tego prawa można łatwo sprawdzić za pomocą rurki Meldego. Należy w tym celu rurkę ustawiać kolejno w położeniach jak na rys.140a i odczytywać objętość jaką zajmuje gaz oraz obliczać ciśnienie jakie w nim panuje. Rys. 140 Przemiana izotermiczna Rys. 140 a Rurka Meldego do sprawdzania prawa Boyle’a – Mariotte’a gdzie: p – ciśnienie, ( - ciężar właściwy rtęci, h – wysokość słupka rtęci. dla n = const oraz T = const mamy: p1 V1 = p2 V2 = const ponieważ z definicji gęstości mamy: oraz Po wstawieniu do powyższego wzoru za: V1 i V2 otrzymujemy: Na podstawie tego wzoru formułujemy treść prawa Boyle’a – Mariotte’a przytoczonego wyżej. 8.2 Prawo Gay Lussaca – przemiana izobaryczna (p =const) Na podstawie wzoru Clapeyrona możemy napisać: gdy n = const i p = const mamy: Patrząc na napisane wzory, można bez trudu wygłosić treść prawa Gay- Lussaca w sposób następujący: dla stałej masy gazu i stałego ciśnienia, objętości jakie zajmuje gaz są wprost proporcjonalne do temperatur jakie ten gaz posiada. Można również napisać wzór w jaki sposób będzie się zmieniać objętość gazu Vt w zależności od temperatury T. Vt = V0(1 + βΔT) Rys. 141 Przemiana izobaryczna 8.3 Prawo Charlesa (Szarla) – przemiana izochoryczna (V=const) Dla n = const i V = const mamy: Zależność ciśnienia pt, od temperatury T, można wyrazić wzorem: pt = p0(1 + βΔT) i przedstawić na wykresie (Rys.142) Rys. 142 Przemiana izochoryczna 8.4 Prawo Poissona (Puasona) – przemiana adiabatyczna Przemiana adiabatyczna to taka, która zachodzi bez wymiany ciepła z otoczeniem Q = 0. W przemianie adiabatycznej podobnie jak w przemianie izotermicznej ciśnienia gazu są odwrotnie proporcjonalne do objętości jakie on zajmuje, z tym, ze wykładnik ( jest w tym przypadku większy od jedności. gdzie χ (kappa) – wykładnik adiabty Cp – CV = R (patrz p. 10.2 – I zasada termodynamiki) gdzie: Cp – molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu p CV – molowe ciepło właściwe przy stałej objętości V Cp > CV , ponieważ przy p=const, gaz wykonuje pracę W=F Δs (Rys.143) Rys. 143 Gazy ogrzewane w różnych warunkach (V=const i p=const) Molowe ciepło właściwe dla gazów jest mniejsze niż dla cieczy. W gazach występują mniejsze siły spójności niż w cieczach. Ciśnienie gazu w rurce: stąd F = p S Praca wykonana przez gaz przy przesunięciu się tłoczka o Δs jest równa: ΔW = F Δs ΔW = p S Δs A ponieważ S Δs = ΔV Mamy ΔW = p ΔV Gdzie: S – powierzchnia tłoczka Rys. 144 Przemiana adiabatyczna W przemianie adiabatycznej stosunek V2/V1 jest podniesiony do potęgi χ > 1. Dlatego przy tym samym stosunku V2/V1 zmiany ciśnienia w tej przemianie będą większe niż w przemianie izotermicznej gdzie: χ = 1. W związku z tym adiabata jest bardziej stroma od izotermy (patrz rys. 144) 8.5 Prawo Daltona Ciśnienie mieszaniny gazów doskonałych równe jest sumie ciśnień cząstkowych (parcjalnych). Ciśnienie cząstkowe to takie, które wywierałby każdy ze składników gdyby sam zajmował całą objętość naczynia. p = p1 + p2 + ... + pn 8.6. Równanie Van der Walsa Równanie Van der Walsa zapisuje się w postaci: opisuje ono gaz rzeczywisty, w odróżnieniu od opisu gazu doskonałego (opisywanego za pomocą równania Clapeyrona PV = nRT). Gaz rzeczywisty różni się od gazu doskonałego tym, że w gazie rzeczywistym uwzględnia się objętość cząsteczek i ich oddziaływanie między sobą.. Stałe a i b są różne dla różnych gazów, można wyznaczyć je ze wzorów: oraz gdzie: pkr – ciśnienie krytyczne danego gazu za pomocą, którego można dany gaz skroplić w temperaturze krytycznej Tkr, a objętość krytyczną Vkr określić można ze wzoru: gdzie: n – liczba moli R uniwersalna stała gazowa PYTANIA 1) Jakich praw uogólnienie dotyczy wzór Clapeyrona? 2) Które wielkości przyjmuje się za stałe w prawach: Boyle’a i Mariotte’a, Gay Lusaca, Charlesa i jakich one dotyczą przemian? 3) Co mówi prawo Boyle’a i Mariotte’a? 4) Podać i objaśnić wykres dotyczący prawa Boyle’a i Mariotte’a. 5) Co mówi prawo Gay Lusaca? 6) Narysować i wyjaśnić wykresy dotyczące prawa Gay Lusaca. 7) Co mówi prawo Charlesa? 8) Narysować i wyjaśnić wykresy związane z prawem Charlesa. 9) Omówić przemianę adiabatyczną. 10) Czym się różni przemiana adiabatyczna od izotermicznej? 11) Dlaczego adiabata jest bardziej stroma od izotermy? 12) Od czego zależy wykładnik χ w przemianie adiabatycznej? 13) Co to jest ciepło molowe przy stałym ciśnieniu i czym się różni od ciepła molowego przy stałej objętości? 14) Napisz i objaśnij równnie Van der Walsa 9 TEORIA KINETYCZNO – MOLEKULARNA BUDOWY MATERII Teoria kinetyczno – molekularna budowy materii mówi, że wszystkie ciała (oprócz gazów szlachetnych, stanowiących zbiór pojedynczych atomów) zbudowane są z cząsteczek będących w wiecznym ruchu (Ruchy Browna). W przypadku gdybyśmy odrzucili tę teorię nie potrafilibyśmy wyjaśnić takich zjawisk jak : a) dyfuzja b) osmoza c) napięcie powierzchniowe d) rozszerzalność cieplna e) przekazywanie energii na sposób ciepła (przewodzenie, konwekcja) f) meniski wklęsłe i wypukłe g) wrzenie, parowanie h) włoskowatość i) rozpuszczanie substancji stałych w cieczach 9.1 Dyfuzja Dyfuzja polega na samorzutnym mieszaniu się różnych substancji. Szybkość dyfuzji zależy od temperatury. W tej samej temperaturze szybciej dyfundują mniejsze cząstki. Fakt ten wynika ze wzoru: ; k – stała Boltzmanna przy założeniu, że: m v2 = const , widać, że gdy m maleje v musi wzrastać. Rys. 145 Dyfuzja w gazach Jeśli na początku doświadczenia w górnym naczyniu byłby sam wodór, a w dolnym np. dwutlenek węgla, to po pewnym czasie w obu naczyniach będą się znajdowały oba gazy, mimo tego, że ciężar właściwy dwutlenku węgla jest większy od ciężaru właściwego wodoru, ( ). Rys. 146 Dyfuzja w cieczy Jeśli za pomocą pipety wprowadzimy na dno naczynia z wodą np. CuSO4 , to po pewnym czasie CuSO4 , będzie znajdował się w całym naczyniu, pomimo tego, że > O Interesujący jest również fakt, że zapach danej substancji związany jest, z kształtem cząsteczki (różne wrażenia zapachowe wywoływane są kształtem cząsteczek znajdujących się na błonie śluzowej nosa ). 9.2 Osmoza Osmoza polega na przechodzeniu cząsteczek rozpuszczalnika (najczęściej wody, której cząsteczki są małe w stosunku do substancji rozpuszczanej), przez błonę półprzepuszczalną co prowadzi do wyrównania stężeń. Błona półprzepuszczalna posiada małe otworki tzw. pory (stąd określenie porowatości błony). Przez otworki w błonie mogą przechodzić tylko cząsteczki o średnicach mniejszych od średnicy otworu w błonie. Można inaczej powiedzieć, że jest to selektywna dyfuzja rozpuszczalnika przez pory błony półprzepuszczalnej do roztworu o większym stężeniu. Ciśnienie osmotyczne – jest to ciśnienie jakie przeciwdziała przenikaniu cząsteczek przez błonę do roztworu. Roztwory izoosmotyczne nie zawsze są izotoniczne . Jest tak dla roztworów przedzielonych błoną półprzepuszczalną, nie jest ona wówczas napięta mechanicznie. Natomiast przy błonie wybiórczo przepuszczalnej własność ta nie zachodzi, gdyż pomimo, że ciśnienia osmotyczne mogą być jednakowe, to stężenia poszczególnych substancji po obu stronach błony są różne. Rys. 147 Przechodząca ciecz przez błonę zmniejsza stężenie C1a zwiększa ciśnienie osmotyczne, równe ciśnieniu hydrostatycznemu w warunkach równowagi. 9.2.1 Prawo Van’t Hoffa: Prawo Van’t Hoffa, w przypadku równowagi wyraża się wzorem: h γ = hρg = π = (c1 – c2) RT mówi ono, że ciśnienie hydrostatyczne równoważone jest ciśnieniem osmotycznym, które powstaje w przypadku roztworu wieloskładnikowego, gdy przynajmniej jeden ze składników nie może przenikać przez błonę. gdzie: R – stała gazowa T – temperatura w kelwinach [K] h γ= hρg – ciśnienie hydrostatyczne π – ciśnienie osmotyczne Istnieją w naturze dość silne i powszechne tendencje do wyrównywania wszelkiego rodzaju „nierówności” chociaż występują jednak jednocześnie tendencje przeciwne. Absolutna równość stanów fizycznych oznaczałaby śmierć cieplną wszechświata. Wspaniałość tego świata, można by tak powiedzieć, polega na tym, że jedne nierówności znikając powodują tworzenie się innych. Fakt ten znajduje swe odzwierciedlenie również w systemach społecznych. PYTANIA 1) Omów teorię kinetyczno – molekularną budowy materii? 2) Które ze zjawisk nie moglibyśmy wyjaśnić odrzucając teorię kinetyczno – molekularną budowy materii? 3) Na czym polega zjawisko dyfuzji i gdzie ono zachodzi? 4) Na czym polega zjawisko osmozy? 5) Jakie zjawiska dowodzą, że w przyrodzie istnieją tendencje do wyrównywania się jednych nierówności i jednocześnie tworzenia się nowych? 6) Co oznaczałaby absolutna równość stanów fizycznych we wszechświecie? 7) Czy prawdziwe jest twierdzenie o śmierci cieplnej wszechświata? 8) W jakim przypadku możliwa byłaby śmierć cieplna wszechświata? 9.3 Napięcie powierzchniowe Napięcie powierzchniowe cieczy jest odwrotnie proporcjonalne do temperatury, zależy od rodzaju substancji i dodanych domieszek. Rys. 148 Siły spójności nadają kropli kształt kuli Rys. 149 Molekularny obraz napięcia powierzchniowego Rys. 150 Pomiar napięcia powierzchniowego Dla cieczy o dużym napięciu powierzchniowym tworzą się duże krople. Dla błony o grubości jednego atomu napięcie powierzchniowe (, wyraża się wzorem: Dla błony o pewnej grubości ponieważ stąd: Q = σ2 π r, korzystając z definicji ciśnienia mamy: Rys. 151 Pomiar napięcia powierzchniowego za pomocą rurki kapilarnej 9.4 Meniski Rys. 152 Meniski wklęsłe Rys. 153 Meniski: wypukły Meniski dla których siły przylegania są większe od sił spójności (Fp > Fs) nazywamy wklęsłymi. Natomiast te meniski dla których Fp < Fs nazywamy wypukłymi. Siła F decyduje o kształcie menisku. (Siłę F rozkładamy na dwie składowe : Fp – skierowaną prostopadle do ścianek rurki i siłę Fs skierowaną do wnętrza cieczy) rys. 153. Siły przylegania Fp (siła adhezji) występują między cząsteczkami cieczy i ciała stałego w tym przypadku rurki. Siły spójności Fs (siły kohezji) występują między cząsteczkami cieczy. Ciecz tworząca meniski wklęsłe wznosi się tym wyżej, im przekrój rurki jest mniejszy rys. 152 ponieważ siła F wzrasta ze względu na zbliżanie się do siebie składowych F1 i F2. Rys. 154 Menisk wklęsły Rys. 155 Ciecz tworząca meniski wypukłe obniża swój poziom w rurkach (im węższa rurka tym większa siła F) F = F1 + F2 Siła F powoduje ruch cieczy ku górze dla menisków wklęsłych a w dół – dla menisków wypukłych. PYTANIA 1) Co to jest napięcie powierzchniowe, gdzie ono występuje i w jakich jednostkach się je mierzy? 2) Od czego zależy napięcie powierzchniowe? 3) W jaki sposób można zmierzyć napięcie powierzchniowe? 4) Dlaczego okręty zbudowane ze stali nie toną w wodzie, której ciężar właściwy jest mniejszy niż stali? 5) Wyjaśnić mechanizm rozszerzania się ciał pod wpływem ich ogrzewania? 6) Jak teoria kinetyczno – molekularna tłumaczy przekazywanie energii na sposób ciepła przez konwekcję i przewodzenie? 7) W jaki sposób tłumaczy się powstawanie menisków wklęsłych i wypukłych? 8) Co to jest wrzenie i parowanie, czym się one różnią? 9) Na czym polega włoskowatość? 10) Co to są siły przylegania i siły spójności, gdzie one występują? 11) Kiedy siły spójności są większe od sił przylegania i odwrotnie? 12) Dlaczego woda w kapilarach o mniejszych średnicach wznosi się wyżej niż w kapilarach o większych średnicach? 13) Dlaczego w rurkach kapilarnych zanurzonych w wodzie, woda wznosi się tym wyżej nad powierzchnię wody im cieńsza jest rurka, a w rtęci odwrotnie, obniża się tym niżej pod powierzchnię? 9.5 Związek między średnią energią kinetyczną cząsteczek a temperaturą gazu. Nie wszystkie cząsteczki w danej temperaturze mają takie same energie kinetyczne. Jedne poruszają się szybciej, inne wolnej. Aby obliczyć średnią energię kinetyczną tych cząsteczek należałoby zsumować energie kinetyczne wszystkich cząsteczek i podzielić tę energię przez liczbę cząsteczek . W celu wyprowadzenia wzoru L. Boltzmanna Eśr = , za pomocą którego można obliczyć średnią energię kinetyczną cząsteczek, weźmy do rozważań 1 mol substancji, czyli N – znajdujących się cząsteczek w sześcianie o boku l (liczba Avogadro) Rys. 156 Sześcian z gazem idealnym Przy zderzeniu sprężystym o ściankę naczynia jak widać na rysunku v1 = - v F1 = m a gdzie : F1 – siła uderzenia jednej cząsteczki w ścianę t – czas, który upływa między jednym a drugim uderzeniem cząsteczki w ściankę, a ściśle rzecz biorąc jest to czas działania siły F1 stąd: mamy zatem : Ponieważ wszystkie kierunki biegu cząsteczek są jednakowo prawdopodobne, to wzdłuż każdego kierunku (x, y, z) biegnie taka sama liczba cząsteczek N/3, a ciśnienie, które wywierają te cząsteczki na daną ściankę jest : gdzie : - jest siła uderzenia N/3 cząsteczek padających na jedną ściankę o powierzchni S = l2, ponieważ l3 = V, to: ciśnienie mnożąc licznik i mianownik przez 2 mamy : Z równania Clapeyrona dla 1 mola gazu mamy : Wstawiając za p powyższe wyrażenie otrzymujemy : stąd: czyli - uniwersalna stała gazowa - liczba Awogadro gdzie : k – stała Boltzmanna odgrywająca poważną rolę m. in. w fizycznej teorii informacji. Określa ona bowiem najmniejszy nośnik materialny lub energetyczny informacji. Nośnik ten ma wartość k ln2 = 0.693 k = 0.96 10-23 J lub 0.1 10-39 kg. Biorąc pod uwagę wzór E = m c2 mamy: PYTANIA 1) Jaki jest związek między temperaturą gazu, a średnią energią kinetyczną cząsteczek? 2) Podać wzór na siłę uderzenia jednej cząsteczki gazu w ściankę naczynia. 3) Z jaką prędkością poruszać się będzie cząsteczka po zderzeniu sprężystym ze ścianką naczynia? 4) Jak określić czas, który upływa między jednym a drugim zderzeniem się cząstki ze ścianką jeśli naczynie jest w kształcie sześcianu o boku l? 5) Od czego zależy napór cząsteczek na ściankę naczynia w kształcie sześcianu o boku l, wypełnionego gazem? 6) Wyprowadzić wzór na średnią energię kinetyczną cząsteczki gazu? 7) Podać wartości i wymiary stałych: R, N oraz k (stała gazowa, liczba Awogadro, stała Boltzmanna). 9.6. Prawo Laplace`a Prawo Laplace`a mówi, że różnica ciśnień po obu stronach zakrzywionej powierzchni rozdziału faz (ciecz- gaz lub ciecz 1-ciecz 2) wywołana jest napięciem powierzchniowym 9.6.1 Wzór Laplace’a dla powierzchni kulistej i cylindrycznej. Zastosowanie w układzie krążenia i układzie oddechowym. Ogólnie ciśnienie p wyraża się wzorem: gdzie: r i R – promienie krzywizn powierzchni cieczy w dwóch do siebie prostopadłych kierunkach jak na rys. 157 b (dentka od roweru – torus) σ – napięcie powierzchniowe Dla powierzchni kulistej p = , ponieważ (r=R) Dla powierzchni cylindrycznej p = , ponieważ (R = ) Rys 157 Kształty powierzchni, na które wywierane jest ciśnienie p Wzór Laplece’a stosuje się w ocenie ciśnień w naczyniach krwionośnych i pęcherzykach płucnych. 9.6.1.1 Prawo Henriego Prawo Henriego: Masa, m, gazu rozpuszczonego w cieczy w stałej temperaturze proporcjonalna jest do ciśnienia parcjalnego (cząsteczkowego) gazu. m = k p, k – współczynnik proporcjonalności zależny od rodzaju gazu i temperatry. Podczas prowadzenia prac kesonowych pod wodą mogą u nurków wystąpić zatory gazowe, rozedma płuc: w czasie wynurzania się nurków następuje spadek ciśnienia we krwi i wydzielanie się gazów w postaci pęcherzyków, które z koleii mogą zaczopować małe naczynia krwionośne. Wzorem Laplace’a wyraża się zależność między ciśnieniem sprężystym p, z jakim ścianka naczynia cylindrycznego działa na ciecz, a napięciem sprężystym T: T – jest napięciem sprężystym stanowiącym analogię do napięcia powierzchniowego σ gdzie: l – długość naczynia F –wypadkowa sił rozciągających ścianki naczynia przypadająca na jednostkę długości W pęcherzyku płucnym istnieje pewna nadwyżka ciśnienia w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym. Ta nadwyżka równoważy ciśnienie będące wynikiem sił napięcia powierzchniowego: 9.6.2 Prawa i wzory opisujące własności sprężyste ścian w naczyniach krwionośnych. Napięcie czynne i bierne naczyń. Ciśnienie krwi na ścianki naczyń krwionośnych jest zrównoważone ciśnieniem ściany na krew zgodnie ze wzorem: Wzór Laplace’a wyraża zależność między T i r (p – ciśnienie sprężyste) Wyróżniamy napięcie czynne – wywierane przez mięśnie gładkie, natomiast napięcie bierne pochodzące od odziaływania naczynia krwionośnego, które zbudowane jest z białek: elastyny i holagenu nadające naczyniom właściwości sprężyste ścianki (białka: elastyna i holagen). Dla tych samych przekrojów, napięcie sprężyste T jest wyższe dla tętnic niż dla żył. Napięcie czynne odgrywa ogromną rolę w regulacji ciśnienia tętniczego i termoregulacji (ze zmniejszeniem się promienia R wzrasta opór przepływu) 9.6.3 Prędkość poruszania się krwi i fali tętna – wzory. Na skutek rytmicznej pracy serca i wytłaczania dużej objętości krwi (ok. 70 cm3) w krótkim czasie (ok. 8s), energia kinetyczna krwi wtłaczanej przez serce rozszerza naczynia krwionośne. Następnie naczynia kurczą się ze względu na sprężystość ich ścianek. W ten sposób energia kinetyczna krwi wtłaczanej przez serce zamieniona została na energię sprężystości naczynia krwionośnego ( ) – (patrz p.3.1). W ten sposób powstaje fala tętna, która przechodzi wzdłuż naczynia krwionośnego z prędkością c = 5 do 8m/s zgodnie ze wzorem: gdzie; e – grubość ściany ρ – gęstość tkanki r – promień przekroju naczynia E – moduł Younga Z wynikami doświadczalnymi lepiej zgadza się półempiryczny wzór (Mosena): F – współczynnik empiryczny tętna > krwi , tętna = 5 – 8 m/s krwi ok. 0.5 m/s, Prędkość krwi natomiast w czasie skurczu wynosi 1.2 m/s po czym zmniejsza się przyjmując podczas rozkurczu wartość chwilowo ujemną. Prędkości te zależą od pracy serca. 9.6.4 Ciśnienie transmularne. Nadciśnienie Ciśnienie transmularne jest to ciśnienie statyczne krwi równe różnicy ciśnień: ciśnienia wewnętrznego naczyniowego pwew i ciśnienia pozanaczyniowego pz. Ciśnienie to rozszerza naczynia krwionośne. Na wartość ciśnienia krwi wpływają: 1. Czynność serca 2. Rodzaj naczynia (Aorta ok.. 100 mmHg, żyła główna blisko 0 mmHg w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym) 3. Ciśnienie hydrostatyczne (wpływ pola grawitacyjnego) np. w stopach wynosi 200 mmHg, w głowie 62 mmHg. Przyczyny nadciśnienia: 1. Przerost ściany naczyniowej (nadmierna praca serca) 2. Zaburzenie ośrodka naczyniowo ruchowego 3. Nikotyna (cholesterol) zwęża naczynia 9.6.5 Przepływ laminarny oraz turbulentny. Kryterium Reynoldsa Przepływ laminarny jest wówczas gdy wektor prędkości jest równoległy do ścianek naczynia. Przepływ jest stacjonarny gdy przyspieszenie a = 0, - burzliwy gdy tworzą się wiry oraz a ≠ 0. Prędkość krytyczna vkr wg Reynoldsa to taka, przy której ruch laminarny przechodzi w burzliwy gdzie: l – długość charakterystyczna dla danego przekroju Re –liczba Reynoldsa η – lepkość dynamiczna krwi, ρ – gęstość krwi Rekr = 2300 Re ≤ 2000 – przepływ laminarny Re ≥ 2600 – przepływ burzliwy Przepływ burzliwy krwi występuje: · w chwili wypełnienia się komór serca · przy powrocie ciśnienia do normy – po zdjęciu opaski uciskowej · przy szybkim oddechu · na pograniczu wdechu i wydechu Określanie współczynnika lepkości. Prawo Poiseuille’a – lepkość, siły oddziaływania międzycząsteczkowego danej cieczy. Współczynnik lepkości dynamicznej η liczbowo równy jest sile potrzebnej do utrzymania ruchu powierzchni 1 m2 przy jednostkowym gradiencie prędkości (prawo Newtona) wydajność , Na podstawie analogii elektro – hydrodynamicznych można napisać, że podobnie jak dla oporności elektrycznej (R = ) można wprowadzić pojęcie oporu naczyniowego Rn wyrażającego się wzorem: , (ponieważ stąd (F=(pS) Opór naczyniowy mierzy się również w Im większy opór przepływu (duża lepkość i długość naczynia, a mały przekrój) tym mniejszy jest przepływ przy danej różnicy ciśnień. Nieinwazyjne metody pomiaru prędkości i strumienia objętości krwi. 1. metoda elektromagnetyczna. (e = - B v l w polu magnetycznym) stąd można wyznaczyć prędkość krwi gdzie: e – siła elektromotoryczna indukcji powstająca na skutek przepływu jonów zawartych we krwi. l - odległość między elektrodami. 2. metoda ultradźwiękowa Czas biegu fali we krwi w górę T1 i w dół T2 T1 < T2 Gdzie: u – prędkość dźwięku we krwi ok. 1500 m/s v – prędkość krwi B – indukcja magnetyczna Φ – strumień magnetyczny e – siła elektromotoryczna indukcji 3. metoda izotopowa Po wprowadzeniu izotopu do naczynia śledzimy jego wędrówkę w czasie za pomocą licznika G – M lub scyntykamery. Znając drogę i czas można wyliczyć prędkość ze wzoru: 10 ZASADY TERMODYNAMIKI 10.1 Doświadczenie Joule’a Doświadczenie Joule’a miało na celu określenie związku między ciepłem Q a pracą W. Joule założył, że: Q = A W stąd kierunek czytania nazwy– cieplny równoważnik pracy mechanicznej Wartość A wyznaczono doświadczalnie patrz rys. 163 Rys. 163 Model doświadczenia Joule’a Ciężar G zawieszony na sznurze przerzuconym przez bloczek stały, spadając z wysokości h powoduje obrót walca na którym nawinięty jest sznur. Do osi walca przymocowane są łopatki, które mieszając ciecz, w czasie spadania G, powodują na skutek tarcia wzrost temperatury cieczy. W celu obliczenia wartości A należało znać masę cieczy m, jej ciepło właściwe cw i odczytać przyrost temperatury ΔT z termometru t. W = G h –wykonana praca przez spadający ciężar G W = J Q stąd: -kierunek czytania nazwy– mechaniczny równoważnik ciepła Q – ilość ciepła wydzielająca się w procesie mieszania wody przez łopatki Q = m cw Δt [cal] 1 J = 0.24 cal 1 cal = 4.19 J 10.2 Pierwsza zasada termodynamiki (jako zasada zachowania energii). Jeśli dwa ciała o różnych temperaturach stykają się, to na skutek przekazywania energii z jednego ciała do drugiego następuje proces wyrównywania temperatur. Proces ten dokonuje się na sposób ciepła i w związku z tym następuje zmiana energii wewnętrznej obu układów. Rys. 164 Proces wyrównywania temperatur Na skutek „przepływu” ciepła z ciała o temperaturze wyższej T1 do ciała o temperaturze niższej T2 następuje zmniejszanie się energii wewnętrznej ciała o wyższej temperaturze do U1’ i powiększenie się energii wewnętrznej ciała o temperaturze niższej (od U2 do U2’ = U2 + ΔQ U1’ = U1 – ΔQ Stąd (przy założeniu, że objętość V układu nie ulega zmianie) ΔQ = U1 – U1’ = ΔU Ogólnie przy uwzględnieniu zmiany objętości układu, a więc przy wykonywaniu pracy i wymianie ciepła pierwszą zasadę termodynamiki można zapisać w postaci: ΔU = ΔQ + ΔW, (ΔW = p ΔV) Równanie to spełnione jest dla p = const. Oznacza to, że zmiana energii wewnętrznej układu możliwa jest na drodze zarówno wymiany ciepła jak i przez wykonanie pracy dostarczonej do układu. Tę samą zasadę formułuje się często w postaci wzoru: ΔQ = ΔU + ΔW Przy czym w tym przypadku pracę wykonuje układ – wobec tego praca ta jest ujemna. Przemiana ta zachodzi przy p = const. Można zapisać, że: ΔQ = Cp ΔT = ΔU + p (-ΔV) │: ΔT (praca jest ujemna – gdy pracę wykonuje układ) Mamy: - molowe ciepło właściwe przy p = const przy V = const, ΔV = 0 wobec tego: - molowe ciepło właściwe przy V = const W ogólnym przypadku można zatem napisać, że: Jak widać Cp > CV, ponieważ (przy p = const) część ciepła idzie na wykonanie przez gaz pracy. Dla jednego mola równanie Clapeyrona ma postać: pV = R T stąd p ΔV = R ΔT zatem: Cp = CV + R Stąd wynika, że stała gazowa R jest liczbowo równa pracy jaką wykonał 1 mol gazu ogrzaniu go o 1 K rozprężając się przy p = const. Przy przejściu układu z jednego stanu do drugiego wykonana nad układem praca ΔW i dostarczone do układu ciepło ΔQ mogą być różne, ale ich suma (ΔU), musi być zawsze taka sama. Zależy ona od stanu początkowego i końcowego, a nie zależy od tego po jakiej drodze zachodzi przemiana. Mówi się, że energia wewnętrzna (U) jest funkcją stanów, natomiast ciepło i praca nie są funkcjami tych stanów. Przemiana adiabatyczna Przemiana ta zachodzi bez wymiany ciepła z otoczeniem tzn. gdy: ΔQ = 0 wobec tego ΔU = ΔW Ma to miejsce przy bardzo szybkim sprężaniu lub rozprężaniu gazów (ponieważ nie zdąży wówczas nastąpić wymiana ciepła). Przemiana izochoryczna Przemiana ta zachodzi gdy: V = const. wobec tego ΔV = 0 a ponieważ ΔW = p ΔV stąd ΔW = 0, a zatem: ΔU = ΔQ lub ΔU = mcV ΔT Przemiana izotermiczna Przemiana izotermiczna to taka, dla której: T = const. stąd ΔT = 0, a ponieważ zmiana temperatury jest objawem zmiany energii wewnętrznej, więc można tu napisać, że: ΔU = 0 wobec tego: 0 = ΔQ + ΔW stąd: ΔQ = - ΔW Równanie to mówi, że układ wykonał tyle pracy ile dostarczono mu ciepła, ponieważ ΔT = 0, to ΔW = - ΔQ, W tym przypadku układ musiał oddać tyle ciepła ile wykonano nad nim pracy, jeśli jest to przemiana izotermiczna, w której ΔT = 0. Znak „+” oznacza dostarczenie do układu ciepła lub wykonanie nad układem pracy. Znak „-„ oznacza oddawanie ciepła lub wykonanie pracy przez układ. PYTANIA 1) Na czym polega doświadczenie Joule’a? 2) W jaki sposób Joule wyznaczył cieplny równoważnik pracy mechanicznej? 3) Co jest większe dżul czy kaloria? 4) Ile dżul ma kalorii? 5) Ile kaloria ma dżuli? 6) Co nastąpi w wyniku zetknięcia się ciał o różnych temperaturach? 7) Czy w wyniku zetknięcia się dwóch ciał o różnych temperaturach następuje jedynie wyrównywanie się temperatur? 8) Co to jest energia wewnętrzna ciała? 9) W jaki sposób, za pomocą wzoru, można wyrazić pierwszą zasadę termodynamiki? 10) Jaką postać przybiera równanie określające pierwszą zasadę termodynamiki w przemianie adiabatycznej? 11) Co mówi pierwsza zasada termodynamiki w przemianie izochorycznej? 12) W jaki sposób można zapisać pierwszą zasadę termodynamiki w przemianie izotermicznej? 13) Dla jakiej przemiany I zasada termodynamiki przyjmuje postać: ΔU = ΔQ + ΔW ? 14) W jakich przypadkach temperatura gazu nie będzie ulegać zmianie mimo dostarczania mu ciepła? 15) W jakich warunkach gaz będzie wykonywał pracę nie obniżając swojej temperatury? 16) Co się dzieje z temperaturą gazu o stałej masie jeśli zmniejsza się jego objętość? 17) Co musi zachodzić przy sprężaniu stałej masy gazu, aby jego temperatura nie wzrastała? 18) Dlaczego temperatura wypływającego gazu z butli obniża się? 10.3 Cykl Carnota W cyklu Carnota praca wykonana jest przez gaz kosztem doprowadzonego do niego ciepła. Praca ta jest większa od pracy wykonanej (przez nas nad gazem) w procesie doprowadzania stanu gazu do punktu wyjściowego. Widać tu, że praca zależy od sposobu przechodzenia z jednego stanu do drugiego. Cykl Carnota składa się z czterech procesów uwidocznionych na rysunku. Każdy proces odbywa się w rurce z gazem umieszczonej odpowiednio na źródle ciepła – 1, izolatorze – 2, na chłodnicy – 3 i znów na izolatorze – 4. Rys. 165 Przemiany gazowe w cyklu Carnota Jeśli układ wykonuje pracę lub oddaje ciepło, strzałki związane z pracą W i ciepłem Q są skierowane „od pętli cyklu”, natomiast jeśli praca jest wykonywana nad układem lub ciepło dostarczane jest do układu, to strzałki są skierowane „do pętli”. Pasek zakreskowany na rysunku 165 odpowiada pracy ΔW = p ΔV. ΔU = ΔQ + ΔW = 0 Stąd ΔQ = - ΔW = W1 – W2 = Q1 – Q2 Rys. 166 Sprawność w cyklu Carnota Pole powierzchni ABCD oznacza pracę wykonaną przez układ kosztem ciepła doprowadzonego ze źródła. Sprawność omówiona w rozdziale 1.6.1 wyraża się wzorem: Ww = Wu + Wr stąd Wu = Ww – Wr gdzie: η – sprawność cieplna Q1 – ciepło dostarczone ze źródła = mcw ΔT1= mcw(T1 – T0), załóżmy, że T0=0 K Q2 – ciepło oddane chłodnicy = mcw ΔT2 = mcw(T2 – T0) Stąd: PYTANIA 1) Czy cykl Carnota jest procesem rzeczywistym (odpowiedź uzasadnić)? 2) Wymienić procesy jakie następują kolejno w cyklu Carnota? 3) W jaką aparaturę powinniśmy być wyposażeni przy sprawdzaniu cyklu Carnota? 4) Co się dzieje przy izotermicznym rozprężaniu gazu w cyklu Carnota? 5) Czemu równa się praca wykonana przez gaz przy rozprężaniu adiabatycznym? 6) Co się dzieje przy wykonywaniu pracy przez gaz w procesie adiabatycznym? 7) W jakim procesie i dlaczego następuje obniżenie temperatury w cyklu Carnota? 8) Jakie warunki w cyklu Carnota muszą być spełnione, aby przy sprężaniu gazu temperatura jego pozostawała stała? 9) W którym procesie (w cyklu Carnota) temperatura wzrasta i dlaczego? 10) Jaką pojemność cieplną powinno mieć źródło i chłodnica w cyklu Carnota? 11) Narysować i omówić poszczególne fazy w cyklu Carnota. 12) Co oznacza pole powierzchni objęte pętlą cyklu Carnota? 13) Jak wyjaśnić fakt, że w cyklu Carnota praca wykonywana przez gaz jest większa od pracy wykonywanej przez nas nad gazem? 14) W jaki sposób na podstawie cyklu Carnota można określić sprawność silnika teoretycznego? 15) W jaki sposób wykorzystując pojęcie sprawności można wyprowadzić wzór na sprawność związaną z drugą zasadą termodynamiki? 16) Jakie jednostki należy przyjąć przy obliczaniu sprawności według II zasady termodynamiki? 10.4 II zasada termodynamiki Druga zasada termodynamiki mówi o kierunku biegu procesów chemicznych i fizycznych zachodzących w przyrodzie. Procesy, które przebiegają samorzutnie to takie, w których następuje rozpraszanie energii. Silnik może wykonywać pracę tylko wówczas, gdy istnieje różnica temperatur między źródłem i chłodnicą. W przeciwnym wypadku η = 0. Wzór Carnota na sprawność teoretyczną dla optymalnej zamiany ciepła na pracę ma postać: We wzorze tym, należy pamiętać, aby temperaturę źródła T1 i T2 podawać w kelwinach. Porównując oba wzory na sprawność η możemy napisać: Istnieje degradacja energii mechanicznej polegająca na tym, że energię mechaniczną można zawsze w 100% zamienić na ciepło, natomiast ciepła na pracę nie można zamienić w 100%. Przy spadku ciała z wysokości h jego energia potencjalna mgh zamienia się na ciepło Ek → Q. Zjawiska odwrotnego nie obserwuje się. To znaczy, że ciała nie mogą pobierać samorzutnie ciepła z otoczenia i zamieniać je na swoją energię potencjalną aby wznieść się do góry. Ostatni wzór można napisać w postaci: a zatem albo a dla T1 = T2 = T mamy: Można stąd wyciągnąć wniosek, że zmiana entropii (ΔS = 0) w układach zamkniętych zachodzi dla procesów odwracalnych, i jest jednocześnie w tym przypadku zwięzłym sformułowaniem drugiej zasady termodynamiki. Ogólnie I i II zasadę termodynamiki można ująć wzorem: TΔS ≥ ΔQ = ΔU – ΔW Gdzie znak równości odnosi się do procesów odwracalnych, zaś znak nierówności dla procesów nieodwracalnych. W rzeczywistych silnikach cykle przemian różnią się od idealnego cyklu Carnota. Przykłady takich cykli (obiegów) podano poniżej na rys. 167 Rys. 167 Przykłady obiegów (zmiana ciśnienia w zależności od objętości komory) a) w silniku spalinowym: 1. Ssanie mieszanki paliwowo powietrznej, 2. Sprężanie, 3. Zapłon, 4. Praca, 5. Otwarcie zaworów, 6. Wydech, b) w silniku parowym: I. Napełnianie cylindra parą, II. Otwarcie zaworu i wypuszczenie pary, III. Powrót tłoka do pierwotnego położenia, IV. Wzrost ciśnienia przy zamkniętym zaworze, c) w silniku Diesla: 1. Zasysanie powietrza, 2. Sprężanie mieszanki, 3. Wtrysk paliwa i jego samozapłon, 4. Praca, 5. Otwarcie zaworu i usunięcie spalin. PYTANIA 1. O czym mówi druga zasada termodynamiki? 2. Co następuje w procesach przebiegających samorzutnie? 3. Jakie warunki muszą być spełnione, aby silnik cieplny mógł pracować? 4. Czy do wzoru na sprawność można wstawić temperaturę w stopniach Celcjusza? 5. Na czym polega degradacja energii mechanicznej? 6. Podać zwięźle treść drugiej zasady termodynamiki. 7. Podać ogólny wzór na I i II zasadę termodynamiki. 8. Przedstawić graficznie i objaśnić – poszczególne cykle w pracy silnika spalinowwego. 9. Pokazać na wykresie i objaśnić cykle silnika parowwego 10. Podać i wyjaśnić wykres zależności ciśnienia od objętości w poszczególnych cyklach silnika Diesla. 10.4.1 Wzór Clapeyrona – Clausiusa Wychodząc z wyprowadzonego wyżej wzoru na sprawność można napisać: przechodząc do granicy dla ΔT → 0 i Δp → 0 mamy: stąd jest to wzór Clapeyrona – Clausiusa i stosuje się go dla wszystkich zmian stanu skupienia, gdzie Q1 – ciepło przemiany (topnienia, parowania, sublimacji). Ze wzoru tego wynikają następujące wnioski: ponieważ ciepło przemiany Q1 jest zawsze większe od zera Q1 > 0, to: a stąd wniosek 1: jeśli V2 > V1, to: Wniosek 2: jeśli natomiast V2 < V1 – tzn. objętość po zmianie stanu skupienia (V2) jest mniejsza od objętości przed zmianą stanu V1 (ma to miejsce np. przy topieniu lodu lub bizmutu), to: a to oznacza, że: zwiększenie ciśnienia powoduje obniżenie temperatury topnienia (krzepnięcia). Przykładem może być tu zjawisko topienia się lodu pod łyżwami, na których znajduje się człowiek. Co ułatwia ślizganie się na nich. Jeśli temperatura otoczenia jest dużo mniejsza od zera, zjawiska tego nie obserwujemy, gdyż stopiona pod łyżwami woda szybko zamarza. Dla większości ciał objętość przy topieniu wzrasta, a zatem: i dlatego wraz ze wzrostem ciśnienia wzrasta ich temperatura topnienia (patrz również rozdział 6). Przykładem zmiany stanu jest wykres związany z temperaturą punktu potrójnego wody, na którym widać granicę gdzie , a gdzie Rys. 168 Punkt potrójny wody. Wykres porównaj z rysunkiem 139. Mamy tu zatem doświadczalne potwierdzenie wyciągniętych powyżej wniosków: gdy lód się topi i objętość powstałej z niego wody się zmniejsza. Podczas parowania wody objętość jej rośnie oraz jak widać z wykresu: im wyższe ciśnienie tym wyższa temperatura wrzenia cieczy (pochodna ). PYTANIA 1. Wyprowadzić wzór Clapeyrona – Clausiusa. 2. Do czego służy wzór Clapeyrona – Clausiusa? 3. Podać jakie wnioski można wyciągnąć ze wzoru Clapeyrona – Clausiusa? 10.4.2 Energia swobodna. Entalpia swobodna. Definicje, wzory (zależność od ciśnienia). Energia swobodna F stanowi tę część energii wewnętrznej, która w odpowiednich warunkach może się zamienić na pracę: F = U – T S Prawo to ma zastosowanie w układach, których energia swobodna układu zachowuje wartość stałą, F = const. Procesy izotermiczno – izobaryczne mogą przebiegać samorzutnie tylko w kierunku zmniejszania się energii swobodnej. W procesach izotermiczno – izobarycznych rolę energii swobodnej F przejmuje entalpia swobodna: G: G = H – T S Jeśli występuje ubytek entalpii swobodnej –lub energii swobodnej – wówczas jest to proces egzoenergetyczny. Jeśli natomiast występuje przyrost entalpii lub energii swobodnej – wówczas mamy proces endoenergetyczny. W procesie izotermicznym energia i entalpia swobodna zmniejsza się. Układ traci zdolność wykonywania pracy. Zmianę entalpii swobodnej można obliczyć znając potencjał elektrochemiczny lub ze wzoru: · ΔG = n F ε gdzie: n – liczba moli ε – potencjał redox F – stała Faradaya Entalpię swobodną można obliczyć posługując się wzorem Nernsta: gdzie: ε – siła elektromotoryczna (potencjał redox) –patrz p. 6.3.2.4. Entalpię swobodną mieszaniny gazów wyrażamy wzorem: Gi = Gi0 + k T n1 lnxi Definicja entalpii Entalpia – można powiedzieć, że jest to energia układu, która równa jest sumie energii danego układu i pracy wykonanej przez ten układ, potrzebnej do wprowadzenia mieszaniny gazów do danego ośrodka. Entalpia całkowita: Hc = E + (- ∑px lx) Biorąc pod uwagę energię wewnętrzną, to entalpia układu H wyrazi się wzorem: H = U + (- ∑px lx) (px lx – współrzędne pracy) W przypadku pracy mechanicznej związanej ze zmianą objętości: H = U + p V I zasadę termodynamiki dla układu otwartego zapisujemy wzorem: H = Wr + Wd + Q + Δmh gdzie: h – entalpia właściwa przypadająca na jednostkę masy. Wr – praca rzeczywista Wd – praca dyssypacji Δm – przyrost masy układu Entalpia jest funkcją stanu i nie zależy ona od drogi przemian. W układach zamkniętych entalpia spełnia rolę funkcji stanu, wykorzystuje się ją do obliczania ciepła w procesach izobarycznych. W układach otwarych np. biologicznych znając przyrost entalpii możemy określić (sumę) prac wewnętrznych i zewnętrznych organizmu ΔH = WE + Q a także stwierdzić ile ciepła potrzeba organizmowi do przeprowadzenia procesów wewnętrznych tj. chemicznych, transportowych czy innych np.: krążenia, oddychania, trawienia. PYTANIA 1. Co to jest energia swobodna i jakim wzorem wyraża się ją? 2. W jakim przypadku zachodzi proces egzo, a w jakim endoenergetyczny? 3. Podać i objaśnić wzór na zmianę entalpii swobodnej. 4. Podać wzór na entalpię swobodną mieszaniny gazów. 5. Podać i objaśnić wzór na I zasadę termodynamiki dla układu otwartego III ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM 11 Pole elektryczne Pole elektryczne jest to przestrzeń, w której działają siły na każdy ładunek umieszczony w tej przestrzeni zgodnie z prawem Coulomba. Każdy punkt tej przestrzeni charakteryzują dwie wielkości – natężenie pola E i potencjał V. (Pole magnetyczne definiowane jest analogicznie, analogią ładunku elektrycznego jest strumień magnetyczny). Ładunki elektryczne jednoimienne „+”„+” lub „–”„–” odpychają się, różnoimienne „–”„+” przyciągają się. Naładować ciało można przez: a) potarcie jedwabiem (pałeczka ebonitowa ładuje się ujemnie, szklana – dodatnio) b) zetknięcie z ciałem naładowanym c) indukcję – czyli zbliżenie ciała naładowanego do ciała nie naładowanego Rys. 169 Kulka elektrycznie obojętna ładuje się przy zbliżaniu naładowanej pałeczki Elektroskop Elektroskop zbudowany jest z puszki metalowej, do wnętrza której wprowadzony jest przez izolacyjną tulejkę pręt metalowy zakończony u góry kulką wystającą z puszki, a u dołu pręta przyczepione są dwa „listki” metalowe, które po naładowaniu ładunkiem Q rozchylają się tak jak na rysunku. Elektroskop ze skalą nosi nazwę elektrometru, który wskazuje różnicę potencjałów U między listkami i obudową, ponieważ a pojemność elektryczna C = const. Rys. 170 Budowa elektrometru Rys. 171 Natężenie pola elektrycznego E. W przewodniku E = 0 Natężenie pola we wnętrzu przewodnika jest równe zeru. Naładowany przewodnik posiada na powierzchni taki sam potencjał we wszystkich jego punktach, czyli stanowi powierzchnię ekwipotencjalną. Gdy dotkniemy naładowaną kuleczką, osadzoną na izolowanej pałeczce, wewnętrzną stronę metalowej puszki Faradaya, to ładunki wypłyną z wnętrza puszki na jej powierzchnię, gdyż będą wówczas znajdować się w największej od siebie odległości (tak jak pokazano to na rysunku 172). Rys. 172 Puszka Faradaya Rys. 173 Rozkład ładunków na przewodniku Rys. 174 Na ostrym kolcu występuje największe natężenie pola E Jeśli do metalowej płytki z pewnymi nierównościami, a nawet kolcami doprowadzi się jednoimienne ładunki elektryczne, to będą one przesuwać się jak najdalej od płytki. W efekcie najwięcej ładunków zgromadzi się na najdalej wysuniętym ostrzu, będzie na nim największe natężenie pola elektrycznego (natężenie pola jest tym większe im mniejszy jest promień krzywizny naładowanego przedmiotu). Zjawisko to wykorzystywane jest w piorunochronach. Piorun bowiem jest to wielka iskra elektryczna powstająca na skutek rozładowania ładunków elektrycznych nagromadzonych na chmurach. Zasada działania ochrony odgromowej (od skutków uderzania piorunów), polega na tym, że na najwyższym punkcie obiektu chronionego, umieszcza się ostro zakończony przewód, który opasuje dach, a drugi jego koniec zakopany jest do Ziemi. W ten sposób bardzo duży prąd rzędu kilkudziesięciu tysięcy amperów przepływa szybko do Ziemi i nie zdąży zapalić się obiekt chroniony. 11.1. Natężenie pola elektrycznego Pojęcie natężenie pola elektrycznego możemy podać na 7 sposobów, chociaż będzie ono zawsze tym samym pojęciem: 1) natężenie pola elektrycznego jest to stosunek siły działającej na ładunek próbny do tego ładunku. Wzorem tę definicję wyrażamy następująco: gdzie: F – siła działająca na ładunek próbny q, siła ta określona jest prawem Coulomba, które mówi że: dwa ładunki punktowe działają na siebie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości (r2) miedzy nimi (k jest współczynnikiem proporcjonalności). Prawo to jest analogiczne do powszechnego prawa grawitacji . Prawo Coulomba zapisuje się w postaci: gdzie: k – współczynnik proporcjonalności, Q – ładunek wytwarzający pole, q – ładunek próbny (najczęściej dodatni i elementarny), ε – bezwzględna przenikalność elektryczna ośrodka, w którym umieszczone są ładunki Q oraz q. stąd: Wymiar ε możemy określić wychodząc albo z prawa Coulomba albo ze wzoru na pojemność kondensatora płaskiego: stąd C – pojemność kondensatora mierzymy w faradach [F] ε = ε0 εr gdzie: ε0 – przenikalność elektryczna (stała dielektryczna) próżni ε0 = 8.854 187 82 10-12 F/m εr – względna (relatywna – stąd wskaźnik r) przenikalność elektryczna danego ośrodka, wskazuje ile razy przenikalność elektryczna danego ośrodka jest większa od przenikalności elektrycznej próżni 2) Uwzględniając prawo Coulomba mamy: , a ponieważ 4π r2 = S – powierzchnia kuli, r – odległość od ładunku wytwarzającego pole do punktu, w którym określamy jego natężenie mamy zatem: 3) oraz, ponieważ: , gdzie: D – wektor indukcji elektrycznej, (- gęstość powierzchniowa ładunku. Uwzględniając, że (E = ( mamy: 4) Często natężenie pola elektrycznego określa się jako: (stosunek liczby (n) linii sił, (które nazywamy strumieniem i określamy wzorem: ) do powierzchni na którą one padają. Stąd mamy: 5) stąd: E S = n = Φ = mamy zatem postać: 6) S – pole powierzchni kuli w środku której znajduje się ładunek Q Φ – strumień pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą S równy jest ładunkom otoczonym przez tę powierzchnię – jest to prawo Gausa D - wektor indukcji elektrycznej Rys. 176 Strumień pola Φ –( ładunek Q otoczony powierzchnią S) Z powyższego wzoru widać, że natężenie pola nie zależy od wielkości ładunku próbnego q, a zależy jedynie od ładunku Q wytwarzającego pole oraz odległości r. Zobaczymy ponadto, że istnieje ścisły związek między potencjałem i natężeniem pola elektrycznego w danym punkcie (będzie to siódma postać wzoru na natężenie pola). Podatność elektryczna χe, a także podatność magnetyczna χm próżni są równe zeru, ponieważ próżni nie daje się namagnesować ani spolaryzować. Z drugiej strony wiadomo, że εr i μr próżni wynoszą 1, wobec tego, ponieważ χe = 0 a εr = 1, to związek między χe i εr może być tylko następujący: χe = εr – 1 oraz χm = μr – 1 stąd εr = χe + 1 ogólnie mamy: a więc gdzie: jest wektorem polaryzacji gdzie objętość V = S l - moment dipolowy Rys. 177 Polaryzacja dielektryka Dipol elektryczny Dipol elektryczny to układ dwóch ładunków elektrycznych o tej samej wartości q ale o przeciwnych znakach, posiadający moment dipolowy p, który jest wektorem Rys. 175 Dipol elektryczny i jego moment dipolowy skierowanym zgodnie z osią dipola l. Wskazuje on wyższy potencjał (podobnie jak strzałka napięcia). Natężenie pola w punkcie A równe jest: Natężenie pola w punkcie A, pochodzące od dipola, jest mniejsze niż gdyby pochodziło ono od pojedynczego ładunku punktowego. Można wyrazić je wzorem: 11.2 Potencjał pola elektrycznego (linie i powierzchnie ekwipotencjalne) Potencjał pola elektrycznego, V (mierzony w woltach[V]) jest to stosunek pracy W∞ (mierzonej w dzulach [J]) jaką należy wykonać przenosząc ładunek elektryczny q (mierzony w kulombach [C]) z danego punktu do nieskończoności, do wielkości tego ładunku. Potencjał elektryczny określa się wzorem: a stąd mamy siódmy sposób określenia natężenia pola: 7) Linie i powierzchnie ekwipotencjalne to takie na których znajdują się punkty mające te same potencjały. Linie sił pola są prostopadłe do linii i powierzchni ekwipotencjalnych (rys.178) Rys. 178 Obraz pola elektrycznego. Pole niejednorodne Pole jednorodne to takie, w którym natężenie pola jest jednakowe we wszystkich punktach (a lini sił pola elektrycznego są do siebie równoległe) (pole wokół ładunku punktowego jest, zatem niejednorodne, a w kondensatorze płaskim – między okładkami jest jednorodne). 11.3 Napięcie Napięcie U – jest różnicą potencjałów między dwoma punktami, a zatem: PYTANIA 1) Co to są linie i powierzchnie ekwipotencjalne? 2) Czy natężenie pola elektrycznego zależy od ładunku próbnego? Odpowiedź uzasadnić. 3) Wykazać, że natężenie pola elektrycznego można mierzyć w woltach na metr. 4) Co to jest napięcie? 5) Podać i omówić wzór na pracę przy przenoszeniu ładunku elektrycznego. 11.4 Praca prądu elektrycznego Korzystając z definicji napięcia, pracę prądu elektrycznego wyrażamy wzorem: W = U q [J] = [V C] Elektronowolt – 1 [eV] – jest to praca, którą wykonuje pole elektryczne na przeniesienie ładunku 1 elektronu między punktami o różnicy potencjałów 1 V. 11.5 Natężenie i praca prądu elektrycznego Natężenie prądu elektrycznego I określa się jako stosunek przepływającego ładunku do czasu, w którym ten przepływ zachodzi, czyli: stąd: q = I t dla prądu stałego ogólnie: Pracę prądu elektrycznego wyrażamy wzorem: W = U I t Ogólnie dW = U I dt = U dq 11.6 Pierwsze prawo Ohma Pierwsze prawo Ohma mówi, że natężenie prądu I płynącego przez opornik (rezystor) R jest wprost proporcjonalne do napięcia U, a odwrotnie proporcjonalne do oporu R przez który przepływa. Korzystając z pierwszego prawa Ohma lub, U = I R Wzór na pracę W = U I t możemy zapisać w postaci: lub, W[J] = I2 R t [A2 Ω s] 11.7 Moc prądu elektrycznego Moc prądu elektrycznego jest to stosunek pracy prądu elektrycznego do czasu, w którym ta praca została wykonana PYTANIA 1) Podać definicję jednostki natężenia prądu. 2) Podać cztery wzory na pracę prądu elektrycznego wraz z odpowiednimi jednostkami. 3) Podać trzy wzory na moc prądu stałego wraz z odpowiednimi jednostkami poszczególnych wielkości. 11.8 Elementy obwodów elektrycznych R L C Elementy R – opór elektryczny (rezystancja), L – indukcyjność, C – pojemność. wchodzą w skład wszystkich urządzeń elektrycznych i elektronicznych. Należy dokładnie je poznać, aby wiedzieć od czego one zależą i jak je mierzyć. W tym celu napiszemy po dwa wzory na każdy z nich. Jeden wzór tzw. wzór konstrukcyjny mówi nam od czego i w jaki sposób zależy wielkość danego elementu, drugi wzór (można nazwać wzorem pomiarowym), wskazuje nam, na wielkości które należy zmierzyć, aby obliczyć wielkość danego elementu. Poniżej podane są wzory konstrukcyjne. Rys. 179a Oznaczenia graficzne elementów R, L, C tj. drugie prawo Ohma w którym gdzie: Rμ – oporność magnetyczna rdzenia, na którym nawinięte są zwoje (w liczbie z) Rys. 179 Rdzeń, na który nawinięto uzwojenie z zwojów Chcąc znaleźć wartość elementów R, L, C, musimy zmierzyć inne wartości: takie np. jak napięcie U oraz prąd I, wówczas obliczymy wartość oporu (rezystancji) R ze wzoru: tj. pierwsze prawo Ohma podobnie znajdujemy wartość L i C; L znajdujemy ze wzoru na siłę elektromotoryczną indukcji (SEM) , w mechanice jest analogiczny wzór na siłę bezwładności ( ) stąd pochodzi nazwa siła elektromotoryczna. Pojemność C znajdujemy ze wzoru: , stąd: C U = Q Patrząc na wzory konstrukcyjne, ogólnie można powiedzieć, że każdy z wyżej wymienionych elementów opornika -R, cewki –L i kondensatora -C zależy, od ich kształtów, tzn. od długości l i pola powierzchni przekroju S, a ponadto od należącego odpowiednio dla każdego z nich charakterystycznego współczynnika γ, μ oraz ε. Rμ zależy odwrotnie proporcjonalnie od przenikalności magnetycznej materiału rdzenia μ oraz od liczby zwojów umieszczonych na rdzeniu podniesionej do kwadratu z2 a odwrotnie proporcjonalnie do długości (drogi przez który przechodzi strumień magnetyczny). Pojemność kondensatora C zależy wprost proporcjonalnie od wielkości powierzchni jego okładek S i przenikalności elektrycznej - ε materiału umieszczonego między tymi okładkami, a odwrotnie proporcjonalnie do odległości l między okładkami. Z napisanych wzorów na elementy R, L, C, wynika, jakie wielkości należy mierzyć w celu obliczenia wartości tych elementów oraz wynika z nich również inna ciekawa prawidłowość, która czasem wydaje się zaskakująca np.: ze opór przewodnika teoretycznie nie zależy ani od napięcia ani od natężenia prądu. Fakt ten wynika stąd, że jeśli napięcie wzrasta, to wzrasta również prąd, a wartość opornika pozostaje stała. Tak samo jeśli chodzi o pojemność kondensatora – nie zależy ona ani od ładunku, ani od napięcia. Im bowiem większy jest ładunek wprowadzany na okładki kondensatora, tym większą uzyskujemy różnicę potencjałów. Z indukcyjnością L jest podobnie jak z elementami R i C, tzn. indukcyjność nie zależy ani od e – wielkości siły elektromotorycznej indukcji, ani od ΔI/Δt – szybkości zmian prądu. Zwróćmy przy okazji uwagę na następujące analogie mechaniczno – elektryczne: TABELA ANALOGII MECHANICZNO - ELEKTRYCZNYCH Wielkości mechaniczne W = F s F F = k x k mgh Wielkości elektryczne W = U q U Wzór na energię zgromadzoną w polu elektrycznym kondensatora jest analogią do energii potencjalnej mgh: Z tabeli widać jak odpowiednim wielkościom mechanicznym odpowiadają wielkości elektryczne: mg = F ~ U h ~ Q = C U dW = U dq = U C dU - wzór na energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki Pojemność elektryczną kuli o promieniu r obliczamy korzystając ze wzoru na potencjał V: po wstawieniu go do wzoru na pojemność C otrzymaliśmy wzór na pojemność kuli. 11.9 Siła elektromotoryczna źródła E[V] Siła elektromotoryczna źródła (E) jest równa jego napięciu (U) w przypadku gdy nie pobieramy ze źródła prądu. Korzystając z prawa Ohma dla całego obwodu możemy napisać wzór: W mianowniku tego wzoru występuje suma oporu wewnętrznego rw i oporu zewnętrznego Rz. Należy pamiętać, że przy łączeniu szeregowym oporników opór całkowity jest sumą poszczególnych oporów. Moc wydzielana na oporze Rz jest największa gdy Rz = rw. Każde źródło posiada jakiś opór wewnętrzny rw, którego wielkość można wyrazić wzorem: Rys. 180 Schemat ogniwa Rys. 181 Obwód prądowy ogniwa gdzie: l – odległość między elektrodami w przypadku, gdy rozważamy akumulator lub ogniwo (rys 180), a w przypadku prądnicy, będzie to długość drutu, z którego nawinięta została wirująca w polu magnetycznym ramka; S – wielkość zanurzonej w elektrolicie powierzchni w przypadku akumulatora lub ogniwa, natomiast w przypadku prądnicy, S jest powierzchnią przekroju drutu, z którego wykonana jest ramka. Wzór na SEM można zapisać w postaci: E = I rw + I Rz gdzie: IRz = U napięcie ogniwa Irw – spadek napięcia na oporze wewnętrznym Nazwa spadek napięcia została przyjęta w celu podkreślenia ujemnej cechy ogniwa, która jest jednak ściśle związana z jego strukturą. Mamy więc: E = U + I rw Stąd U = E – I rw jeśli rw = 0 (może to być tylko założeniem), wówczas U = E Jak widać siła elektromotoryczna źródła jest większa od napięcia tylko wtedy, gdy ze źródła czerpiemy prąd. Natomiast, gdy prądu nie czerpiemy (zachodzi to wówczas gdy obwód jest otwarty) I = 0, siła elektromotoryczna źródła E jest liczbowo równa napięciu U panującemu na jego zaciskach. To ostatnie zdanie jest w istocie definicją siły elektromotorycznej. Można również powiedzieć, że siła elektromotoryczna źródła E jest to stosunek W/q czyli stosunek pracy, którą trzeba wykonać aby w obwodzie popłynął ładunek jednostkowy q. PYTANIA 1) Podać odpowiednie wzory na elementy R, L, C, mówiące od czego one zależą 2) Czy rezystencja rezystora zależy od napięcia panującego na nim? 3) Czy indukcyjność cewki zależy od siły elektromotorycznej indukcji oraz zmian natężenia prądu w czasie? 4) Czy pojemność kondensatora zależy od ładunku znajdującego się na jego okładkach oraz różnicy potencjałów na nich występującej? 5) Od czego zależy energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora – podać wzór i objaśnić. 6) Jakim wzorem określa się energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki? 7) Wskazać podobieństwa we wzorach: na siłę (druga zasada dynamiki Newtona) i na siłę elektromotoryczną indukcji. 8) Wskazać na podobieństwa między wielkościami elektrycznymi i mechanicznymi wychodząc ze wzorów na pracę mechaniczną W = F s oraz ze wzoru na pracę pola elektrycznego W = U q. 11.10 Moc wydzielana na oporze zewnętrznym Rz w zależności od jego wartości (przy oporze wewnętrznym rw = const). Moc wydzieloną w Rz obliczamy ze wzoru: obliczamy pochodną: stąd: (rw + Rz)2 = 2(rw + Rz)Rz a więc Rz = rw Po przyrównaniu pierwszej pochodnej do zera uzyskujemy ekstremum, po obliczeniu drugiej pochodnej stwierdzamy, że jest to maksimum rys.182. Z wykresu widać, że im mniejszy rw tym większa moc będzie się wydzielać na Rz, ale zawsze osiągnie ona wartość maksymalną gdy Rz = rw. Oporność rw nigdy nie może być równa zeru, ale w miarę gdy rw → 0 to P → ∞. Rys. 182 Charakterystyka mocy wydzielanej w Rz w zależności od rw = const PYTANIA 1) Co to jest siła elektromotoryczna źródła? 2) Co jest większe siła elektromotoryczna źródła czy napięcie i dlaczego? 3) Od czego zależy opór wewnętrzny (rezystencja) źródła? 4) Dlaczego rezystencja wewnętrzna źródła nie może być równa zeru? 5) W jakim przypadku i dlaczego siła elektromotoryczna źródła równa jest napięciu na jego zaciskach? 11.11 Zjawisko samoindukcji – zasada przekory Jeśli przez przewodnik jak na rysunku 183 przepuścimy prąd, to wokół, niego powstaje pole magnetyczne o natężeniu H, zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej wprost proporcjonalnym do natężenia prądu I oraz odwrotnie proporcjonalnym do odległości od przewodnika - r. W przypadku zwinięcia przewodnika w spiralę noszącą nazwę cewki lub solenoidu, przepływający przez poszczególne zwoje cewki, narastający w czasie prąd Rys. 183 Pole magnetyczne wokół przewodnika wytwarza narastające w czasie pole magnetyczne. Pole to przecinając przewodnik lub uzwojenie cewki, - wytworzy w nich siłę elektromotoryczną indukcji. Zgodnie z zasadą, według której zmienne pole magnetyczne przecinając przewodnik lub uzwojenie, powoduje powstanie w nich siły elektromotorycznej indukcji, zgodnie ze znanym wzorem: W czasie włączania wyłącznika W, jak zaznaczono na rysunku 184, w obwodzie tym płynie prąd I. Prąd ten w chwili włączania nie osiągnie maksymalnej swej Rys. 184 Obwód z samoindukcją Rys. 185 Przebiegi czasowe I oraz e wartości. Osiągnie ją dopiero po czasie Δt1 (rys. 185). W czasie Δt1 nastąpi więc zmiana prądu o ΔI. Ten przyrost prądu o ΔI w czasie Δt1 powoduje wzrost natężenia pola magnetycznego, które przecinając uzwojenie cewki-L wytwarza w niej siłę elektromotoryczną samoindukcji e, którą określamy zgodnie z wzorem: gdzie: L – indukcyjność cewki mierzona w henrach. Znak „–„ występujący we wzorze mówi, że wzrostowi prądu przeciwdziała siła elektromotoryczna indukcji. Fakt ten zilustrowany jest na rysunku 185. Wzór na SEM jest wyrazem ogólnej zasady przekory występującej w przyrodzie . Kontynuując rozważania dotyczące siły elektromotorycznej indukcji – z rysunku 185 widać, że po czasie większym niż Δt1 prąd I w omawianym obwodzie będzie miał wartość ustaloną do chwili, wyłączenia wyłącznika W. Wtedy prąd I zmaleje do zera w czasie Δt2, co pociągnie za sobą zmniejszenie się natężenia pola magnetycznego wokół cewki L. W czasie zmniejszania się natężenia pola magnetycznego linie sił tego pola będą przecinać zwoje cewki L, indukując siłę elektromotoryczną indukcji e, zaznaczoną na rysunku linią przerywaną. Z rysunku 185 widać, że w czasie Δt2 zmniejszaniu się prądu w obwodzie na rysunku 184 towarzyszy wzrost siły elektromotorycznej (rys 185). Podczas włączania i wyłączania wyłącznika W, na rysunku 184, żarówka Ż będzie odpowiednio najpierw w czasie Δt1 powoli rozżarzać się, a następnie w czasie Δt2, z chwilą otwarcia wyłącznika W, żarówka nie zgaśnie natychmiast. W zachowaniu się żarówki podczas włączania i wyłączania wyłącznika W, widoczna jest wyraźnie zasada przekory. Elementem przekornym jest tu cewka L. Siła elektromotoryczna indukcji e jest tu skutkiem działania przyczyny, którą jest siła elektromotoryczna źródła E, jest ona skierowana przeciwko tej przyczynie, która ją wywołała. Na zakończenie powyższych rozważań warto podać definicję henra, którą można sformułować korzystając ze wzoru: Mówimy, że henr jest indukcyjnością takiego obwodu, w którym indukuje się siła elektromotoryczna 1V (wolta), na skutek jednostajnej zmiany prądu elektrycznego o 1A (amper) w czasie 1s. PYTANIA 1) Na czym polega zasada przekory? 2) Dlaczego żarówka włączona w szereg z indukcyjnością nie zaświeci się natychmiast po jej włączeniu ani nie zgaśnie natychmiast po jej wyłączeniu? 3) Dlaczego przy wyłączaniu żarówki może nastąpić jej przepalenie, jeżeli w jej obwodzie znajduje się indukcyjność? 4) Dlaczego siła elektromotoryczna samoindukcji powstaje w chwilach zamykania i otwierania obwodu elektrycznego jeżeli w obwodzie tym znajduje się indukcyjność? 5) Wskazać dziedziny nauki, w których występuje ogólne prawo przekory i wygłosić je w formie najbardziej ogólnej. 6) Narysować przebieg prądu i siły elektromotorycznej samoindukcji w czasie przy włączaniu i wyłączaniu obwodu z indukcyjnością. 7) Podać definicję henra. 11.12 Prawa Kirchoffa 11.12.1 Pierwsze prawo Kirchoffa Pierwsze prawo Kirchoffa mówi, że algebraiczna suma prądów w węźle jest równa zeru. Algebraiczna suma tzn. że składniki tej sumy opatrzone są umownie znakiem „+”, jeśli prąd dopływa do węzła, a znakiem „-„ jeśli prąd wypływa z węzła. Krótko pierwsze prawo Kirchoffa zapisuje się w sposób następujący: Algebraiczna suma prądów w węźle jest równa zeru W skrócie można zapisać: Po dokładniejszym rozpisaniu powyższego wyrażenia mamy: +I – I1 – I2 – I3 = 0 czyli I = I1 + I2 + I3 Rys. 186 Rozgałęzienie prądu w węźle Prościej, ale niezbyt ściśle pierwsze prawo Kirchoffa można sformułować w ten sposób: tyle prądu ile dopływa do węzła (patrz rys. 186), tyle z niego odpływa. 11.12.2 Drugie prawo Kirchoffa Drugie prawo Kirchoffa mówi, że algebraiczna suma spadków napięć i sił elektromotorycznych w obwodzie zamkniętym jest równa zeru. W skrócie drugie prawo Kirchoffa można zapisać w sposób następujący: Algebraiczna Idąc wzdłuż obwodu zgodnie ruchem wskazówek zegara, napięcia których strzałki zgodne są z ruchem wskazówek zegara piszemy z „+„ , a te których strzałki zwrócone są przeciwnie piszemy ze znakiem „-”. Rys. 187 Obwód napięciowy dla drugiego prawa Kirchhoffa Jako przykład stosowania pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa rozważmy schemat obwodu przedstawionego na rys. 187. Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła A i B można zapisać, że: I = I1 + I2 + I3 Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa możemy napisać kolejno dla obwodów a, b, c: U2 – U1 = 0 U3 – U2 = 0 · IRw + E – U = 0 Z rysunku widać, że: U1 = U2 = U3 = U Biorąc pod uwagę, że U2 – U1 = 0, czyli U1 = U2, to I1R1 =I2R2 Stąd: Drugie prawo Kirchhoffa wypowiada się w sposób następujący: prądy płynące w dwóch równolegle połączonych opornikach są odwrotnie proporcjonalne do wartości tych opornikó.: Jeżeli zamiast oporów R1, R2, R3 połączonych równolegle, wprowadzono by opór zastępczy oznaczony przez R, to po wstawieniu do pierwszego prawa Kirchhoffa: (I = I1 + I2 + I3) za natężenia prądów odpowiednio (zgodnie z prawem Ohma jak poniżej to: Ponieważ: U = U1 = U2 = U3, uzyskaliśmy zatem wzór na opór zastępczy równolegle połączonych oporników: PYTANIA 1) Czego dotyczy i jak brzmi pierwsze prawo Kirchhoffa? 2) Jak można najkrócej zapisać pierwsze prawo Kirchhoffa? 3) Co mówi drugie prawo Kirchhoffa? 4) Wykazać, że przy połączeniu równoległym suma odwrotności rezystencji równa jest odwrotności rezystencji zastępczej. 12 RUCH ŁADUNKU W POLU ELEKTRYCZNYM I MAGNETYCZNYM 12.1 Ruch elektronu w jednorodnym polu elektrycznym Jeśli elektron wprowadzimy w pole elektryczne, istniejące między okładkami kondensatora, jak na rysunku 188, prostopadle do linii tego pola, to elektron przesuwając się między tymi okładkami będzie jednocześnie zbliżał się do okładki naładowanej dodatnio. Rys 188 Tor elektronu w polu elektrycznym Poszukiwane jest równanie toru elektronu czyli szukana jest funkcja: y = f(x) W celu określenia toru poruszającego się elektronu w polu elektrycznym kondensatora, należy najpierw zastanowić się, jaki będzie ten ruch. Wiadomo z drugiej zasady dynamiki Newtona, że jeśli na ciało działa jakaś niezrównoważona siła, to ciało to porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem . Na elektron o ładunku e, i masie me znajdującym się w polu elektrycznym działa wzdłuż osi y, siła, której wartość określamy ze wzoru: stąd F = E e gdzie: E – natężenie pola elektrycznego, l – odległość między okładkami kondenstora, ponieważ wobec tego elektron w jednorodnym polu elektrycznym, w kierunku osi y będzie się poruszał ruchem jednostajnie przyspieszonym, zgodnie z gradientem potencjału. Równanie toru elektronu rys.188, czyli funkcję y = f(x) znajdziemy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej, ponieważ prędkość początkowa elektronu wzdłuż osi y, gdy elektron wchodzi pomiędzy okładki kondensatora równa jest zeru. Elektron posiada w tym przypadku jedynie prędkość wzdłuż osi x. Mamy zatem: gdzie: t – czas przelotu elektronu wzdłuż osi x kondensatora Ruch elektronu wzdłuż osi x, będzie ruchem jednostajnym, gdyż nie działa na niego żadna niezrównoważona siła: stąd: : i pamiętając, że równanie przyjmie postać: uwzględniając, że: F = E e otrzymamy równanie toru elektronu w polu elektrycznym gdzie: m = 9.1 10-31 kg jest masą elektronu. ponieważ ma wartość stałą, to ostatecznie równanie toru elektronu w polu elektrycznym ma postać równania paraboli : y = C x2 PYTANIA 1) Po jakim torze będzie się poruszał elektron wchodzący prostopadle do linii sił pola elektrycznego? 2) Jeżeli elektron wchodzi prostopadle do linii sił pola elektrycznego, to czy składowa prędkości w kierunku x zmaleje, wzrośnie czy też pozostanie stała? 3) Od czego zależy siła działająca na elektron umieszczony w polu elektrycznym? 4) Od czego zależy przyspieszenie jakiego dozna elektron w stałym polu elektrycznym (napisać odpowiednie wzory)? 5) W jaki sposób można znaleźć czas przelotu elektronu między okładkami kondensatora płaskiego, którego okładki są kwadratowe o boku a, jeżeli wpadnie on z prędkością v prostopadłą do linii sił pola elektrycznego? 6) Jakim ruchem porusza się elektron w polu ładunku punktowego? 12.2 Ruch elektronu w jednorodnym polu magnetycznym Elektron wprowadzony w pole magnetyczne prostopadle do linii sił tego pola jak pokazano to na rysunku 189, będzie krążył po okręgu, zgodnie z regułą lewej dłoni. Przepływający elektron w polu magnetycznym można traktować tak samo jak przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym. Znając B – indukcję pola magnetycznego, w które wchodzi elektron znajdziemy r- promień okręgu jaki elektron zakreśli w polu magnetycznym. v- prędkość elektronu e – ładunek elektronu Rys. 189 Tor elektronu w polu magnetycznym Krzyżykiem oznacza się kierunek linii pola magnetycznego przechodzącego przez płaszczyznę rysunku z góry od patrzącego na rysunek, kropką zaś kierunek od płaszczyzny rysunku do patrzącego. Rys. 190 Sposób określania kierunku pola magnetycznego Jeżeli ustawimy lewą dłoń tak, by linie pola magnetycznego wchodziły w nią, a palce ustawimy w kierunku przeciwnym do ruchu elektronu, czyli zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, to kciuk będzie wskazywał kierunek siły działającej na elektron (w tym przypadku do środka koła) jest to siła dośrodkowa Fd. Wiadomo jednak, że w ruchu po okręgu oprócz siły dośrodkowej istnieje równa jej siła odśrodkowa Fo (rysunek 189). Można wobec tego napisać, że Fd = Fo, ale ponieważ Fd = B I l , a to stąd: gdzie: B – indukcja magnetyczna mierzona w teslach [T] I – natężenie prądu płynącego w przewodniku [A] l – długość przewodnika [m] m – masa elektronu [kg] v – prędkość elektronu[m/s] Z powyższego wzoru widać od jakich wielkości zależy promień r okręgu, który zatoczy elektron wprowadzony w pole magnetyczne. Jeśli za I wstawimy e / t i uwzględnimy zależność: B = μ H oraz l / t = v, otrzymamy wówczas wzór na promień okręgu jaki zatacza elektron w polu magnetycznym ma postać: eliminując w ten sposób wielkość I oraz l, które stanowiłyby pewne trudności w interpretacji wzoru. PYTANIA 1) Podać wzór na promień okręgu zakreślonego przez elektron w polu magnetycznym. 2) Podać zależność promienia okręgu zakreślonego przez elektron w polu magnetycznym od indukcji magnetycznej. 3) W jakich jednostkach mierzy się indukcję magnetyczną? 4) Weber [Wb] jest jednostką, którą można wyrazić za pomocą sekundy i innej jednostki, co to za jednostka? 12.3 Łączenie szeregowe i równoległe oporników, kondensatorów i źródeł 12.3.1 Łączenie oporników 12.3.1.1 Szeregowe połączenie oporników Opór zastępczy R oporników połączonych szeregowo jest równy sumie poszczególnych oporników Rys. 191 Oporniki połączone szeregowo i ich opór zastępczy R = R1 + R2 + R3 Ze wzoru tego widać, że opór zastępczy R jest większe od największego Ri. włączonego w szereg. Jeśli: R1 = R2 = R3 . . .Ri = Rn to R = n Ri 12.3.1.2 Równoległe połączenie oporników Przy łączeniu równoległym oporników warto zwrócić uwagę na fakt iż przekrój S opornika zastępczego byłby odpowiednio większy jak wynika z rys.192 oraz ze wzoru: Rys. 192 Połączenie równoległe oporników i ich opór zastępczy Wzór ten można słowami wyrazić w sposób następujący: odwrotność oporu zastępczego jest równa sumie odwrotności poszczególnych oporników połączonych równolegle. W przypadku dwóch oporników połączonych równolegle można po przekształceniu powyższego wzoru otrzymać wzór w postaci: korzystając z tego wzoru można kolejno obliczać opór zastępczy poszczególnych par oporników, aż w końcu otrzymamy wartość opornika zastępczego dowolnie dużej liczby oporników połączonych równolegle. ogólnie: Ogólnie opór zastępczy R jest mniejszy od najmniejszego z Ri , który będzie dołączony równolegle. gdzie: n – liczba oporników jednakowych, łączonych równolegle Ri – oporność jednego z nich PYTANIA 1) Podać wzory na szeregowe i równoległe połączenie oporników. 2) Czy rezystencja rezystora zastępczego jest większa czy mniejsza od największego z połączonych szeregowo rezystencji? 12.3.2 Łączenie kondensatorów 12.3.2.1 Szeregowe połączenie kondensatorów Połączenie szeregowe kondensatorów pokazane zostało na rys. 193. Jeśli na kondensatorze C1 umieścimy ładunek Q1, to na drodze indukcji elektrostatycznej pojawią się ładunki Q2 i Q3 na kondensatorach C2 i C3. Rys. 193 Kondensatory połączone szeregowo i kondensator zastępczy U = U1 + U2 + U3 C U = Q Jeśli na jednej z okładek kondensatora C1 umieścimy ładunek +Q1, to na drugiej okładce kondensatora C1 na zasadzie indukcji elektrostatycznej pojawi się ładunek -Q1, a ponieważ Q = Q1 = Q2 = Q3 wobec tego mamy: lub ogólnie jeśli C1 = C2 = C3 = Ci , to 12.3.2.2 Równoległe połączenie kondensatorów Połączenie równoległe kondensatorów pokazane zostało na rys. 194. Rys. 194 Kondensatory połączone równolegle i ich kondensator zastępczy Przy łączeniu równoległym napięcie na wszystkich kondensatorach jest jednakowe U = U1 = U2 = U3 Natomiast ładunek na kondensatorze zastępczym jest sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach czyli: Q = Q1 + Q2 + Q3 Stąd: C U = C1U1 + C2U2 + C3U3 Wobec tego przy połączeniu równoległym kondensatorów, pojemność kondensatora zastępczego jest równa: C = C1 + C2 + C3 Jeśli C1 = C2 = C3 To: C = n Ci Jeśli kondensator naładowany jest ładunkiem Q i odłączony od źródła napięcia, to ładunek Q nie ulegnie zmianie ponieważ nie będzie mógł ani odpłynąć z okładek ani też nie dopłynie do niego nowy ze źródła. Po wsunięciu między okładki kondensatora powietrznego (εr = 1) płytki o εr>1, napięcie musi ulec obniżeniu U↓, ponieważ C↑ wzrosło , a iloczyn CU ma być stały; CU = Q = const.. Jeśli natomiast kondensator podłączony jest do źródła i między jego okładki wprowadzimy dielektryk o εr>1, ponieważ U = const, to Q wzrasta, to i C wzrasta (CU = Q). Fakty te mają bardzo duże znaczenie przy rozwiązywaniu zadań i dlatego należy je dobrze zrozumieć i zapamiętać. 12.3.3 Łączenie źródeł prądu 12.3.3.1 Szeregowe łączenie źródeł prądu Szeregowe łączenie źródeł prądu polega na: łączeniu kolejnego plusa źródła z minusem poprzedniego źródła jak na rys.195. Połączone szeregowo źródła można zastąpić jednym źródłem zastępczym. Opór wewnętrzny źródeł oznacza się czasem przez Rw, a czasem przez rw. Rys. 195 Źródła połączone szeregowo i źródło zastępcze E = E1 + E2 + E3 Rw = Rw1 + Rw2 + Rw3 Gdy pobieramy prąd ze źródła zastępczego, to przy takim samym poborze prądu napięcie zmniejsza się bardziej niż w połączeniu równoległym źródeł. (W połączeniu szeregowym źródeł uzyskujemy wprawdzie większe napięcie, ale także większą oporność wewnętrzną i w związku z tym większy spadek napięcia Irw na niej; (U = E – Irw). 12.4.2 Równoległe łączenie źródeł Polega na łączeniu każdego z biegunów dodatnich razem i każdego z biegunów ujemnych razem ze sobą nie łącząc jednakże biegunów z dodatnimi ponieważ dokonalibyśmy zwarcia źródeł i ich uszkodzenie. Rys. 196 Źródła połączone równolegle i źródło zastępcze E = E1 = E2 = E3 Siły elektromotoryczne źródeł przy łączeniu równoległym muszą być sobie równe, w przeciwnym przypadku źródła wyładowywałyby się przez własne opory wewnętrzne. Jest to warunek konieczny przy łączeniu równoległym źródeł. Źródło zastępcze, uzyskane w wyniku równoległego połączenia źródeł, jest mało „wrażliwe” na pobór prądu (napięcie na jego zaciskach tylko nieznacznie zmniejsza się przy poborze zwiększonego natężenia), ponieważ Rw jest mniejsze od najmniejszego z oporów wewnętrznych źródeł połączonych równolegle. (U = Irw). Widać to z następującego wzoru: PYTANIA 1) Czy pojemność kondensatora zastępczego jest większa czy mniejsza od największego z kondensatorów połączonych równolegle? 2) Czy pojemność kondensatora zastępczego jest większa czy mniejsza od najmniejszego z kondensatorów połączonych szeregowo? 3) Narysować schemat i podać wzory na siłę elektromotoryczną, rezystencję zastępczą źródła prądu powstałą w wyniku połączenia szeregowego źródeł. 4) W jakim przypadku łączymy źródła prądu szeregowo, a w jakim równolegle? 12.4 Prawo Joule’a Lenza Prawo Joul’a Lenza wiąże ze sobą trzy działy fizyki: ciepło, które jest w zasadzie częścią składową termodynamiki, termodynamikę i elektryczność. Q [cal] = A W [J] A – cieplny równoważnik pracy mechanicznej 0.24 cal = 0.24 Widać, że z pracy 1J otrzymaliśmy 0.24 cal ciepła. Jeśli nie ma zmiany stanu skupienia, to wzór na ciepło ma postać: Q = m cw ΔT Jeśli ciepło będziemy mierzyć w dżulach, to: Q [J] = W [J] = U I t = I2R t = Prawo Joul’a Lenza można wypowiedzieć w sposób następujący: ciepło wydzielone przez grzejnik jest równe pracy prądu elektrycznego. Przy czym pracę prądu zapisujemy jednym ze wzorów podanym wyżej. Jako przykład zastosowania prawa Joule’a Lenza rozpatrzmy następujące zadania: Zadanie 1 Dane: obliczyć: Masa wody mw = 250 g (szklanka) Czas zagotowania oporność grzejnika R = 10Ω wody w szklance natężenie prądu płynącego przez t = ? grzejnik I = 10 A temperatura początkowa wody tpw = 20o Ciepło potrzebne do ogrzania wody (m cw ΔT) równe jest pracy, którą wykonuje prąd I pobrany ze źródła płynący przez grzejnik o oporności R w czasie t. m cw ΔT = I2 R t stąd: = = 83,8s po sprawdzeniu jednostek okaże się, że czas wychodzi rzeczywiście w sekundach Zadanie 2 Dane: Określić: Czas wyparowania bryłki z jakiego materiału wykonana lodu t = 100 s jest grzałka γ = ? masa lodu ml = 10 g temperatura początkowa lodu tpl = - 20o C napięcie, do którego podłączono grzejnik U = 200 V długość drutu grzejnego l = 10 m średnica drutu d = 0.1 mm Korzystając ze wzoru na pracę prądu elektrycznego, zamienianego na ciepło, potrzebne do wyparowania bryłki lodu, możemy napisać: ponieważ przekrój drutu wyraża się wzorem: mamy po wstawieniu za R: Q – ciepło potrzebne do wyparowania bryłki lodu Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 gdzie: Q1 – ciepło potrzebne na ogrzanie bryłki lodu od – 20oC do 0oC Q2 – ciepło potrzebne na stopienie bryłki lodu, Q3 – ciepło potrzebne na ogrzanie wody z lodu od 0oC do 100oC Q4 – ciepło potrzebne do wyparowania wody z lodu. Q = ml cwl (T + ml ct + mw cww 100oC + mw cp Q = 100 cal + 800 cal +1000 cal + 5400 cal = 7300 cal = 30.587 J PYTANIA 1) Jakie działy fizyki łączy ze sobą prawo Joule’ a Lentza? 2) Jakie dane potrzebne są do obliczenia czasu zagotowania szklanki wody za pomocą grzałki elektrycznej? 3) Jakie dane potrzebne są do stwierdzenia z jakiego materiału zbudowany jest grzejnik, jeżeli znamy czas wyparowania danej masy lodu przy ogrzewaniu jej tym grzejnikiem? 12.5 Prawa Faradaya 12.5.1 Pierwsze prawo Faradaya Masa m substancji wydzielona na elektrodzie woltametru jest wprost proporcjonalna do przepływającego przez elektrolit ładunku q. Woltametr to naczynie, w którym znajduje się roztwór np. CuSO4 i zanurzone w nim dwie elektrody miedziane. Na jednej z nich podłączonej do „– ” będzie się wydzielać miedź. Rys 197 Schemat woltametru Zgodnie z tym procesem masa wydzielonej na elektrodzie miedzi m jest wprost proporcjonalna do przepływającego przez elektrolit ładunku elektrycznego q: m = k q gdzie: k – równoważnik elektrochemiczny, można wyznaczyć doświadczalnie ze wzoru: ponieważ q = I t stąd: m = k I t Ważąc elektrodę przed i po elektrolizie i natężenie prądu I oraz czas t. można wyznaczyć masę m miedzi wydzielonej na elektrodzie. PYTANIA 1) Co to jest woltametr i do czego służy? 2) Co mówi pierwsze prawo Faradaya? 12.5.2 Drugie prawo Faradaya Masy substancji wydzielonych na elektrodach dwóch woltametrów połączonych szeregowo mają się do siebie tak, jak ich równoważniki elektrochemiczne lub chemiczne. Rys 198 Dwa woltametry połączone szeregowo gdzie: R – równoważnik chemiczny jest to stosunek masy atomowej Ma do jej wartościowości w Między równoważnikiem chemicznym R i elektrochemicznym k dla każdej substancji istnieje następujący związek: = F = 96500 C = N e = 6.023 ∙1023 ∙ gdzie: N – liczba Avogadro F – stała Faradaya (równoważna jest ona ładunkowi 1 mola elektronów) e – ładunek elektronu 1.6 ∙10-19 C Stąd: wstawiając do pierwszego prawa Faradaya za k mamy inną postać I prawa Faradaya: PYTANIA 1) W jaki sposób doświadczalnie wyznaczamy równoważnik elektrochemiczny? 2) W jaki sposób łączy się woltometry przy sprawdzaniu drugiego prawa Faradaya? 3) W jaki sposób stała Faradaya łączy ze sobą równoważniki chemiczny i elektrochemiczny? 4) Co to jest równoważnik chemiczny? 5) Ile wynosi stała Faradaya i czemu ona odpowiada? 12.6 Ogniwa i akumulatory 12.6.1 Ogniwa Ogniwa są to chemiczne źródła prądu stałego. Rozróżniamy ogniwa mokre i suche. Ogniwo mokre Volty otrzymuje się po zanurzeniu np.: w rozcieńczonym kwasie siarkowym H2SO4 płytki cynkowej (Zn) i miedzianej (Cu). Jony dodatnie cynku po opuszczeniu płytki wypierają wodór H2 z kwasu siarkowego. Jony wodoru opuszczając cząsteczkę kwasu dążą do płytki miedzianej. Pobierają od niej elektrony, zobojętniają się i w postaci pęcherzyków gazu unoszą się do góry i wylatują do otoczenia Niektóre atomy wodoru jednak pozostają przy płytce miedzianej zmniejszając jej potencjał. Ten proces nazywa się depolaryzacją. W celu wyeliminowania tego szkodliwego, zjawiska umieszcza się w pobliżu anody substancję silnie utleniającą np.: MnO2. Tlen wówczas łączy się z wodorem dając wodę. Podobnie zbudowane są ogniwa suche – Leclanche’go. Naczyńko cynkowe Zn stanowi biegun ujemny ogniwa. Biegunem dodatnim jest pręt grafitowy nakryty mosiężną „czapeczką”. Rys. 199 Ogniwo mokre Volty Rys. 200 Ogniwo suche Leclanche’go 12.7.2 Akumulatory Akumulatory są to źródła prądu stałego, które po naładowaniu można wykorzystywać. Rozróżniamy akumulatory zasadowe i akumulatory kwasowe. Akumulator naładowany jest wówczas, gdy na płytce dodatniej - anodzie jest dwutlenek ołowiu PbO2, a na katodzie (płytce ujemnej) - ołów Pb. Akumulatory zasadowe mają większą oporność wewnętrzną i przy poborze z nich prądu występuje na nich duży spadek napięcia. dlatego w samochodach używa się akumulatorów kwasowych, (ze względu na mały spadek napięcia na oporze wewnętrznym). ponieważ można uzyskać z nich duży prąd „rozruchu” (niezbędny do uruchomienia rozrusznika samochodowego, wprawiającego w ruch silnik samochodowy)– Rys. 201 Akumulator naładowany Po rozładowaniu zarówno na jednej, jak i na drugiej elektrodzie będzie siarczan ołowiu PbSO4. Tak więc mamy: na anodzie (–) PbO2 + 2H + H2SO4 + 2e = PbSO4 + 2H2O na katodzie (+) Pb + SO4 – 2e = PbSO4 Elektrolitem w akumulatorach ołowiowych jest wodny roztwór kwasu siarkowego, którego stężenie zleży od stopnia naładowania akumulatora. Siła elektromotoryczna jednego ogniwa wynosi 2,2 V po naładowaniu. W czasie pracy utrzymuje się na poziomie 2V. Wartość SEM akumulatora (przed naładowaniem) nie powinna spadać poniżej 1,8V. Akumulatory samochodowe składają się z ogniw łączonych zwykle szeregowo. Pojemność akumulatora tj. ładunek q jaki możemy zgromadzić w akumulatorze lub pobrać z akumulatora. Pojemność akumulatora mierzy się w amperogodzinach [Ah]. W akumulatorach zasadowych elektrolitem jest ług potasowy KOH i to zarówno w akumulatorach żelazowo – niklowych jak i kadmowo– niklowych. Masa czynna (płyt dodatnich) anod, składa się z wodorotlenku niklowego Ni2(OH)2, który podczas ładowania przekształca się w wodorotlenek niklawy Ni(OH)2. PYTANIA 1) Wymienić i omówić rodzaje ogniw elektrycznych. 2) Jaką substancję stosuje się na depolaryzatory w ogniwach i do czego one służą? 3) Jakiego rodzaju są akumulatory i czym się one charakteryzują? 4) Czym się różnią między sobą elektrody naładowanego akumulatora ołowiowego? 5) Co się dzieje pod względem elektrycznym, a co pod względem chemicznym na elektrodach w akumulatorach ołowiowych? 6) Jaki proces chemiczny zachodzi podczas wyładowania rozładowania akumulatora ołowiowego? 7) Na czym polega proces ładowania akumulatora ołowiowego? 8) W jakich jednostkach mierzy się pojemność elektryczną akumulatora? 9) Co to oznacza, że jeden akumulator ma mniejszą ,a drugi większą pojemność elektryczną? 13 POLE MAGNETYCZNE Pole magnetyczne jest to przestrzeń, w której na elementarne magnesy umieszczone w tej przestrzeni działają siły. Prawa dotyczące pola magnetycznego są podobne do praw obowiązujących w polach, elektrycznym i grawitacyjnym. Rys. 202 Obraz linii sił w polu magnetycznym M = Φ gdzie: M – ilość magnetyzmu dużego magnesu, a raczej strumień magnetyczny Φ magnesu wytwarzającego pole, mierzy się go w weberach (Wb). m – (ilość magnetyzmu małego magnesu), strumień magnetyczny magnesu próbnego. 1) Ile wynosi przenikalność magnetyczna próżni? 2) W jakich jednostkach podaje się przenikalność magnetyczną? 3) Co można powiedzieć o „wymiarze” - jednostce względnej przenikalności próżni i jej wielkości? 13.1 Prawo Coulomba dla magnetyzmu Dla magnesów podobnie jak dla ładunków elektrycznych można by sformułować Prawo Coulomba (chociaż biegunów magnetycznych w odróżnieniu od ładunków elektrycznych nie da się rozdzielić) w postaci wzoru: i powiedzieć, że magnesy przyciągają się siłą wprost proporcjonalną do ich „mas magnetycznych” a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między ich środkami. gdzie : k – współczynnik proporcjonalności a zatem: stąd μ = μ0 μr gdzie: μ0 – przenikalność magnetyczna próżni μ0 = 4π 10-7 H/m μr – względna przenikalność magnetyczna ośrodka. Ponieważ indukcyjność cewki określa się wzorem: gdzie: z – liczba zwojów Rμ – oporność magnetyczna rdzenia stąd: Pole magnetyczne charakteryzuje się natężeniem pola magnetycznego 13.2 Natężenie pola magnetycznego H Natężenie pola magnetycznego H określa się wzorem: Natężenie pola H można również określić jako stosunek siły F działającej na elementarny magnes o „masie magnetycznej” m do jego „masy magnetycznej”. Ta masa to nic innego jak elementarny strumień pola magnetycznego wychodzący z elementarnego magnesu. gdzie: μ H = B – indukcja magnetyczna czyli: Strumień magnetyczny Φ mierzy się w weberach [Wb = V s] ponieważ: stąd: ΔΦ = e Δt a więc: 1Wb = 1V 1 s stąd: Jednostką indukcyjności L jest 1 Henr: 1H = 1Ω 1 s PYTANIA 1. Na podstawie jakiego wzoru można łatwo wykazać, że [Wb = V s]? 2. Jakim wzorem wyraża się natężenie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem? 3. Jaki wymiar ma natężenie pola magnetycznego? 4. Co to jest siła elektrodynamiczna? Podać sposób obliczania jej wartości oraz regułę według, której wyznaczyć można jej kierunek. 13.3 Pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem (prawo Ampere’a) Prawo Ampera mówi, że natężenie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem jest wprost proporcjonalne do prądu I płynącego w przewodniku, a odwrotnie proporcjonalne do odległości, r, od tego przewodnika prawo to możemy zapisać następującym wzorem: gdzie: k – współczynnik proporcjonalności, dla bardzo długich przewodników w których płynie prąd I: stąd: Dwa przewodniki, w których płyną prądy w tych samych kierunkach będą się przyciągać do siebie siłą (F = BIl jak na rys. 203). Przewodniki, w których prądy będą płynąć w kierunkach przeciwnych będą się odpychać (można to łatwo sprawdzić rysując pola magnetyczne wokół przewodników z prądami płynącymi w kierunkach przeciwnych). Maxwell tłumaczył to w sposób następujący: w przypadku jeśli prądy płyną w tym samym kierunku, to pola magnetyczne między przewodnikami skierowane są przeciwnie i znoszą się. Miedzy nimi powstaje jakby próżnia magnetyczna. Jeśli natomiast prądy w przewodnikach będą płynąć w kierunkach przeciwnych, to natężenia pól magnetycznych między przewodnikami będą w tym samym kierunku i będą powodować odpychanie się przewodów. Można by powiedzieć, że liniom sił pola magnetycznego będzie jakby „ciasno” i będą się „rozpychać”. Rys. 203 Natężenia pól magnetycznych wokół przewodników z prądami płynącymi w tych samych kierunkach (przewodniki będą się przycągać) 13.3.1 Prawo Oersteda Prawo Oersteda mówi, że jeśli scałkujemy natężenie pola po drodze zamkniętej l wokół przewodnika z prądem to możemy określić wartość prądu płynącego w tym przewodniku. Prawo to można wyrazić w postaci całkowej następującym wzorem: I = 13.3.2 Pole magnetyczne w solenoidzie Solenoid to pewna liczba zwojów zwinięta w spiralę. Jeśli przez te zwoje przepuścimy np. prąd stały, to wokół uzwojenia powstanie pole magnetyczne w kierunku zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej (jak na rysunku 204). Jeśli palce prawej ręki ustawimy w kierunku przepływającego prądu to wyprostowany kciuk wskaże nam kierunek powstającego natężenia pola magnetycznego. W soleniodzie powstają zatem bieguny magnetyczne N i S jak w normalnym magnesie. Rys. 204 Solenoid i jego pole W solenoidzie, w którym znajduje się stalowy pręt, indukcja BS = B = μ H jest większa od indukcji w solenoidzie bez rdzenia B0 = μ0 H. BS > B0 μ = μ0 μr a więc: BS = μ0 μr H = μr B0 Współczynnik (r - nosi nazwę względnego (relatywnego) współczynnika przenikalności magnetycznej (r ( stąd znaczek r). Współczynnik ten mówi ile razy indukcja Bs cewki z rdzeniem stalowym jest większa od indukcji Bo w cewce bez rdzenia. B = μr B0 + B0 – B0 B = B0 + (μr – 1)B0 (μr – 1)B0 - tj. magnetyzacja lub wektor namagnesowania μr – 1 = χ - tj. podatność magnetyczna B = B0 + χ B0 B = μ0 H + χ μ0 H = μ0(H + χ H) = μ0(H + M) gdzie: χ H = M B = μ0 H(1 + χ) = μ0 H μr μr = 1 + χ a więc jest tu podobnie jak z wektorem w polu elektrycznym , ε0, εr, i χe (patrz punkt 11.1). PYTANIA 5. Co to jest pole magnetyczne? 6. Jakie wielkości charakteryzują pole magnetyczne? 7. Gdybyśmy wprowadzili pojęcie masy magnetycznej, to jaką miałaby ona jednostkę? 8. W jakiej postaci można by napisać prawo Coulomba dla magnetyzmu? 9. O czym mówi względna przenikalność magnetyczna? 10. W jaki sposób można zdefiniować natężenie pola magnetycznego w pewnym punkcie w pobliżu magnesu stałego? 13.4 Reguły prawej i lewej dłoni oraz śruby prawoskrętnej. Prawo Faradaya – wzory na siłę elektromotoryczną samoindukcji. Regułę prawej dłoni stosuje się do prądnicy, natomiast regułę lewej dłoni do silnika (łatwo to zapamiętać mnemotechnicznie). To samo urządzenie może być silnikiem lub prądnicą w zależności od tego, czy my obracamy ramkę (będzie to wówczas prądnica), czy obraca się ona na skutek dostarczanego prądu (silnik). 13.4.1 Silnik (reguła lewej dłoni) Z silnikiem mamy do czynienia wówczas, gdy przez ramkę umieszczoną w polu magnetycznym (między biegunami N i S jak na rys. 205) przepuścimy prąd ze źródła, to ramka zaczyna się obracać tak, jak pokazują strzałki na rysunku 205 ). Aby ustalić kierunek obrotu ramki należy: lewą dłoń ustawić tak, by pole magnetyczne H wchodziło w wewnętrzną stronę dłoni. Palce pokazują kierunek przepływu prądu – kciuk wskazuje kierunek działania siły działającej na ramkę i jednocześnie kierunek obrotu ramki. EMBED Equation.3 Rys. 205 Zasada działania silnika (reguła lewej dłoni), s – nieruchome szczotki, p – półpierścienie połączone z obracającą się ramką 13.4.2 Prądnica (reguła prawej dłoni) Z prądnicą mamy do czynienia wówczas, gdy obracamy ramkę z przewodnika umieszczoną w polu magnetycznym magnesu. Indukuje się w niej siła elektromotoryczna indukcji. Prądnica prądu stałego zbudowana jest podobnie jak silnik; posiada dwa półpierścienie. Pierścień przecięty jest na dwie równe części połączone jeden do początku, a drugi do końca wirującej ramki umieszczonej między biegunami magnesu. Wirujące wraz z ramką półpierścienie stykają się z nieruchomymi szczotkami, na których pojawia się siła elektromotoryczna indukcji – e. W przewodniku o długości l przesuwanym między biegunami magnesu na drodze Δs indukuje się siła elektromotoryczna samoindukcji e i płynie prąd I zgodnie z regułą prawej dłoni. Wiadomo jednak, że na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym działa siła Fh = B I l zgodnie z regułą lewej dłoni. Dlatego, na ten przewodnik w którym wytworzyła się siła elektromotoryczna indukcji e i popłynął przez niego prąd będzie działać siła hamująca Fh. Rys. 206 Zasada działania prądnicy (reguła prawej dłoni) Zamiast reguł prawej i lewej dłoni wykorzystuje się czasem regułę trzech palców odpowiednio lewej lub prawej dłoni. Zasada jest podobna: trzy palce lewej ręki dla silnika, a prawej dla prądnicy ustawione w płaszczyznach wzajemnie do siebie prostopadłych wskazują odpowiednio: · kciuk – siłę F · palec wskazujący – indukcję magnetyczną B · palec środkowy – natężenie prądu elektrycznego I Praca mechaniczna, którą wydatkujemy przy przesuwaniu przewodnika umieszczonego między biegunami magnesu zamienia się na pracę prądu elektrycznego. ΔW = F Δs ponieważ F = – Fh, to ΔW = – Fh Δs ΔW = – B I l Δs U I Δt = – B I l Δs Wiadomo, że siła elektromotoryczna źródła otwartego jest równa napięciu na jego zaciskach tzn: U = e a zatem: (1) e = – B I vh = – B I ω r = – Bl2πfr v = vh gdzie: v – prędkość przecinania linii sił pola magnetycznego. Wektor v jest prostopadły do wektora B (rys 206). l Δs = ΔS jest to pole powierzchni, które zakreśla przewodnik o długości l na drodze Δs. Stąd: (2) Jeśli zamiast przewodnika (rys. 206) między biegunami magnesu umieścilibyśmy ramkę o z zwojach, to siła elektromotoryczna indukcji, która wytworzyłaby się na końcach ramki byłaby z razy większa: ponieważ: B = μ H wobec tego: ponieważ: dla jednego zwoju, to dla z zwojów: stąd wstawiając do wzoru za H mamy: wzór ten można zapisać także w postaci: We wzorze tym zamieniliśmy miejsce „pobytu” znaku przyrostu Δ. Obecnie znajduje się ona przy I. Można tak zrobić, ponieważ e powstaje bądź przy przecinaniu przewodnikiem pola H, bądź gdy pole o natężeniu H przecina przewodnik, np.: przy przesuwaniu magnesu nad przewodnikiem. Można również uzyskać e przez zmianę I, a tym samym zmianę natężenie pola H, jak na rysunku 207. Ponieważ 2πr = l oraz , a zatem: (1) (2) Rys. 207 Przewodnik (2), w którym indukuje się SEM e, na skutek zmian ΔI w (1) przewodniku Zamiast przyrostu powierzchni ΔS, którą zakreśla przewodnik w polu magnetycznym można napisać ΔI zmianę prądu w przewodniku, ponieważ na skutek zjawiska indukcji uzyskamy taki sam efekt, jak przy przecinaniu linii sił pola magnetycznego przesuwanym przewodnikiem. PYTANIA 1) W jakim przypadku stosuje się regułę prawej, a w jakim regułę lewej dłoni lub odpowiednie reguły trzech palców? 2) Na czym polega reguła prawej i lewej dłoni? 3) Z jakiej zasady korzysta się przy wyprowadzaniu wzorów na siłę elektromotoryczną indukcji? 4) Czemu jest równa praca przy przesuwaniu przewodnika w polu magnetycznym – omówić poszczególne przypadki. 5) Przy jakim przesuwaniu przewodnika w polu magnetycznym powstaje siła hamująca przewodnik? 6) Podać wzór na siłę działającą na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym. 7) Wyprowadzić i objaśnić wzór na siłę elektromotoryczną indukcji (e = -Blv). Wyprowadzić i objaśnić wzór na siłę elektromotoryczną indukcji o postaci . 8) W jaki sposób dochodzi się do wzoru na siłę elektromotoryczną indukcji: ? 9) W jaki sposób można zaindukować siłę elektromotoryczną w przewodniku – podać trzy sposoby? 10) W jaki sposób można zaindukować siłę elkromotoryczną indukcji e w przewodniku – podać trzy sposoby? 13.4.3 Wartości chwilowe siły elektromotorycznej indukcji, prądu i napięcia Przy obracaniu ramki ze stałą prędkością v w polu magnetycznym (jak na rys 208), otrzymujemy w zależności od położenia ramki (tzn. w zależności od kąta α) różne wartości chwilowe siły elektromotorycznej e, ponieważ: e = - B I vh ale stąd vh = v sinα przy czym α = ω t stąd e = - B I v sinα (4) przyjmując, że - B I v = E0 mamy: e = E0 sin ωt │: (Rz + rw) (5) po podzieleniu obu stron otrzymujemy również: a to jest i = I0 sin ωt Mnożąc obie strony ostatniego równania przez Rz mamy: i Rz = I0 Rz sin ωt ponieważ: i Rz = U, a I0 Rz = U0 mamy zatem: U = U0 sin ωt Rys. 208 Prędkość wirującej ramki v i przecinania linii sił pola magnetycznego vh Rys 209 Wartości chwilowe siły elektromotorycznej „e” i maksymalnej „E0” wytwarzanej w ramce Rys. 210 Wartości chwilowe prądu i oraz maksymalne I0 wytwarzane w wirującej ramce. Rys. 211 Wartości chwilowe napięcia u i maksymalne U0 w wirującej ramce. PYTANIA 1) Od czego i w jaki sposób zależy wielkość indukującej się siły elektromotorycznej w ramce podczas obracania jej między biegunami magnesu? 2) W jakich położeniach obracającej się ramki siła elektromotoryczna osiąga wartość zero, a w jakich wartość maksymalną? Odpowiedź uzasadnić. 3) Narysować wykresy i napisać wzory na: siłę elektromotoryczną indukcji e, napięcie U oraz natężenie prądu I płynącego w ramce, w czasie obracania jej między biegunami magnesów. 13.4.4 Reguła śruby prawoskrętnej Wkręcając śrubę prawoskrętną śrubokrętem trzymanym w prawej dłoni zgodnie ze wskazówkami zegara czyli w tę stronę, w którą zwrócone są palce prawej dłoni, wyprostowany kciuk wskazuje nam kierunek (a ściślej mówiąc – zwrot) przesuwania wkręcanej śruby. Aby znaleźć zwrot natężenia pola magnetycznego , jeśli znamy zwrot przepływającego przez zwojnicę prądu I, należy zwinięte palce prawej dłoni ustawić tak, by wskazywały one zwrot płynącego prądu I, a wyprostowany kciuk wskaże nam zwrot wektora natężenia pola H (rys. 212). Rys. 212 Reguła śruby prawoskrętnej w zastosowaniu do wyznaczania a) H, b) I. Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe tzn. jeśli palce ustawimy tak, aby wskazywały zwrot natężenia pola magnetycznego H, to kciuk wskaże kierunek prądu płynącego w przewodniku, tak jak pokazane to jest na rysunku 212. 13.4.5 Definicja Ampera Amper jest jednostką podstawową z układu SI. Podstawą definicji jest wzór . Amper jest natężeniem nie zmieniającego się prądu elektrycznego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych i nieskończenie długich przewodach o przekroju okrągłym, znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości d =1 m od siebie wywołałby między tymi przewodami siłę wynoszącą 2 10-7 N na każdy metr długości przewodu. Definicję tę można uzasadnić w sposób następujący: F = B I l po uwzględnieniu: B = μ0 H Mamy: , ponieważ Wstawiając, za μ0 oraz H do wzoru na I mamy: Rys. 213 Ilustracja służąca do definicji ampera Definicję ampera można zwięźle sformułować symbolicznie w sposób nastepujący: 1. długość przewodników l → ∞ 4. ΔI = 0 2. odległość d = 1 m 5.siła oddziaływania F = 2 10-7 N/m 3. przekrój przewodników S → 0 6 w próżni. p = 0 N/m2 Jeżeli za F wstawimy wartość podaną w definicji ampera, to rzeczywiście I będzie równe 1 amper. PYTANIA 1) Podać definicję ampera. 2) Gdzie umieszczone są przewody przewodników według definicji ampera? 3) Jaki przekrój pod względem kształtu i wielkości mają przewodniki w definicji ampera? 4) Jaką siłą i z jakiej odległości działają na siebie przewodniki o metrowej długości w definicji ampera? 13.5 Związek momentu magnetycznego Mm z momentem siły MF Moment magnetyczny jest wektorem skierowanym prostopadle do powierzchni S w kierunku od patrzącego zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej (patrz rys.214). Rys. 214 Wektor momentu magnetycznego na rys. 215 widać, że: , mamy zatem: Rys. 215 Moment pary sił MF i moment magnetyczny Mm Na rysunku 215 pokazany jest ścisły związek między: indukcją magnetyczną B, momentem magnetycznym Mm i momentem pary sił Mr. (Para sił są to dwie siły równe i równoległe przeciwnie skierowane, nie leżące na jednej prostej). Para sił posiada następujące własności: · nadaje ciału ruch obrotowy · nie posiada wypadkowej (można ją zrównoważyć tylko inną parą sił) · moment pary sił równy jest F∙a niezależnie od punktu względem którego ten moment mierzymy , ale oraz stąd mamy: Rys. 216 Moment pary sił 13.6 Moment magnetyczny Mm elektronu, w atomie wodoru Często moment magnetyczny w atomie wodoru oznacza się przez: Pm Z definicji momentu magnetycznego Mm mamy: zamiast: I możemy wstawić , a ponieważ S=(r2, to: gdzie: e – ładunek elektronu. T –okres obiegu elektronu wokół jądra, wyznaczymy ze wzoru: stąd: e = 1.6 10-19C r = 5.1 10-11m mamy więc: Stosunek momentu magnetycznego elektron Pm, do momentu jego pędu L będzie: g l –nazywamy orbitalnym stosunkiem giromagnetycznym gdzie: s – spin elektronu, który równy jest połowie momentu pędu elektronu gs – spinowy stosunek giromagnetyczny L – moment pędu elektronu Ze spinowym momentem pędu Ls wiąże się własny moment magnetyczny elektronu ms zwany również spinem, s, może on przyjmować tylko dwie wartości + lub - , „+” jeśli skierowany jest zgodnie z orbitalnym polem magnetycznym i „–” jeśli przeciwnie. Z drugiego postulatu Bohra: mamy: wobec tego: gdzie: μB = 0.9273 10-23 Am2 jest magnetonem Bohra, który można przyjąć, że jest kwantem momentu magnetycznego. Jeśli atom umieścimy w słabym polu magnetycznym, to zaobserwujemy zjawisko Zeemana, gdyż pojedyncza linia widmowa atomu rozszczepia się na trzy – odpowiadające trzem magnetycznym liczbom kwantowym m = 0, m = +1, m = -1. Zjawiska tego mechanika kwantowa w ujęciu Schrödingera, Heisenberga nie potrafiła wyjaśnić. W celu wyjaśnienia tego zjawiska trzeba było wprowadzić pojęcie spinowego momentu pędu Ls: gdzie: s – spinowa liczba kwantowa (tj. wartość liczbowa spinu + lub - ) Rys 217 Siły działające na elektron w atomie wodoru Wychodząc z porównania sił: mamy: tu: m = me = 9.1 10-31 kg stąd możemy określić prędkość elektronu: po wstawieniu za v do wzoru na Mm mamy: stąd: W tym przypadku, również w celu przekonania się w jakim stopniu opanowaliśmy nie tylko jednostki poszczególnych wielkości występujących w tym wzorze, ale i umiejętność dokonywania ich przekształceń matematycznych, warto sprawdzić czy rzeczywiście moment magnetyczny Mm posiada wymiar [Am2]. PYTANIA 1) Co to jest moment magnetyczny i w jakich jednostkach się go mierzy? 2) Jaki jest związek momentu magnetycznego z momentem siły? 3) Czy momenty magnetyczne występują w atomach? 4) Jakiego rodzaju momenty występują w atomie? 5) Wyprowadzić wzór na moment magnetyczny w atomie wodoru. 6) Jakie wielkości należy znać aby określić moment magnetyczny w atomie wodoru? 7) Jaka przenikalność: elektryczna czy magnetyczna występuje we wzorze na moment magnetyczny w atomie wodoru? 8) Ile waży elektron i jaki ma ładunek? 9) Czy ciężar i ładunek elektronu są stałe niezależnie od stanu w jakim się ładunek znajduje? 10) Jaką wielkość trzeba znać oprócz orbitalnego momentu magnetycznego, masy i ładunku elektronu, aby obliczyć promień orbity, po której krąży elektron w atomie wodoru? 11) Czy we wzbudzonym atomie wodoru promień orbity elektronu pozostaje taki sam jak w niewzbudzonym czy się zmienia? Odpowiedź uzasadnić. 13.7 Zjawisko Halla Jeżeli przez metalową płytkę umieszczoną w polu magnetycznym, przepuścimy prąd elektryczny o natężeniu I, to na przepływające elektrony będzie działać siła zgodnie z regułą lewej dłoni. Rys. 218 Schemat zjawiska Halla Między bocznymi ściankami płytki o długości l pojawi się różnica potencjałów, która nosi nazwę napięcia Halla: UH = V1 – V2 Napięcie UH pojawia się, ponieważ siła F działająca na przewodnik z prądem o natężeniu I umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B. wyraża się wzorem: F = B I l Siła ta działa właściwie na przepływające przez płytkę ładunki elektryczne. Ładunki te zgodnie z regułą lewej dłoni, gromadzą się na przeciwległych ściankach w zależności od ich znaku. W ten sposób powstaje napięcie Halla, a ponieważ natężenie pola elektrycznego wyraża się wzorem: stąd F =E e ale elektronów płynących przez płytę jest n, to F = E n e Porównując obie siły (BIl = Ene) mamy: - nosi nazwę stałej Halla i zależy od rodzaju materiału płytki i koncentracji nośników ładunku w płytce. Rozumowanie powyższe jest uproszczone. Dokładniejsze wyjaśnienie zjawiska Halla można uzyskać w oparciu o mechanikę kwantową. Zjawisko Halla wykorzystuje się często do pomiaru indukcji magnetycznej B - pola w którym umieszczona jest płytka. 14. PRĄD PRZEMIENNY 14.1 Prawo Ohma dla prądu przemiennego ) Obwód prądu przemiennego składa się zazwyczaj z trzech różnych elementów R, L, C połączonych szeregowo lub równolegle oraz ze źródła siły elektromotorycznej prądu przemiennego. W celu określenia wartości prądu przemiennego płynącego przez obwód składający się np.: z szeregowo połączonych elementów RLC należy, zgodnie z prawem Ohma dla prądu przemiennego, wartość napięcia przemiennego U podzielić przez tzw. opór pozorny, zwany inaczej zawadą lub impedancją Z. Prawo Ohma dla prądu przemiennego wyraża się więc w postaci: w którym: I, U – wartości prądu i napięcia. W celu lepszego zrozumienia sensu wielkości występujących we wprowadzonym poniżej wzorze na impedancję Z, przeprowadzimy następującą analizę obwodu pokazanego na rysunku 219. Rys. 219 Napięcia na szeregowo połączonych elementach R L C Przed przeprowadzeniem analizy należy omówić zagadnienie przesunięć fazowych występujących między napięciem i prądem na poszczególnych elementach R L C. Na oporniku R nie obserwuje się przesunięcia fazowego między prądem a napięciem, czyli mówi się, że prąd i napięcia na oporniku są w zgodnej fazie, jak pokazano na rysunku 220. Na cewce (indukcyjności) natomiast prąd opóźniony jest w stosunku do napięcia o π/2 czyli o 90˚ (rysunek 220 b). Oznacza to, że z chwilą przyłożenia napięcia do cewki prąd przez cewkę nie płynie natychmiast lecz opóźnia się względem przyłożonego napięcia. Problem ten w pewnym sensie wyjaśnia nam omówione wcześniej zjawisko samoindukcji. Na rysunku 185 widać jak prąd o ΔI narasta w cewce L z rysunku 184 po czasie Δt1 od chwili przyłożenia do cewki napięcia. Na kondensatorze, jak widać z rysunku 220c, prąd wyprzedza powstające na okładkach napięcie o T/4 czyli o 90˚, można by ten Rys. 220 Przesunięcia fazowe na elementach R L C fakt wytłumaczyć w ten sposób, że aby powstała na okładkach kondensatora różnica potencjałów musi dopłynąć do nich pewien ładunek. Wynika to ze wzoru Przesunięcia fazowe między prądem i napięciem na elementach R L C łatwo dają się uzasadnić matematycznie w sposób następujący: Na oporniku R mamy napięcie: UR = U0 sin ωt a prąd płynący w tym oporniku wyraża się wzorem: iR = I0 sin ωt Nie obserwuje się tu przesunięcia fazowego między prądem IR oraz napięciem UR, kąt przesunięcia fazowego φ = 0, jak widać z rysunku 221. Rys. 221 Przebiegi prądu i napięcia na oporniku Napięcie, które należy przyłożyć na cewkę o indukcyjności L, aby zrównoważyć siłę elektromotoryczną indukcji wytwarzającą się w niej w czasie przepływu prądu zmiennego określa się wzorem: ( z wyrażenia tego po przekształceniu otrzymujemy: Po scałkowaniu obu stron mamy: Rys. 222 Przebiegi prądu i napięcia na cewce Zarówno z rysunku 222, jak i z napisanych wyżej wzorów widać, że na cewce prąd opóźniony jest w fazie w stosunku do napięcia o π/2 lub lepiej jeśli mówi się o opóźnieniu w czasie o T/4 , ponieważ droga kątowa φ =ωt, to π/2 odpowiada czasowi T/4 . W przypadku kondensatora zmiana napięcia na jego okładkach uwarunkowana jest dopływem ładunku, w każdej chwili można więc napisać wzór w postaci różniczkowej w sposób następujący: Cdu = dQ = idt gdzie: i – wartość chwilowa prądu dopływającego do ładującego się kondensatora pod wpływem przyłożonego napięcia zmiennego, które podobnie jak dla opornika lub cewki ma postać: u = U0sinωt Znajdując pochodną mamy: Z poprzedniego równania natomiast widać, że : Przyrównując do siebie ostatnio otrzymane wyrażenia mamy: Jeśli wzory określające napięcie występujące na kondensatorze i prąd przepływający przez kondensator napiszemy obok siebie uwzględniając, że CU0 = I0t, i że: u = U0 sinωt, to: i = I0 sin(ωt + π/2) łatwo wówczas zauważymy, że na kondensatorze prąd wyprzedza napięcie o 90˚ (rysunek 223). Rys. 223 Przebiegi prądu i napięcia na kondensatorze Patrząc na rysunki 222 i 223 można zobaczyć co na danym elemencie występuje wcześniej, prąd czy napięcie. W tym celu obserwujemy przebiegi prądu i napięcia w chwili ich narastania. Jeśli sinusoida prądu przecina wcześniej oś ωt niż sinusoida napięcia, to oznacza, że prąd pojawia się wcześniej w danym elemencie niż napięcie, jeśli odwrotnie, to napięcie pojawia się wcześniej niż prąd, który jest opóźniony w stosunku do napięcia o 90˚. Tę samą informację dotyczącą przesunięć fazowych między prądem i napięciem na poszczególnych elementach można uzyskać patrząc na rysunek 220. Linią przerywaną na tym rysunku przedstawiona została wirująca wskazówka czasowa, którą można sobie wyobrazić jak w czasie swego obrotu uderza kolejno we wskaz (tzn. strzałkę napięcia lub prądu) w poszczególnych elementach R L C. Mając już uporządkowane pojęcia o przesunięciach fazowych między prądem i napięciem możemy wrócić do analizy obwodu pokazanego na rysunku 219. Zgodnie z drugim prawem Kirchoffa można napisać, że: czyli: Równanie to można przedstawić na rysunku 224 z uwzględnieniem omówionych wyżej przesunięć fazowych między prądem i napięciem na poszczególnych elementach. Prąd I płynie przez wszystkie elementy R L C (z rysunku 219) jednakowy, wytwarzając na nich odpowiednie spadki napięć, tak więc na oporniku R będzie spadek napięcia UR = IRR, na cewce UL = IRL, na kondensatorze UC = IRC, w którym: RL – oznacza opór indukcyjny, zwany również reaktancją indukcyjną RL, RL = ωL RC – opór pojemnościowy, zwany także reaktancją pojemnościową RC, ω – prędkość kątowa, którą nazywa się również częstotliwością kołową lub pulsacją prądu Zarówno RL jak i RC noszą nazwę oporów biernych w odróżnieniu od R, które nosi nazwę oporu czynnego. Między częstotliwością kołową ω i okresem drgań T prądu lub napięcia istnieje znany z jednostajnego ruchu obrotowego związek między prędkością kątową ω, drogą kątową 2π i czasem: Znany jest nam również związek między okresem drgań T i częstotliwością f: można wobec powyższego napisać również, że: ω = 2πf Rys. 224 Wykres wskazowy napięć i prądów na elementach R L C Na rysunku 224 uwidoczniono prąd płynący przez elementy R L C z rysunku 219 oraz napięcia na poszczególnych elementach z uwzględnieniem występujących tam przesunięć fazowych. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można napisać: Po podstawieniu odpowiednio za RL i RC mamy: uwzględniając, że ω = 2πf mamy: Kąt φ z rysunku 224 mówi o przesunięciu fazowym między prądem płynącym w obwodzie z rysunku 219 i przyłożonym do tego obwodu napięciem. Różnego rodzaju funkcje trygonometryczne, jak sinφ, cosφ i tgφ tego kąta, a również sam kąt można określić korzystając z rysunku 224 w sposób następujący: 14.1.1. Zależność rezystencji R i reaktancji RL oraz RC od częstotliwości f Zależność oporu czynnego R i biernych RL i RC od częstotliwości f przedstawia rysunek 225. Rys. 225 Zależności oporu czynnego R i biernego RL i RC od częstości f Dla częstotliwości f = fr (częstotliwości rezonansowej) i pamiętając, że ω = 2πf, możemy napisać: Z rysunku 225 widać, że opór czynny R nie zależy od częstotliwości, opór indukcyjny wzrasta wraz ze wzrostem częstotliwości, a opór pojemnościowy maleje wraz ze wzrostem częstotliwości. Zależności te wynikają ze wzorów: RL = ωL; ; Rys. 226 Krzywa rezonansowa Wzór na częstotliwość, f, znany jest pod nazwą wzoru Thomsona Kelvina. Rezonans między obwodem I i II z rysunku 226 zachodzi wówczas, gdy: f1 = f2 Z tego wynika, że jeśli L1C1 będzie równać się L2C2, to między obwodem I i II wystąpi rezonans. Z powyższego wynika, że w miarę zwiększania się pojemności C2 dochodzimy do rezonansu między obwodem I i II, a w przypadku jego osiągnięcia, żarówka w obwodzie II będzie się świecić najjaśniej; wówczas maksimum energii z obwodu I będzie przekazywane do obwodu II; jeśli pojemność C2 będziemy nadal zwiększać, to warunek: dla obwodu II nie będzie spełniony i prąd w tym obwodzie będzie się zmniejszał, tak jak na rysunku 226. gdzie: gdy C2 ↑ → RC ↓ 14.2 Zjawisko rezonansu elektrycznego Mówimy, że rezonans między dwoma układami zachodzi wówczas, gdy częstotliwości drgań własnych obu układów są jednakowe. Rozpatrzmy dwa obwody elektryczne przedstawione na rysunku 227. Rys. 227 Rezonans między dwoma układami f1 = f2 , stąd mamy: L1C1 = L2C2 to jest warunek rezonansu Zmieniając pojemność kondensatora C2 w obwodzie II na rysunku 227 od zera do maksymalnej jego wartości można zaobserwować, że przy małych wartościach pojemności kondensatora C2 żarówka znajdująca się w obwodzie II nie będzie się świeciła, ale w miarę zwiększania pojemności kondensatora stwierdza się coraz jaśniejsze jej świecenie. Po przekroczeniu pewnej wartości C2 takiej, że będziemy obserwować zmniejszanie się natężenia świecenia żarówki, aż przy odpowiednio dużej pojemności kondensatora C2 żarówka zgaśnie. Aby wyjaśnić to zjawisko sprecyzujmy nieco dokładniej pojęcie częstotliwości drgań własnych obwodu. W tym celu wróćmy do wzoru na zawadę Z. Jeśli występujące w tym wzorze opory indukcyjny i pojemnościowy będą sobie równe, to opór pozorny Z przyjmie wówczas wartość minimalną, równą jedynie oporowi czynnemu R. W tym przypadku jak wynika z prawa Ohma ( ) popłynie największy prąd. Częstotliwość drgań własnych danego obwodu otrzymuje się z porównania tych właśnie oporów ze sobą, a więc: stąd: otrzymaliśmy wzór Thomsona – Kelvina na częstotliwość drgań własnych układu z rys 227. 14.2.1. Dobroć ) obwodu rezonansowego Dobroć Q obwodu rezonansowego związana jest ściśle z selektywnością odbioru pożądanych sygnałów, którą dobrze tłumaczy krzywa rezonansowa z rys.226. Jak wynika ze wzoru na dobroć Q, tylko teoretycznie fizyczny obwód rezonansowy mógłby być układem nieskończenie dobrym, ponieważ każdy obwód rezonansowy posiada pewną oporność R nie równą zeru. Dobroć cewki i kondensatora określa się bowiem wzorem: gdzie: PYTANIA 1) Podać prawo Ohma dla prądu przemiennego i stałego. 2) Dlaczego prąd przemienny przez kondensator przepływa, a prąd stały nie przepływa? W uzasadnieniu podać odpowiednie wzory. 3) Jaką wartość ma oporność idealnej cewki dla prądu stałego? Odpowiedź uzasadnić wzorem. 4) Czym się charakteryzuje idealna cewka i idealny kondensator? 5) Co to jest faza? 6) Jakie jest przesunięcie fazowe między prądem i napięciem na: idealnym rezystorze, idealnej cewce i idealnym kondensatorze? 7) Co się pojawia wcześniej prąd czy napięcie na idealnej cewce? 8) Co jest wcześniej prąd czy napięcie na idealnym kondensatorze? 9) Na którym z kondensatorów (rzeczywistym czy idealnym) przesunięcie fazowe między prądem i napięciem jest większe? 10) Narysować po dwie sinusoidy, prądu i napięcia występujących na kondensatorze i na cewce przesunięte względem siebie, w jaki sposób można się zorientować czy występują one na cewce czy na kondensatorze? 11) Udowodnić matematycznie, że na idealnym kondensatorze napięcie opóźnione jest w stosunku do prądu o 90˚. 12) Narysować wykres wskazowy („wektorowy”) dla napięć i prądu płynącego przez obwód, w którym elementy R L C połączone są szeregowo. 13) Od czego zależy oporność indukcyjna, podać wzór? 14) Napisać i wyjaśnić wzór od czego zależy oporność pojemnościowa. 15) Z jakiego twierdzenia matematycznego korzysta się przy wyprowadzeniu wzoru na impedancję? 16) Podać wzór na impedancję połączonych szeregowo elementów R L C. 17) Podać wzór na cosinus kąta między prądem i napięciem w szeregowo połączonych elementach R L C. 18) Podać wzór na tangens kąta przesunięcia między prądem i napięciem w szeregowo połączonych elementach R L C. 19) Dla jakiej częstotliwości reaktancja indukcyjna i pojemnościowa są sobie równe? 20) Podać wzór i jego nazwę na częstotliwość, dla której reaktancja pojemnościowa równa jest reaktancji indukcyjnej. 21) Podać matematyczne uzasadnienie dla wzrostu reaktancji indukcyjnej i malenia pojemnościowej wraz ze wzrostem częstości. 22) Przedstawić graficznie zależność rezystancji i reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej od częstotliwości. 23) Wyprowadzić wzór na częstotliwość drgań własnych obwodu rezonansowego. 24) Narysować i uzasadnić kształt krzywej rezonansowej. 25) Dlaczego dla bardzo małych pojemności decyduje oporność pojemnościowa we wzorze na zawadę elementów połączonych szeregowo i obwód ma charakter pojemnościowy? 26) Dlaczego prąd w obwodzie składającym się z elementów R L C najpierw wzrasta, a następnie maleje przy zwięksaniu pojemności kondensatora? Przeprowadzić analizę wzoru na Z oraz na I. 27) Dlaczego jeśli w obwodzie jest mała pojemność, to obwód ma charakter pojemnościowy, a jeśli duża to indukcyjny? 28) W jaki sposób można doświadczalnie stwierdzić, przy zmianie jednego z dwóch elementów obwodu drgającego, że zbliża się on do częstotliwości drgań własnych obwodu drugiego, obwodu będącego z nim w rezonansie? 29) Jaki jest warunek pojawienia się rezonansu dwóch obwodów elektrycznych? 14.3 Zależność rezystancji przewodnika i półprzewodnika od temperatury Rezystancja przewodnika wzrasta wraz ze wzrostem temperatury zgodnie ze wzorem: Rt = R0(1 + αr ΔT) W którym: Rt – opór przewodnika w temperaturze T R0 – opór przewodnika w temperaturze T0 αr – termiczny współczynnik oporu zależny od rodzaju materiału, z którego został wykonany przewodnik ΔT – różnica temperatur T – T0 Rys. 228 Zależność rezystancji przewodnika od temperatury Przyczynę wzrostu rezystancj (oporności) materiałów, które są dobrymi przewodnikami elektryczności tłumaczy się następująco: wraz ze wzrostem temperatury zwiększa się szybkość drgań atomów znajdujących się w węzłach siatki krystalicznej danego przewodnika. Zjawisko to utrudnia przepływ elektronom swobodnym znajdującym się w przewodniku. Opór półprzewodnika, w odróżnieniu od oporu przewodnika, zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury zgodnie (w przybliżeniu) ze wzorem: RT = R0(1 – αr ΔT) gdzie: R0 – oporność półprzewodnika w temperaturze odniesienia np.: 0˚C αr – termiczny współczynnik rzystancji, ΔT – przyrost temperatury RT – oporność półprzewodnika, dokładniej określa się wzorem: gdzie: ΔE – szerokość przerwy energetycznej (tj. różnica energii między pasmem przewodnictwa i pasmem walencyjnym) k – stała Boltzmana e – podstawa logarytmów naturalnych (e = 2.7182818284590...) Rys. 229 zależność oporności półprzewodnika od temperatury Fakt zmniejszania się oporu półprzewodnika wraz ze wzrostem temperatury tłumaczy się zwiększonym uwalnianiem elektronów związanych z atomami. PYTANIA 1) Podać wzór określający zależność oporności opornika od temperatury. 2) Czym uzasadnić fakt, że oporność przewodnika wzrasta wraz ze wzrostem temperatury, a oporność półprzewodnika maleje? 14.4 Moc prądu przemiennego (wartość skuteczna prądu zmiennego) Wartość skuteczna prądu przemiennego: jest to taka wartość prądu stałego, która daje taki sam np.: efekt cieplny jak rozważany prąd zmienny rys. 230 moc chwilowa P = i2 R Rys. 230 Wartość skuteczna prądu Precyzyjną definicję wartość skutecznej prądu przemiennego można podać za pomocą wzoru:( P = Isk2R , W prądzie przemiennym wyróżniamy moce: Pc – moc czynna, Pb,- moc bierna Pz.- pozorna. Między tymi mocami istnieją następujące związki: moc pozorna: Pz = Isk Usk [VA] Moc pozorną mierzy się w woltoamperach. Z rysunku 231 widać: stąd Pb = Pz sinφ Rys. 231 Moce prądu zmiennego Moc użyteczna to moc czynna – wydziela się ona w oporniku lub „wykonuje” ją silnik. Moc bierna gromadzi się w polu elektrycznym kondensatora lub w polu magnetycznym cewki . Moc pozorna jest sumą geometryczną mocy czynnej i biernej. Pb = Isk Usk sinφ [VAr] Moc bierną mierzymy w warach, z rysunku 231 mamy: Należy dążyć do zwiększania kąta (a więc zwiększania cos φ tj. ograniczania mocy biernej Pb) stąd moc czynna wydziela się na oporniku i mierzy się ją w watach. Pcz = Pz cosφ = Isk Usk cosφ [W] Między mocą czynną, bierną i pozorną istnieje następujący związek: PYTANIA 1) Jakie są różnice między mocami prądu stałego i przemiennego? 2) Czym różni się pojęcie mocy prądu stałego i przemiennego? 3) Co to jest moc czynna, bierna i pozorna? 4) W jakich jednostkach mierzy się moc czynną, bierną i pozorną? 5) Co to jest wartość skuteczna prąduprzemiennego? 6) Jaki jest związek między mocami: czynną, bierną i pozorną? 7) W jaki sposób w zakładach przemysłowych reguluje się wartość cosφ? 8) Dlaczego w zakładach przemysłowych inżynier energetyk otrzymywał premię pieniężną za zwiększanie cosφ? 9) Dlaczego nie można zmienić wartości cosφ jeżeli w sieci płynie prąd stały? 14.5 Mierniki elektryczne (amperomierze, miliamperomierze i woltomierze) 14.5.1 Mierniki magnetoelektryczne Mierniki magnetoelektryczne działają na zasadzie silnika prądu stałego (rysunek 232). Rys. 232 Silnik prądu stałego, S1 i S2 – szczotki Rys. 232 a Miernik magnetoelektryczny 14.5.2 Mierniki elektromagnetyczne Mierniki elektromagnetyczne działają na zasadzie wciągania rdzenia z materiału ferromagnetycznego osadzonego na osi mimośrodowo. do wnętrza cewki C, (przez uzwojenie której płynie prąd mierzony W związku z tym osadzona na tej samej osi wskazówka przesuwa się po skali. 14.5.3 Mierniki elektrodynamiczne W miernikach tych wykorzystywane jest zjawisko przyciągania się przewodników, w których płynie prąd w tym samym kierunku. Na wspólnej osi osadzone są dwie cewki jedna duża nieruchoma i druga mała związana sztywno z osią, do której przyczepione są sprężynki zwracające oraz wskazówka. Z chwilą przepływu prądu przez cewki mała cewka obracająca się i jednocześnie wskazówka zaczyna przesuwać się po skali. Rys. 232 b Miernik elektromagnetyczny z wciąganym do wnętrza cewki rdzeniem Rys. 232 c Miernik elektrodynamiczny i jego zasada działania 14.5.4 Elektryczne mierniki cieplne Wykorzystane jest tu zjawisko wydłużania się drucika (d) rys 232d – pod wpływem wzrostu jego temperatury na skutek przepływającego przezeń prądu I. Schematycznie można przedstawić to następująco: gdy: I↑ → ↑Q → ↑ΔT → ↑Δl ponieważ: Q = I2 R t = m cw ΔT, oraz Δl = αl0 ΔT Rys. 232 d Elektryczny miernik cieplny i jego zasada działania Wydłużający się drucik (d), (na skutek wydzielania się w nim ciepła Q) pociągany jest sprężynką S, a to powoduje obrót walca w, na który nawinięta jest „nić” – pociągana przez sprężynkę S. 14.5.5 Amperomierz jako miliamperomierz z bocznikiem (Rb) Rys. 233 Zbocznikowany miliamperomierz w roli amperomierza Na rysunku 233 pokazano sposób w jaki z miliamperomierza buduje się amperomierz. Poszukujemy wartości oporności bocznika( Rb, który należy podłączyć równolegle do miliamperomierza o oporze Ra = 1 Ω, aby otrzymać amperomierz. Szukamy → Rb = ? Ib = I – Ia jeśli chcielibyśmy np.: aby I = 1000 mA, a Ia = 1 mA, to na podstawie II prawa Kirchoffa można napisać, że: Ia Ra = Ib Rb stąd: ponieważ: Ib = I – Ia to: po podstawieniu danych wartości do wzoru na Rb znajdujemy Ib = 1000 mA – 1 mA ≈ 1A 14.5.6 Woltomierz jako miliamperomierz z włączonym szeregowo opornikiem dodatkowym Rd Rys. 234 Miliamperomierz z oporem dodatkowym jako woltomierz Jeśli dysponujemy miliamperomierzem o danych: Is = 1 mA, Ra = 1 Ω, a chcielibyśmy otrzymać woltomierz mierzący napięcie , to wówczas: U = Ia R = Ia(Ra + Rd) stąd: po podstawieniu danych 14.5.7 Mostek Wheatstone’a do pomiaru oporności Aby wyznaczyć wartość mierzonej oporności Rx korzystamy z mosteka Wheatstone’a, (którego schemat przedstawiony na rys. 235) ustawiamy wartość opornika regulowanego R3, tak, aby prąd nie płynął przez galwanometr, tzn. by Ig =0. Zachodzić to będzie wówczas, gdy potencjał V1 = V2. Wynika z tego , że U1 = U3 oraz U2 = Ux. Możemy zatem ułożyć następującą proporcję: a na podstawie prawa Ohma mamy: stąd można obliczyć wartość opornika Rx znając wartości oporników R1, R2, R3 ze wzoru: Rys. 235 Mostek Wheatstone’a do pomiaru oporności 14.5.8 Potencjometr i jego zastosowanie Potencjometr (pokazany na rysunku 236 jako opornik Rp) jest to opornik ze suwakiem s, który można przesuwać wzdłuż tego opornika, zdejmując z niego część napięcia (I Rp). Napięcie to będzie wskazywał woltomierz V. Prąd płynie przez potencjometr zawsze taki sam niezależnie od położenia suwaka s. Rys. 236 Obwód z potencjometrem Jak widać ze schematu prąd I płynie przez oporniki: Ra, Rp, Rw z prawa Ohma dla całego obwodu mamy: Rc = Rw + Rp + Ra Im bardziej przesuwamy suwak s do góry, tym woltomierz V wskaże większe napięcie (I = const). Gdybyśmy woltomierz V zwarli przewodnikiem p, to wówczas przy przesuwaniu suwaka s do góry wskazanie amperomierza A rośnie, bo opór całkowity Rc maleje ze względu na równolegle podłączony przewód p o zerowej oporności, powoduje to zmniejszenie oporności części potencjometru do zera, a woltomierz zwarty przewodem p będzie wskazywał „0”. PYTANIA 1) Jakie są typy mierników elektrycznych? 2) Na jakiej zasadzie działa miernik magnetoelektryczny? 3) Na jakiej zasadzie działa miernik elektromagnetyczny? 4) Na jakiej zasadzie działa miernik elektrodynamiczny? 5) Na jakiej zasadzie działa miernik cieplny? 6) Jak zbudować amperomierz z miliamperomierza? 7) W jaki sposób z miliamperomierza zbudować woltomierz? 8) W jaki sposób za pomocą mostka do pomiaru oporności można mierzyć oporność? 9) Narysować mostek do pomiaru oporności i objaśnić jego działanie. 10) Jaką rolę spełnia galwanometr w mostku do pomiaru oporności? 15 TRANSFORMATOR Przy omawianiu przyrządów i urządzeń należy z reguły zawsze powiedzieć o ich: a) budowie b) zasadzie działania c) zastosowaniu 15.1 Schematyczny opis zasady działania transformatora Transformator składa się z z nawiniętych na rdzeń z materiału ferromagnetycznego co najmniej dwóch uzwojeń: uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Rdzeń transformatora składa się z cienkich odizolowanych płytek . Rys. 237 Schemat budowy i zasady działania transformatora Schematycznie zasadę działania transformatora można ująć w sposób : B = μH ~E1 → ~U1 → ~I1→ ~H1→ ~B→ ~Φ→ ~e2→ ~U2→ ~I2 U1 = E1 – i1 Rw Φ = B S U2 = e2 – I2Rw2 Rys.237 a. Schemat opisu działania transformatora Schemat ten należy odczytać w sposób następujący: zmienna siła elektromotoryczna źródła E1 wytwarza na uzwojeniu pierwotnym transformatora zmienne napięcie U1, ono z kolei powoduje powstanie zmiennego prądu I1 w uzwojeniu pierwotnym, a ten z kolei wytwarza zmienne pole magnetyczne H1, zmienne B, itd. Jak na rys. 237a pokazane na schemacie działania transformatora. Boczne wzory wskazują na sposób powiązania ze sobą wielkości z głównego ciągu powyższego schematu. StrumieńΦ2 skierowany jest przeciwnie do Φ1 (zgodnie z zasadą przekory strumień Φ2 wytworzony został przez strumień Φ1) Przewodność właściwa γ materiału rdzenia transformatora powinna być mała (ze względu na prądy wirowe) natomiast przenikalność magnetyczna materiału rdzenia μ (dla strumienia magnetycznego Φ) powinna być duża ze względu na zmniejszenie oporu magnetycznego rdzenia Rμ Uzwojenie pierwotne transformatora to takie, które podłączone jest do źródła, a wtórne to takie, które podłączone jest do odbiornika ). Kierunek prądu I2 w uzwojeniu wtórnym można wyznaczyć pamiętając, że strumień magnetyczny Φ2 ma być skierowany przeciwnie do strumienia Φ1 zgodnie z regułą przekory. 15.2 Prawo Ohma dla magnetyzmu Podobnie jak dla przepływu prądu elektrycznego , można również napisać prawo Ohma dla magnetyzmu, mamy wówczas: Rozpisując dokładniej za pomocą odpowiednich wzorów to prawo, po lewej i prawej stronie mamy: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Wzór ten ilustruje prawdziwość prawa Ohma dla magnetyzmu ponieważ: stąd widać, że mamy również, że: ) gdzie: Θ – siła magnetomotoryczna Θ = I z [A zwoje] – jest odpowiednikiem siły elektromotorycznej, albo napięcia (U) Φ – strumień magnetyczny – jest odpowiednikiem prądu (I) Rμ – oporność magnetyczna – jest odpowiednikiem oporu (R) Na rys. 238 pokazany jest kierunek powstającego strumienia magnetycznego ( w zależności od kierunku przepływającego w uzwojeniu prądu I. Strumień ten powstaje zgodnie z kierunkiem śruby prawoskrętnej (jeśli palce prawej ręki wkręcałyby za pomocą śrubokręta śrubę, to wyprostowany kciuk wskazywałby kierunek strumienia magnetycznego). Rys. 238 Rdzeń kołowy transformatora (bez szczeliny) 15.3 Równanie transformatora Przyjmując założenie, że nie ma strat mocy w rdzeniu transformatora, ani w jego uzwojeniu mamy: P1 = P2 Gdzie: P1 – moc w uzwojeniu pierwotnym P2 – moc w uzwojeniu wtórnym A zatem: I1 U1 = I2 U2 Stąd: gdzie: n – przekładnia transformatora z1, z2 – liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego transformatora Transformator służy do zamiany niskich napięć na wysokie i odwrotnie. Z chwilą gdy zbudowano transformator, zaistniała możliwość praktycznego przesyłania energii na duże odległości. Zaistniała bowiem wówczas możliwość obniżenia strat energii na ciepło Q w przewodach przesyłowych energię. Przy małym prądzie I ilość ciepła, która wytwarza się w przewodach przesyłowych energię będzie również mała. Q = I2 R t, E = U I t = const Ze wzorów tych wynika, że jeżeli napięcie U przy którym przesyłamy określoną energię E zwiększymy 1000 razy, to prąd I zmniejszy się też 1000 razy, natomiast straty energii w przewodach doprowadzających energię do odbiornika zmniejszą się milion razy ponieważ Q ~ I2. Dane dotyczące prądu występującego w sieci energetycznej są następujące: częstotliwość sieciowa wynosząca 50 Hz tj. 50 sinusoid w ciągu 1 s, wartość skuteczna napięcia wynosząca 220 V, maksymalna natomiast Umax = 308 V, napięcie średnie w sieci, co wydać się może ciekawe, wynosi Uśr = 0. 15.4 Pętla histerezy W pętli histerezy przedstawiony jest proces magnesowania i rozmagnesowywania rdzenia ferromagnetycznego rys 239. Zwiększając stopniowo natężenie prądu w nawiniętym na rdzeń, z materiału ferromagnetycznego, uzwojeniu zwiększamy. Zwiększamy równocześnie natężenie pola magnetycznego Wraz ze wzrostem H, to wzrasta indukcja magnetyczna B, początkowo w sposób liniowy rys. 239 a, a następnie na skutek zmniejszenia się przenikalności magnetycznej μ rdzenia indukcja B wzrasta znacznie wolniej. Stąd pojawi się górne zakrzywienie w pętli histerezy! Jeśli chcemy rozmagnesować rdzeń, na którym nawinięte jest uzwojenie, to zmieniamy kierunek przepływu prądu w tym uzwojeniu. Po zmianie kierunku prądu, natężenie pola magnetycznego H w miarę zwiększania natężenia prądu I, będzie się zmniejszać do zera i jednocześnie zmniejszać się będzie indukcja magnetyczna B, osiągając przy H = 0 pewną wartość zwaną pozostałością magnetyczną rys.239a. Dalsze zmniejszanie H powoduje zmniejszenie się indukcji magnetycznej B. Przy B=0, natężenie pola magnetycznego H nosi nazwę koercji magnetycznej. Proces ten doprowadził do przemagnesowania rdzenia biegun N stał się biegunem S i odwrotnie. Dalsze zwiększanie natężenia prądu w uzwojeniu prowadzi do analogicznego procesu, ale już przy zmianie biegunoeości rdzenia. O sile udźwigu magnesu decyduje wartość pozostałości magnetycznej, a o trwałości magnesu wartość koercji. Siłę udźwigu elektromagnesu można obliczyć ze wzoru: gdzie: S – pole powierzchni przekroju elektromagnesu Im większe pole powierzchni pętli histerezy tym większe straty energii w rdzeniu. Fakt ten można wykazać na podstawie analizy jednostek energii w rdzeniu. Materiały o dużej pętli histerezy są „magnetycznie twardymi”, a o małej pętli histerezy – miękkie. Rys. 239 Przemagnesowanie rdzenia Rys. 239 a Pętla histerezy rdzenia „materiału twardego”. Punkt Curie 758° tj. taki w którym ferromagnetyk staje się paramagnetykiem Iloczyn B H, czyli pole powierzchni pętli histerezy ma wymiar: Materiałów miękkich używa się na rdzenie transformatorów, przekaźników i innych urządzeń, które wymagają częstego przemagnesowywania rdzenia. Na magnesy trwałe używa się materiałów o dużej pętli histerezy. W pamięciach starszych generacji komputerów wykorzystywane były rdzenie o prostokątnej pętli histerezy, które mogły znajdować się w stanie „1” lub „0”. Ferrytowy rdzeń przez, który przechodziły trzy przewody miał średnicę rzędu 1 mm, a kilkadziesiąt takich rdzeni tworzyło jeden „rządek” swego rodzaju tkaniny stanowiącej płat pamięci w komputerze. Rys. 240 Prostokątna pętla histerezy wykorzystywana w pamięciach komputerowych Rys. 240 a „Zapis” poszczególnych cyfr „0”, „1” w ferrytowych rdzeniach pamięci komputera PYTANIA 1) Narysować transformator z zaznaczeniem kierunków przepływających prądów i strumieni magnetycznych. 2) Z jakiego materiału powinien być zbudowany rdzeń transformatora? 3) Dlaczego rdzenie transformatorów buduje się z materiałów o małej przewodności elektrycznej i dużej przenikalności magnetycznej? 4) Dlaczego rdzeni transformatorów nie buduje się z jednolitych materiałów, lecz z cienkich odizolowanych od siebie blaszek lub rdzeni sproszkowanych połączonych lepiszczem? 5) Czym się charakteryzują uzwojenia pierwotne i wtórne transformatora? 6) Czy uzwojenie wtórne może być uzwojeniem pierwotnym i odwrotnie? 7) Jaką pętlę histerezy powinny posiadać materiały wykorzystywane do budowy rdzeni transformatorowych? Odpowiedź uzasadnić. 8) Jaką wielkość mierzy się w amperozwojach? 9) Od czego zależy wielkość napięcia na uzwojeniu pierwotnym transformatora, jeżeli uzwojenie to podłączone jest do prądnicy o sile elektromotorycznej E1. 10) Od czego i w jaki sposób zależy prąd I1 płynący w uzwojeniu pierwotnym transformatora? Podać wzór. 11) Wyprowadzić wzór wiążący indukcję pola magnetycznego występującego w rdzeniu transformatorowym z prądem płynącym w uzwojeniu pierwotnym 12) Od czego i w jaki sposób zależy natężenie pola magnetycznego w rdzeniu transformatora? Podać wzór. 13) Skąd bierze się strumień magnetyczny w rdzeniu i jaka jest jego wartość w czasie? 14) Jak szybko zmienia się strumień magnetyczny w rdzeniu transformatora podłączonego do sieci miejskiej w Warszawie? 15) Skąd się bierze napięcie w uzwojeniu wtórnym transformatora? 16) Jaki jest związek między siłą elektromotoryczną indukowaną w uzwojeniu wtórnym transformatora a napięciem panującym na jego zaciskach? 17) Jaki jest zwrot strumienia magnetycznego pochodzącego od natężenia prądu płynącego w uzwojeniu wtórnym w stosunku do strumienia pochodzącego od prądu płynącego w uzwojeniu pierwotnym? Odpowiedź uzasadnić przez podanie odpowiedniej reguły. 18) Napisać i objaśnić równanie transformatora. 19) Przy jakich założeniach wyprowadza się równanie transformatora? 20) Co to jest przekładnia transformatora i jak można ją obliczyć? 21) Dlaczego przy przesyłaniu energii na duże odległości używa się transformatorów? 22) W jakim celu buduje się sieci wysokiego napięcia do przesyłania energii na duże odległości? 23) Dlaczego na przewody do przesyłania prądu używa się miedzi lub aluminium? 24) Co to jest pozostałość magnetyczna? Podać jednostki. 25) Co to jest koercja i w jakich jednostkach się ją mierzy? 26) Wykazać, że straty energii potrzebnej na przemagnesowanie danego materiału zależą od pola powierzchni pętli histerezy. 27) Udowodnić, że pole powierzchni pętli histerezy mierzy się w [J/m3]. 28) W jaki sposób usuwa się pozostałość magnetyczną rdzenia? 29) Jak przemagnesować rdzeń elektromagnesu? 30) Gdzie stosuje się materiały magnetyczne miękkie, a gdzie twarde i czym się one charakteryzują? 16 WŁASNOŚCI MAGNETYCZNE MATERII Pod względem właściwości magnetycznych wyróżnia się ciała: frrro, para i diamagnetyczne. Każde z nich charakteryzuje się określonym momentem magnetycznym Mm i względną przenikalnością magnetyczną μr. Ciała ferromagnetyczne (Fe, Co, Ni) Mm > 0 μr >> 1 np.:10 000 Ciała paramagnetyczne (Al., powietrze, O2, N, sole Ni, Fe, Co) Mm > 0 μr > 1 Ciała diamagnetyczne (Cu, Zn, H2O, szkło, metale szlachetne Hg, Si) Mm = 0 μr < 1 Ciała te różnie zachowują się w polu magnetycznym. Ciało ferro lub para magnetyczne ustawia się równolegle do linii pola magnetycznego a diamagnetyczne prostopadle. 16.1. Doświadczenie Foucaulta -prądy wirowe Po włączeniu prądu, do obwodu jak na rysunku 241, Foucault zauważył, że płytka miedziana zawieszona na nici i wprawiona w ruch wahadłowy zatrzymywała się między biegunami elektromagnesu. Zjawisko to tłumaczył prądami wirowymi, które (zgodnie z zasadą przekory) płyną zawsze w takim kierunku, aby pole magnetyczne pochodzące od nich przeciwdziałało zmianom strumienia Φ przechodzącego przez płytkę w czasie jej ruchu. Miedź jest ciałem diamagnetycznym μrCu < 1 Rys. 241 a Wahadło Foucaulta w polu magnetycznym Rys. 241 b Kierunek prądów wirowych w płytce przy wchodzeniu jej w pole ↑Φ (przy wychodzeniu z pola strumień Φ↓ - prądy wirowe zmieniają wówczas swój kierunek na przeciwny) Rys. 241 c Obraz linii sił pola magnetycznego oraz ustawienie diamagnetyka w polu magnetycznym Ciała o parzystej liczbie elektronów mają najczęściej moment magnetyczny Mm = 0. Własności magnetyczne materii uwarunkowane są nie tylko spinem elektronu, ale i siatką krystaliczną materiału. Spin elektronu jest równy połowie momentu pędu elektronu, mvr, krążącego po dozwolonych i ściśle określonych orbitach zgodnie z postulatem Bohra Moment pędu elektronu równy jest całkowitej wielokrotności – n, stałej Plancka - h podzielonej przez 2π r – promień orbity po której krąży elektron. Rys. 242 Spiny elektronów Ciała ferromagnetyczne charakteryzują się również tym, że posiadają niecałkowicie zapełnione elektronami wewnętrzne orbity. Fakt., że stopy Heuslera są ciałami ferromagnetycznymi, chociaż w ich skład wchodzą tylko pierwiastki ciał para i diamagnetycznych, takich jak: Cu, Mn, Al. oznacza, że własności magnetyczne materiałów zależą nie tylko od ich składu atomowego, ale również od budowy sieci krystalicznej. PYTANIA 1) Czym się różnią między sobą materiały ferro, para i diamagnetyczne? 2) Ile wynosi moment magnetyczny materiałów diamagnetycznych i dlaczego? 3) W jakich przypadkach moment magnetyczny materiałów para, ferro i diamagnetycznych jest większy od zera i dlaczego? 4) Czym poza momentem magnetycznym i przenikalnością magnetyczną różnią się materiały ferromagnetyczne od para i diamagnetycznych? 5) Opisać doświadczenie Foucaulta dotyczące odkrycia prądów wirowych. 6) W jaki sposób określa się kierunek prądów wirowych? 7) W jaki sposób ustawia się pręt miedziany w polu magnetycznym? 8) Z jakiego materiału wykonane zostało wahadło zastosowane w doświadczeniu Foucaulta? 9) Co to są stopy Heuselera? Czym się one charakteryzują? 10) Od czego zależą własności magnetyczne materiału? 11) Co to jest spin elektronu? 12) Z czym związany jest spin elektronu? 17 ZASTOSOWANIA W PRAKTYCE NIEKTÓRYCH ZJAWISK I PRAW FIZYCZNYCH W URZĄDZENIACH ELEKTROTECHNICZNYCH Obecnie trudno sobie wyobrazić życie człowieka bez różnego rodzaju urządzeń elektrycznych, w których wykorzystano poznane dopiero w XIX i XX wieku zjawiska i prawa fizyczne. Takimi epokowymi odkryciami były zjawiska indukcji elektromagnetycznej i prawa z nimi związane, wykorzystane np. w transformatorach, silnikach i innych urządzeniach elektrycznych. Dla przykładu, zostaną tu bardziej szczegółowo omówione induktor, wykorzystywany w technice, i diatermia ultrakrótkofalowa stosowana w medycynie. 17.1 Induktor – cewka (Ruhmkorffa) Induktor zbudowany jest z: ferromagnetycznego rdzenia, dwóch uzwojeń nawiniętych na rdzeń, młoteczka – m, śrubki – ś, i kondensatora – C. Uzwojenie pierwotne posiada małą liczbę zwojów, natomiast uzwojenie wtórne dużą liczbę zwojów. Induktor służy do zamiany prądu stałego o małym napięciu (np.: 6 V) na prąd zmienny o bardzo dużym napięciu np.: rzędu 20 000 V. Znalazł on między innymi zastosowanie przy wytwarzaniu iskry do zapłonu w silnikach samochodowych. Działanie jego polega na tym, że młoteczek m osadzony na płaskiej sprężynce Sp jest w ciągłym ruchu. Przyciągany jest przez rdzeń, który na skutek przepływającego prądu przez uzwojenie pierwotne (nawinięte na nim) staje się elektromagnesem, powoduje to zanik prądu I - jak na rysunku 244. Następnie sprężynka Sp odcąga młoteczek od rdzenia i zamyka obwód prądu (w obwodzie pierwotnym induktora) stykając się ze śrubką ś. Wówczas młoteczek przyciągany jest ponownie przez rdzeń, taka sytuacja ciągle się powtarza. Zmieniający się prąd w uzwojeniu pierwotnym induktora powoduje powstanie siły elektromotorycznej indukcji w obwodzie wtórnym induktora jak na rys.244 Kondensator C służy do gaszenia iskry, która powodowałaby utlenianie styków. Tlenek metalu, jak wiadomo, jest dobrym izolatorem i powodowałby przerwę w przepływie prądu. Kondensator zachowuje się w ten sposób, że gdy młoteczek m przyciągnięty jest przez rdzeń, to wówczas iskra nie przeskakuje między płaską sprężynką, na której osadzony jest młoteczek, lecz iskra ta ładuje” kondensator. Po powrocie sprężynki sp w pierwotne położenie zwierany przez sprężynkę kondensator rozładowuje się. Poruszenie się młoteczka powoduje przerywanie prądu w obwodzie i powstawanie siły elektromotorycznej, SEM, samoindukcji e. Dzwonek elektryczny oparty jest na tej samej zasadzie co induktor, nie ma on jednak uzwojenia wtórnego , ma natomiast kopułkę metalową k w którą uderza młoteczek ( m – młoteczek, sp – sprężynka, ś – śrubka) po włączeniu prądu wyłącznikiem w i dzwoni do chwili zwolnienia przycisku w. Rys. 243 Induktor jako przetwornik i transformator Rys. 244 Zmiany prądu i siły elektromotorycznej indukcji. 17.2 Diatermia ultrakrótkofalowa Nagrzewanie prądami wielkiej częstotliwości np. ciała ludzkiego oparte jest na wykorzystaniu strat dielektrycznych powstałych przy przepływie prądów wielkiej częstotliwości przez nie. Pacjenta umieszcza się między elektrodami przyłożonymi bezpośrednio do ciała lub ustawionymi w pewnej odległości (w obwodzie wielkiej częstotliwości). Diatermia jest to urządzenie do wytwarzania prądów wielkiej częstotliwości dla celów medycznych. Przetwarza ono energię elektryczną sieci przemysłowej na energię elektryczną wielkiej częstotliwości i doprowadza ją do obwodu pacjenta. Pole elektromagnetyczne wielkiej częstotliwości wytworzone przez diatermię jest bezpośrednią przyczyną powstania siły elektromotorycznej w ciele pacjenta i przepływu prądów przez tkankę. Zależnie od kształtu użytych elektrod, odległości ich od pacjenta oraz od wymaganej do leczenia dawki energii doprowadzona moc musi być regulowana. Aparaty diatermiczne można podzielić według wytwarzanych długości fal na: 1) diatermie chirurgiczne, pracujące na częstotliwości 1750 lub 3000 kHz 2) diatermie terapeutyczne krótkofalowe, pracujące w pasmach 13.56 MHz – 0.5 %, 27.12 Mhz – 0.6 % i 42 MHz – 0.6 % Prądy wysokiej częstotliwości znalazły zastosowanie w medycynie ponieważ pozwalają w prosty sposób uzyskać przegrzewanie poszczególnych tkanek jak i całego ciała pacjenta. Wytworzone ciepło powoduje wzrost temperatury ciała, rozszerzenie naczyń krwionośnych (przekrwienie), a w związku z tym szybsze wchłanianie obrzęków zapalnych, produktów rozpadu białka itp. Poza tym ciepło to umożliwia niszczenie niektórych termolabilnych bakterii. W chirurgii za pomocą prądów wysokiej częstotliwości można wykonywać zabiegi takie jak: elektrotomię , koagulację , dehydratację i inne. Przy diatermii ultrakrótkofalowej mamy do czynienia z polem elektrycznym o częstotliwości rzędu 40 – 50 MHz. W tym przypadku pole elektryczne działając na tkanki zawierające roztwory elektrolitów, powoduje powstanie w nich prądu przewodzenia, a działając na tkanki będące dielektrykami wywołuje, pod wpływem zmiennego natężenia pola elektrycznego, (tzw. prądy przesunięcia) zmiany ich polaryzacji. Prąd przewodzenia wywołuje efekt cieplny w elektrolitach. Ilość ciepła q wytwarzana w jednostce objętości na jednostkę czasu jest wprost proporcjonalna do przewodnictwa właściwego ( i kwadratu natężenia pola elektrycznego E. q = k γ E2 W dielektrykach znajdujących się w zmiennym polu elektrycznym występują straty energii pola elektrycznego, które zamieniają się na ciepło (straty dielektryczne). Ilość ciepła, wytwarzana na skutek strat dielektrycznych w jednostce objętości na jednostkę czasu, q wyraża się wzorem: q = k ε ( E2 tgδ w którym: ( – częstotliwość ε – stała elektryczna E – natężenie pola elektrycznego δ – kąt przesunięcia fazowego między prądem całkowitym i składową pojemnościową k – współczynnik związany z kształtem i rozmieszczeniem elektrod W tkankach będących najczęściej dielektrykami niedoskonałymi, możliwa jest „produkcja” ciepła zarówno na skutek strat dielektrycznych, jak i przez prąd przewodzenia. Do wytwarzania drgań elektrycznych wysokiej częstotliwości najczęściej stosowane są obecnie jeszcze generatory lampowe Hartleya lub Colpittsa. Na rysunku 245 przedstawiono uproszczony schemat generatora lampowego dużej mocy, używanego w terapii prądami wysokiej częstotliwości. Składa się on z triody, transformatora, cewek, wskaźników itp. Zasilany jest z sieci prądu przemiennego za pomocą transformatora. Częstotliwość generatora wynosi 50 MHz, co odpowiada fali elektromagnetycznej o długości 6 m. Przy takich częstotliwościach pojemność kondensatora obwodu drgającego maleje do rzędu kilkunastu pF, a indukcyjności do kilku μH. Stąd duże zmiany w układzie elektrycznym polegające na konieczności wykorzystania pojemności międzyelektrodowych lamp, jako pojemności czynnej w obwodach drgających. Obwód ten składa się z cewki L1 i pojemności międzyelektrodowych. Prądy o tak dużej częstotliwości mają duże zdolności do promieniowania, co powoduje, że nawet przy niewielkich pojemnościach pasożytniczych cała generowana moc w diatermii może przechodzić do sieci. Przeciwdziałają temu dławiki D1, D2, D3 włączone w szereg ze wszystkimi przewodami zasilającymi, tj. przewodami wysokiego napięcia (anodowego) i przewodami żarzenia Prąd wysokiej częstotliwości wyprowadzony jest na zewnątrz aparatu za pomocą obwodu rezonansowego złożonego z dwóch równolegle połączonych kondensatorów C2, Cp oraz cewki L2. Zmienny kondensator Cp dostraja obwód roboczy. Obwód ten wykorzystany jest do pomiaru mocy aparatu. Wskaźnikiem dostrojenia aparatu jest włączony w obwód anodowy lampy miliamperomierz . Rys. 245 Schemat ideowy diatermii krótkofalowej 17.3 Nagrzewanie wybiórcze Nagrzewanie wybiórcze polega na tym, że przy odpowiednio dobranej częstotliwości generatora można niektóre tkanki i narządy nagrzewać bardziej od innych. Zależy to przede wszystkim od wartości tgδ i ε poszczególnych tkanek. Tangens delta tgδ i ε są nieliniowymi funkcjami częstotliwości. Dobierając odpowiednio częstotliwość generatorowych drgań można ogrzewać niektóre okolice ciała lub tkanki bardziej a inne mniej, w zależności od wskazań terapeutycznych. Na rysunku 246a pokazane są zależności tgδ i ε od częstotliwości, a na rysunku 246b pokazany jest kąt przesunięcia między składową prądu pojemnościowego i prądem całkowitym płynącym przez kondensator. Rys. 246 Czynniki mające wpływ na moc wydzielaną w dielektryku Jeżeli kondensator rzeczywisty zastąpimy kondensatorem idealnym i równolegle do niego podłączonym idealnym rezystorem (rys. 246b), to wzór na moc wydzielaną w jednostce objętości – „stratnego” dielektryka (jakim jest tkanka organizmu żywego) będzie identyczny ze wzorem na moc jednostkową wydzieloną w elektrolicie płynów ustrojowych. Z rysunku 246 b widać bowiem, że: stąd γ = 2 π ν ε tgδ po wstawieniu za γ do wzoru na moc jednostkową w elektrolicie (q = k γ E2) otrzymujemy wzór na moc jednostkową wydzielaną w dielektryku: q = k ν ε E2 tgδ PYTANIA 1) Jak zbudowany jest induktor? 2) Jaka jest zasada działania induktora? 3) Dlaczego młoteczek w induktorze nie ma stałego położenia? 4) Przedstawić na rysunku zmiany prądu i siły elektromotorycznej indukcji w uzwojeniu pierwotnym. 5) Czym dzwonek elektryczny różni się od induktora? 6) Do czego służy kondensator w induktorze? 7) Wyjaśnić w jaki sposób kondensator w induktorze gasi iskrę. 8) W jakim celu gaszona jest w induktorze iskra? 9) Dlaczego induktor bez kondensatora przestanie po pewnym czasie działać? 10) Czy induktor można nazwać przetwornikiem i co on przetwarza? 11) W jaki sposób reguluje się głośność dźwięku w dzwonku elektrycznym? 12) Opisać budowę i zasadę działania diatermii krótkofalowej. 18 ELEKTROAUKUSTYKA Mikrofony są przetwornikami energii zawartej w fali dźwiękowej w energię prądu elektrycznego. Mikrofony dzielimy na węglowe, piezoelektryczne, pojemnościowe i elektrodynamiczne. 18.1 Mikrofony węglowe Mikrofony węglowe są stosowane w aparatach telefonicznych. Zbudowane są one z miseczki, w której znajduje się proszek węglowy. Gdy fala dźwiękowa wywiera nacisk na membranę (m) wówczas ziarenka proszku węglowego ściślej do siebie przylegają zwiększając powierzchnię (S) styku między sobą. Powoduje to zmniejszenie oporności mikrofonu Rm = , a ponieważ natężenie prądu wzrasta i odwrotnie gdy ciśnienie się zmniejsza, to Rm wzrasta a natężenie prądu maleje. → (↓l i ↑S) →↓Rm →↑ I gdy Δp → (↑l i ↓S) →↑Rm →↓ I Rys. 247 Zasada działania mikrofonu węglowego Z symbolicznego opisu zasady działania mikrofonu węglowego widać, że w takt zmiany ciśnienia wywołanego dźwiękami mowy docierającymi do membrany m mikrofonu zmienia się w obwodzie natężenie prądu I. Jeśli w obwód mikrofonu włączymy uzwojenie pierwotne transformatora Tr, to w obwodzie wtórnym tego transformatora, połączonym z uzwojeniem słuchawek naszego rozmówcy sł wzbudzany będzie prąd wywołany pośrednio dźwiękami mowy skierowanej do mikrofonu znajdującego się w obwodzie prądu stałego. Obwód wtórny transformatora zasila uzwojenie słuchawek telefonicznych, których uzwojenia nawinięte są na rdzeń ferromagnetyczny. W rdzeniu tym będą pojawiać się na przemian bieguny N i S wprawiając w ruch membranę m słuchawki. Poruszająca się membrana słuchawki uderza w powietrze wywołując jego zgęszczenia i rozrzedzenia, co jest odbierane przez słuchacza w postaci dźwięku słów wypowiedzianych do mikrofonu. 18.2 Mikrofony piezoelektryczne Działanie mikrofonów piezoelektrycznych opiera się na zjawisku piezoelektrycznym, polegającym na tym, że jeśli płytkę z kwarcu, soli Segnetta lub trumalinu będziemy wyginać lub naciskać, to pojawią się na jej powierzchni ładunki elektryczne. Fala dźwiękowa powoduje wyginanie płytki na przemian, to w jedną, to w drugą stronę i wytworzone w ten sposób ładunki powodują przepływ prądu w uzwojeniu pierwotnym transformatora, podobnie jak w mikrofonie węglowym. Rys. 248 Mikrofon piezoelektryczny 18.3 Mikrofony pojemnościowe Zasada działania mikrofonów pojemnościowych polega na tym, że na jedną, bardziej elastyczną, okładkę kondensatora działa fala dźwiękowa pochodząca od wypowiedzianych słów i powoduje ona zmianę położenia tej okładki względem drugiej (sztywnej i nieruchomej) Rys. 249 Mikrofon pojemnościowy i jego zasada działania ponieważ: oraz →↓ l →↑ C→↑Q wobec tego gdy Δp →↑ l →↓C→↓Q Widać z tego, że w takt zmiany ciśnienia uzyskuje się zmianę wielkości ładunku elektrycznego znajdującego się na kondensatorze. Zmiana ładunku elektrycznego kondensatora w czasie powoduje zmianę natężenia prądu płynącego przez uzwojenie pierwotne transformatora, które podłączone jest do kondensatora. Następne zjawiska zachodzą tak jak poprzednio opisane. 18.4 Mikrofony elektrodynamiczne Mikrofony elektro dynamiczne mogą spełniać również rolę głośników. Mikrofony elektrodynamiczne działają na zasadzie podobnej do działania prądnicy. Uzwojenia ceweczki umieszczone na „papierowym lejku” między biegunami magnesu wprawiane są w ruch falą głosową. Na skutek tego indukuje się w uzwojeniach poruszanej ceweczki siła elektromotoryczna indukcji. Odwrotnie jeśli przez uzwojenie ceweczki umieszczonej na lejku między magnesami przepuścimy prąd, wówczas ceweczka będzie wprawiona w ruch (zgodnie z zasadą działania silnika elektrycznego) tzn. jeśli przewodnik z prądem umieścimy w polu magnetycznym, to będzie działać na niego siła: F = B I l. Rys. 250 Mikrofon elektrodynamiczny PYTANIA 1) Czy mikrofony można nazwać przetwornikami energii i dlaczego? 2) Jakiego rodzaju mogą być mikrofony? 3) Jak jest zbudowany i jak działa mikrofon węglowy? 4) Czy do działania mikrofonu węglowego potrzebne jest źródło prądu przemiennego czy stałego? 5) Jak zbudowane są słuchawki telefoniczne? 6) Opisz budowę i zasadę działania mikrofonu piezoelektrycznego. 7) W jaki sposób w mikrofonach pojemnościowych następuje zmiana energii akustycznej w elektryczną? 8) Opisać budowę i zasadę działania mikrofonu elektrodynamicznego. 9) Jakie jest podobieństwo między mikrofonem elektrodynamicznym i prądnicą? 10) Czy mikrofon elektrodynamiczny może być wykorzystany jako głośnik i w jaki sposób? 19 PRĄD ELEKTRYCZNY W GAZACH W rurce szklanej znajduje się gaz np.: powietrze oraz dwie elektrody. W miarę zwiększania napięcia U przez rurkę popłynie prąd elektryczny I (jaki przedstawiono na rysunku 252). W miarę zwiększania napięcia początkowo prąd narasta, a później przestaje narastać osiągając wielkość prądu nasycenia Inas. Rys. 251 Aparatura do zdejmowania charakterystyki napięciowo – prądowej w gazach Rys. 252 Charakterystyka napięciowo-prądowa wyładowania elektrycznego w gazach Energia kinetyczna jaką uzyskują elektrony w rurze z gazem zależy od napięcia przykładanego między anodą i katodą oraz wielkości ładunku elektronu. stąd prędkość elektronu: Ze wzoru tego widać, że wraz ze wzrostem napięcia U wzrasta prędkość elektronów i ich energia kinetyczna. Przy napięciu U = U2 energia kinetyczna elektronów jest już tak duża, że jonizują one atomy obojętnego gazu. Na skutek jonizacji gazu w rurce przybywają nowe ładunki i w związku z tym wzrasta prąd I. Jeżeli zwiększać będziemy w dalszym ciągu napięcie przyłożone do rury z gazem, to prąd znów dość gwałtownie wzrasta. Jak wynika ze wzoru wraz ze wzrostem napięcia wzrasta, prędkość elektronów i w momencie gdy elektrony rozpędzone polem elektrycznym uzyskały dostateczną energię do jonizacji obojętnego gazu znajdującego się na drodze przelatujących elektronów, wówczas obserwuje się gwałtowny przyrost prądu, powstaje wyładowanie lawinowe tzw. prąd lawinowy 19.1 Wyładowania w gazach rozrzedzonych Jeśli do rurki podłączymy pompę ssącą powodującą zmniejszanie w niej ciśnienia, to zaobserwujemy następujące zjawisko: przy ciśnieniu 53 hPa pojawia się w rurce wąska świecąca wstęga przebiegająca od katody (K) do anody (A). Przy obniżaniu się ciśnienia będziemy kolejno obserwować w rurce rozmycie się owej świecącej wstęgi i pojawienie się w pobliżu katody ciemni Faradaya. Jednocześnie w pobliżu anody ujrzymy jasne i ciemne prążki, a następnie drugą ciemnię w pobliżu katody, zwaną ciemnią Crooksa. Przy dalszym zmniejszaniu ciśnienia do 2.7 Pa ciemnia ta wypełnia całą rurkę, w pobliżu anody obserwujemy świecenie szklanej rurki, w zależności od domieszek zawartych w szkle – kolorem zielonkawym lub żółtym. Zjawiska wyładowań w gazach rozrzedzonych wykorzystuje się w świetlówkach. Promienie katodowe są to elektrony wychodzące z katody. Promienie kanalikowe są to jony dodatnie, które dążą do katody (ujemnej) przechodząc przez kanaliki znajdujące się w katodzie i uderzające we fluoryzujący ekran umieszczony za katodą. Na ekranie pojawiać się będą jasne punkty, wywołane uderzaniem w niego przechodzących przez kanaliki jonów dodatnich. PYTANIA 1) Narysować charakterystykę napięciowo – prądową wyładowania elektrycznego w gazach. 2) Skąd się biorą jony w rurce z gazem nie podłączonej do źródła prądu? 3) Dlaczego po osiągnięciu pełnego natężenia prądu w rurce z gazem mimo zwiększania napięcia prąd nie wzrasta? 4) Jaki jest mechanizm powstania prądu lawinowego (gwałtownego wzrostu natężenia) przy odpowiednio dużym napięciu między elektrodami znajdującymi się w rurce z gazem przy obniżonym ciśnieniu? 5) Od czego zależy prędkość jonów w rurce z gazem, jeżeli do elektrod znajdujących się w rurce przyłożymy napięcie? 6) Jakie zjawiska powstają w rurce z gazem znajdującym się pod napięciem jeżeli będziemy w niej obniżać ciśnienie? 7) Kiedy powstaje ciemnia Crooksa, a kiedy ciemnia Faradaya? 20 DRGANIA ELEKTROMAGNETYCZNE Rozważmy prosty obwód składający się z naładowanego kondensatora C i połączonej z nim cewki L. W obwodzie takim powstają drgania gasnące. W pierwszej chwili naładowany kondensator C rozładowuje się przez cewkę L. Prąd powoli narasta, tak jak w obwodzie z indukcyjnością, a następnie maleje, ale podtrzymywany jest energią zgromadzoną w polu magnetycznym cewki. Rozbudowane pole magnetyczne cewki znika indukując w cewce siłę elektromotoryczną indukcji „e”, która podtrzymuje prąd płynący w obwodzie powoduje naładowanie kondensatora i zmianę jego biegunowości. Następnie proces powtarza się od nowa. Rys. 253 Analogia między drganiami tłumionymi w obwodzie elektrycznym i poruszonym wahadle Energia kinetyczna wahadła wprawionego w ruch zamienia się na jego energię potencjalną, a ta zamienia się na ciepło - na skutek tarcia wahadła o ośrodek w którym się porusza. Analogicznie energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki zamienia się na energię gromadzoną w polu elektrycznym kondensatora i odwrotnie, aż w końcu zamieni się na ciepło Q wydzielane w przewodach. Ek → Ep → Ek → Q ← na skutek tarcia ciepło wydzielone w przewodach łączących cewkę z kondensatorem i w samej cewce, która ma również pewną oporność R Co w takim obwodzie drga? „Drganiom” w obwodzie odpowiadają ruchy elektronów, które przepływają z kondensatora do cewki i z powrotem. Zwróćmy jednocześnie uwagę na analogie mechaniczno – elektryczne z rozdziału 11.9, gdzie energia kinetyczna odpowiada energii zgromadzonej w polu magnetycznym cewki, a energia potencjalna energii zgromadzonej w polu elektrycznym kondensatora. E → H → E Ciepłu Q = i2 R t odpowiada ciepło powstające na skutek tarcia wahadła o i w punkcie jego zawieszenia. PYTANIA 1) Narysować odpowiedni obwód elektryczny i napisać kiedy i jak powstają drgania gasnące, a kiedy niegasnące. 2) Opisać doświadczenie, w którym można stwierdzić, że zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne. 3) W jaki sposób można stwierdzić, że zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole magnetyczne? 4) W jaki sposób można uzyskać drgania niegasnące? 21 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE (RADIO, TELEWIZJA, RADAR) Przesuwając magnes w pobliżu zwojów cewki w ten sposób aby jej zwoje przecinane były przez linie sił pola magnetycznego, przesuwanego magnesu. W ten sposób wytwarzana jest w cewce siła elektromotoryczna indukcji, a zatem również i napięcie. Napięcie wiąże się z natężeniem pola elektrycznego wzorem: Rys. 254 Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne w czasie pole elektryczne Zmieniające się pole magnetyczne w przestrzeni wytwarza, zatem, zmienne pole elektryczne w czasie, a to z kolei zmienne pole magnetyczne itd. Fakt ten można stwierdzić doświadczalnie umieszczając igłę magnetyczną między okładkami kondensatora rys.255, do którego dołączamy źródło prądu zmiennego. Igła ta będzie wychylać w takt zmian pola elektrycznego w kondensatorze. Stąd wyciągamy wniosek, że zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole magnetyczne. Teoretyczne uzasadnienie tych zjawisk podał Maxwell w swych równaniach, z których wynika, że zmienne w czasie „t” pole elektryczne „E” wywołuje zmienne pole magnetyczne „H” w przestrzeni „x”. 21.1 Równania Maxwella I równanie Maxwella: ; D = ε E Sprawdzenie poprawności równania można dokonać – „na jednostkach” analizując jednostki poszczególnych wielkości: II równanie Maxwella: B = μ H odpowiednie jednostki będą tu: Różniczkując pierwsze równanie po czasie i mnożąc je przez μ0 μr mamy: (1) różniczkując drugie równanie po x otrzymujemy: porównując prawe strony tych równań i pamiętając, że: μoμr =μ oraz εo εr = ε mamy: ponieważ: Na podstawie tych równań Maxwell przewidział istnienie fal elektromagnetycznych. W dwadzieścia lat później H. Hertz odkrył doświadczalnie istnienie fal elektromagnetycznych i od tej chwili zaczął się burzliwy rozwój radiotechniki. Rys. 255 Zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole magnetyczne 21.1.1 Radio Radiostacja nadawcza działa w oparciu o elektryczny obwód drgający. Jeśli np.: okładki kondensatora rozchylilibyśmy tak, jak na rysunku 258 a i połączyli z cewką, a całość zasilimy z generatora, to uzyskamy falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w przestrzeni z szybkością światła w postaci tzw. fali nośnej o wysokiej częstości. Rys. 256 Obwód elektryczny i obraz drgań gasnących Rys. 257 Obwód i obraz drgań niegasnących Jeśli w obwód bazy tranzystora włączymy mikrofon M (rys.257) i będziemy do niego mówić, to fala głosowa zamieniona na prąd elektryczny będzie sterować przepływem elektronów przez tranzystor, a to będzie powodować zmianę kształtu fali nośnej, czyli będzie ją modulować. Nasuwa się tu pytanie, czy nie można bez pośrednictwa fali nośnej przekazywać fale elektromagnetyczne pochodzące bezpośrednio z prądu wytworzonego przez mikrofon. Czym uwarunkowana jest konieczność istnienia fali nośnej? Otóż okazuje się, że fala nośna wysokiej częstości nie podlega takiemu tłumieniu w powietrzu jak fala elektromagnetyczna o niskiej częstości pochodząca (oczywiście nie bezpośrednio) z mikrofonu. Dlatego może ona łatwo rozprzestrzeniać się na duże odległości bez tłumienia w powietrzu. Można powiedzieć, że nadawana do mikrofonu informacja zawarta jest ostatecznie w kształcie zmodulowanej fali nośnej pokazanej na rysunku 258. Fala taka dochodzi do anteny odbiornika, ale nie jako jedna jedyna fala. Do anteny odbiornika dochodzą bowiem zmodulowane fale elektromagnetyczne od różnych radiostacji. Nasuwa się więc pytanie, jak to się dzieje, że możemy „wybrać” tylko jedną stację nadawczą i odbierać informację nadawaną przez nią, a nie słyszeć innych radiostacji, których sygnały tak samo doszły do anteny naszego odbiornika tak jak „wybrana” przez nas fala. Otóż każda radiostacja nadając swój program posiada ustaloną dla siebie częstotliwość fali nośnej, której stałość zapewniają specjalne układy regulacji automatycznej. W obwodzie antenowym odbiornika, składającym się z cewki i kondensatora o zmiennej pojemności, możemy tak dobrać pojemność kondensatora, aby częstość drgań własnych obwodu antenowego była dostrojona do częstości fali nośnej i wówczas tylko ta dostrojona przejdzie do dalszych podzespołów odbiornika radiowego, a inne częstości zostają stłumione. Informacja zawarta w pozostałych falach nośnych nie dociera do dalszych części odbiornika. Odbiornik radiowy rys 259 składa się więc zasadniczo z: 1 – anteny 2 – obwodu antenowego, o impedancji 3 – detektora, czyli diody demodulującej tzn. obcinającej jedną z dwu symetrycznych połówek fali nośnej 4 – wzmacniacza 5 – głośnika Rys. 258 Zmodulowana fala nośna Rys. 259 Schemat ideowy radioodbiornika tranzystorowego Na rysunku 260 pokazana jest krzywa rezonansowa, która służy jako ilustracja pokazująca dopasowanie obwodu rezonansowego odbiornika do częstotliwości fali nośnej. Z krzywej tej widać, że tylko w przypadku dostrojenia odbiornika do częstotliwości fali nośnej dane stacji radiowej sygnał jej będzie najlepiej odbierany, wszystkie inne fale będą miały większą zawadę Z i mniejszy prąd jak widać z rys. 260 Rys. 260 Krzywa rezonansowa PYTANIA 1) W jaki sposób i kto dokonał odkrycia fal elektromagnetycznych? 2) Do czego służy fala nośna i dlaczego tak się nazywa? 3) Na czym polega modulacja fali nośnej? 4) Co to jest detektor w odbiorniku i do czego służy? 5) Z jakich podzespołów składa się odbiornik radiowy? 6) W jaki sposób z anteny, do której dochodzą sygnały z różnych radiostacji wybiera się tylko jeden? 7) Do czego służy kondensator o zmiennej pojemności w obwodzie antenowym odbiornika radiowego? 21.2 Lampa oscyloskopowa Lampa oscyloskopowa to bańka szklana opróżniona z powietrza, w której znajduje się: działko elektronowe w postaci cylindra Wehnelta, dwa pierścienie do których przyłożone są potencjały 1000V i 800V. Kształt pola elektrycznego utworzonego między nimi stanowi soczewkę skupiającą dla elektronów wychodzących z cylindra Wehnelta. Poza tym są tam dwie pary płytek (poziomych odchylających strumień elektronów w pionie i pionowych odchylających ich poziomo). Płytki odchylają strumień elektronów dążących do ekranu lampy pokrytego luminoforem, świecącym pod wpływem uderzających w niego elektronów. Rys. 261 Budowa i zasada działania kineskopu (widok z góry) - mechanizm świecenia luminoforu) Na skutek przyłożenia do płytek odchylania poziomego napięcia piłokształtnego, , otrzymujemy na ekranie świecącą linię poziomą. Gdy natomiast do płytek odchylania pionowego przyłożymy dowolne napięcie, to wówczas na ekranie lampy oscyloskopowej zobaczymy jego obraz. 21.2.1 Krzywe Lissajous otrzymywane na ekranie lampy W ten sposób jak pokazane na rysunku 262 będą powstawać krzywe Lissajous na ekranie lampy oscyloskopowej jeśli do płytki odchylania poziomego i pionowego będziemy przykładać napięcie przesunięte w fazie względem siebie o odpowiednie kątyφ, będziemy uzyskiwać obrazki elipsy odpowiednio nachylonej, (tak, jak na rysunku 262 pokazuje sinusoida ) dla poszczególnych kątów 45o, 90o (koło), dla 135o elipsa nachylona .będzie też pod kątem 135o Rys. 262 Krzywe Lissajous dla różnych przesunięć fazowych przykładanych do płytek odchylania pionowego i poziomego Prędkość poruszającej się plamki wzdłuż osi x, y vx = A ω sin(ωt + φ1) = vx = A ω cos(ωt + φ1) Analityczne uzasadnienie poszczególnych figur Lissajous jest następujące: 1. x = A sinωt y = x tj. równanie prostej y = A sinωt 2a. x = A sinωt y = B cosωt stąd: po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy równanie elipsy: gdy A = B mamy równanie koła 2b. x = A sinωt y = A x2 + y2 = A2(sin2ωt + cos2ωt) = A2 jest to równanie koła Rys. 263 Konstrukcja graficzna krzywych Lissajous 21.2.2 Generator drgań relaksacyjnych wytwarzających napięcie piłokształtne Generator drgań relaksacyjnych składa się z opornika, kondensatora, neonówki i źródła. Zasada działania jego polega na tym, że kondensator ładuje się przez opornik ze źródła, a następnie (po osiągnięciu napięcia równego napięciu zapłonu neonówki rozładowuje się przez neonówkę). Po czym zaczyna się ładować od nowa jak poprzednio. To ładowanie kondensatora przez źródło i rozładowywanie jego przez neonówkę pokazane jest na rysunku 264. Są to przebiegi napięcia generator drgań relaksacyjnych w czasie. gdzie: R C = τ – stała czasowa Wymiarem stałej czasowej jest jak łatwo sprawdzić – sekunda. Rys. 264 Generator drgań relaksacyjnych RC i jego stałe czasowe Uc – napięcie na kondensatorze, Uz – napięcie zapłonu neonówki, Ug – napięcie gaśnięcia neonówki, N – neonówka, T1, T2 – okresy drgań w zależności od τ1 i τ2 Okres drgań T generatora drgań relaksacyjnych zależy od: Uz, Ug, τ, E jak widać z wykresu. T = f(Uz, Ug, τ, E) T↑ gdy τ↑ v Uz↑ v Ug↓ T↓ gdy E↑ v Ug↑ gdzie: ↑ – wzrasta ↓ – maleje v – oznacza tu symbol logiczny „lub” PYTANIA 1) Z czego i w jaki sposób zbudowana jest soczewka skupiająca w lampie oscyloskopowej? 2) Narysować i objaśnić schemat budowy lampy oscyloskopowej. 3) W jaki sposób skupiane są elektrony w wiązkę w lampie oscyloskopowej? 4) Co to jest cylinder Wenelta i do czego służy? 5) Jak są ustawione płytki odchylania poziomego w oscyloskopie? 6) W jaki sposób ustawione są płytki odchylania pionowego w oscyloskopie? 7) Co jest podłączone do płytek odchylania poziomego? 8) Z jakich elementów składa się generator drgań relaksacyjnych? 9) Do czego służy neonówka w generatorze drgań relaksacyjnych? 10) Jak się nazywa iloczyn RC? Wykazać, że mierzy się go w sekundach. 11) Od czego zależy okres drgań relaksacyjnych generatora podstawy czasu, wymienić. 12) W jaki sposób okres drgań relaksacyjnych zależy od napięcia zapłonu i gaśnięcia neonówki przy pozostałych parametrach stałych? 13) Co się dzieje z okresem drgań relaksacyjnych, gdy siła elektromotoryczna źródła wzrasta? 14) Na co i w jaki sposób wpływa wielkość rezystora w generatorze drgań relaksacyjnych? 15) Do czego służy kondensator w generatorze drgań relaksacyjnych i jak on wpływa na okres drgań? 21.3 Telewizja Aby obraz danego przedmiotu przetworzony został w falę elektromagnetyczną za pomocą kamery telewizyjnej, obraz ten należy przez układ optyczny „rzucić” na światłoczułą powierzchnię ikonoskopu, czyli lampy telewizyjnej, znajdującej się w kamerze. Z powierzchni ekranu kamery telewizyjnej, kwanty światła, które odbijają się od oświetlonego przedmiotu wybijają elektrony. Mamy więc teraz „obraz” przedmiotu na ekranie ikonoskopu w postaci naładowanej dodatnio powierzchni, odzwierciedlającej wiernie przedmiot „nadawany”. Jednocześnie z działka elektronowego (d) ikonoskopu (LI) wiązka elektronów (w) przebiegając powierzchnię ekranu (E) uzupełnia braki elektronowe w tych punktach gdzie zostały one wytrącone przez kwanty odbite od jasnych obszarów obiektu nadawanego. Powierzchnię kranu kamery telewizyjnej tworzy bowiem kondensator, jak pokazano na rysunku 265, którego jedną z okładek jest płytka składająca się z elementarnych powierzchni Cała powierzchnia obrazu podzielona jest na 625 linii, a cały obraz musi być nadawany 25 razy na sekundę, aby oko telewidza miało wrażenie płynności ruchów oglądanych przedmiotów. Podobnie jak przy oglądaniu filmu jeśli 25 klatek taśmy filmowej przebiegnie na sekundę, to wówczas dopiero obserwator ma wrażenie płynności ruchów obiektów przedstawionych na filmie. Rys. 265 Idea tworzenia się fali elektromagnetycznej w kamerze telewizyjnej Ładowanie i rozładowanie „elementarnych kondensatorów” ekranu lampy odpowiada zamianie poszczególnych punktów obrazu na prąd elektryczny. Prąd ten jest większy lub mniejszy. Zależy to od jasności danego punktu obiektu nadawanego, ponieważ wiązka elektronów z działka przebiega kolejno cały ekran od góry do dołu. Proces zamiany obrazu na prąd odbywa się kolejno w czasie. Każdy punkt obrazu danego przedmiotu „nadawany” jest osobno. Czas jego „nadawania” jest bardzo krótki Prąd pochodzący z zamiany kolejnych punktów obrazu moduluje falę nośną podobnie jak przy nadawaniu dźwięku. Elektromagnetyczna fala nośna modulowana obrazem i dźwiękiem dociera do anteny odbiornika telewizyjnego, którego zadaniem jest odtworzyć obraz i dźwięk bez zniekształceń. W celu odtwarzania obrazu fala elektromagnetyczna, a następnie prąd elektryczny, w których zawarty jest obraz musi być w ten obraz z powrotem przetworzona. W tym celu należy na ekranie lampy telewizyjnej odbiornika poszczególne linie obrazu ułożyć jedna pod drugą, tak jak były one nadawane. Służą do tego specjalne impulsy synchronizujące linie, gdyż na końcu nadawania każdej linii obrazu nadawany zostaje pewien charakterystyczny impuls. Jest on rozpoznawany przez odbiornik i stanowi sygnał do rozpoczęcia nowej linii obrazu w odbiorniku. W kineskopie odbiornika telewizyjnego elektrony wysyłane z działka elektronowego docierają do luminoforu lampy odpowiednio w tych punktach, które są jasne w obiekcie nadawanym i rozświetlają je na ekranie telewizora. W telewizji kolorowej z każdego przedmiotu wydziela się za pomocą filtrów czerwonego, niebieskiego i zielonego odpowiednie składowe barwy, zamienia się obraz na prąd elektryczny, który moduluje odpowiednio falę nośną. W odbiorniku telewizyjnym ekran lampy pokryty jest punktowymi obszarami z luminoforów o trzech podstawowych barwach, jak pokazano na ekranie rys. 266. W kineskopie kolorowego odbiornika telewizyjnego są trzy działka elektronowe, służące do odtwarzania poszczególnych barw. Rys. 266 Schemat ideowy kineskopu kolorowego 21.3 Radar Radar działa na zasadzie echa. Fala odbita od obiektu wraca po czasie t jako echo, pozwala to określić odległość obiektu od radaru zgodnie ze wzorem: 2l = ct jeśli czas: t = 1 μs c = 3 108 m/s to odległość obiektu „Ob.” od nadajnika N i jednocześnie odbiornika O jest równa: Ekran radaru pokryty luminoforem znajduje się wewnątrz lampy podobnie jak w lampie oscyloskopowej,. Elektrony padające na ekran powodują świecenie tych miejsc na które padają. Lampy oscyloskopowe pracujące w radarach różnią się tym, że mają podstawę czasu nie poziomą, ale spiralną jak na rysunku 267. Oznacza to, że strumienie elektronów przebiegają ekran lampy nie poziomo lecz spiralnie. Dzięki temu na ekranie można obserwować nie tylko odległość obiektów, ale i kierunki, w których znajdują się obserwowane obiekty. Można również określać szybkość poruszających się obiektów wykorzystując zjawisko Dopplera. Rys 267 Ekran radaru i e Rys 268 Droga przebiegu fali elektromagnetycznej w radarze oraz obraz impulsu ”i” oraz echa ”e” PYTANIA 1) Jakie zjawisko wykorzystywane jest przy ładowaniu elementarnych kondensatorów w kamerze telewizyjnej? 2) Dlaczego studio telewizyjne powinno być dobrze oświetlone? 3) Do czego służy działko elektronowe w kamerze telewizyjnej? 4) Co decyduje o tym, że każda linia obrazu zaczyna się we właściwym miejscu? 5) Do czego służy impuls charakterystyczny przychodzący w sygnale telewizyjnym na końcu „ramki”? 6) W jaki sposób zorganizowana jest fala elektromagnetyczna przenosząca obraz? 7) Czym różni się kineskop kolorowy od czarno – białego? 8) W jaki sposób otrzymujemy różne kolory na ekranie telewizora? 9) Na ile linii dzielony jest obraz w telewizji? 10) Ile „ramek” (obrazów) na sekundę jest nadawane w telewizji i co się z tym wiąże? 11) W jaki sposób otrzymuje się poszczególne barwy na ekranie kineskopu? 12) Co zapewnia porządek przy przesyłaniu różnobarwnych obrazów i dźwięku w technice telewizyjnej za pomocą fal elektromagnetycznych? IV OPTYKA 22 OPTYKA GEOMETRYCZNA 22.1 Metody wyznaczania prędkości światła 22.1.1 Metoda astronomiczna Röemera Metoda astronomiczna pozwala wyznaczyć prędkość światła w oparciu o obserwacje z Ziemi kolejnych zaćmień (zasłonięcie przez Jowisza jednego z jego księżyców). Obserwacje dokonuje się co pół roku. Jeden raz w czasie kiedy Ziemia znajduje się w położeniu A, a drugi raz kiedy Ziemia znajdzie się w położeniu B (jak pokazano na rysunku 269. Rys. 269 a) Orbita Ziemi wokół Słońca i b) jednego z Księżyców Jowisza krążącego wokół Jowisza, t - czas jaki upływa między jednym a drugim zaćmieniem księżyca Jowisza, obserwowanego z Ziemi w położeniu A. Czas t, który upływa między jednym a drugim zaćmieniem księżyca Jowisza jest o 980 s większy w przypadku gdy Ziemia znajduje się w położeniu B, niż wówczas gdy Ziemia znajdzie się w położeniu A. Stąd wniosek, że czas 980 s potrzebny jest do przebycia drogi s. Prędkość światła możemy wyliczyć ze wzoru: c = stąd c = = 215 000 Wartość prędkości światła jest w rzeczywistości większa niż wynikało to z obliczeń Römera. Błąd w obliczeniach Röemera tkwił w tym, że rzeczywista orbita po której krąży Ziemia wokół Słońca jest większa niż wynikała z ówczesnych obliczeń. Ważnym był jednakże fakt, że prędkość światła ma wartość skończoną. Obecnie znany jest już cały szereg metod pomiaru prędkości światła. Omówimy tylko dla przykładu jeszcze jedną metodę – metodę Foucaulta. 22.1.2 Metoda Foucaulta Metoda Foucaulta pozwala na wyznaczenie prędkości światła jeśli mamy odpowiednie dane jak zaznaczono na rysunku 270. Mając dane: obliczymy prędkość światła : a, b, l – ( patrz rysunek 270) c = ? n = 48 000 obr/min – liczba obrotów zwierciadła płaskiego Zp 1 minuta = 60 s stąd: ponieważ: stąd wstawiając za t do wzoru na c mamy: ponieważ ω = 2π f i dla bardzo małych kątów tgα = α, wobec tego: stąd: Po wstawieniu za α mamy: c = 299 900 ≈ 3 108 Rys. 270 Aparatura Foucaulta do wyznaczania prędkości światła: Zp – zwierciadło płaskie Zw – zwierciadło wklęsłe E – ekran PYTANIA 1) W jaki sposób Röemer obliczył prędkość światła? 2) Narysować schemat aparatury Foucaulta do pomiaru prędkości światła. 3) Jakiego rodzaju zwierciadła wchodzą w skład aparatu Foucaulta do pomiaru prędkości światła? 4) Jakie wielkości muszą być dane, aby wyznaczyć prędkość światła za pomocą aparatu Foucaulta? 22.2 Prawa odbicia i załamania 1. kąt padania αp = αo kątowi odbicia (kąt padania jest to kąt zawarty między promieniem padającym – 1 i normalną –N, kąt odbicia jest to kąt zawarty między normalną – N i promieniem odbitym – 2) 2. promienie 1, 2, 3, N leżą w jednej płaszczyźnie 3. 5 normalna 1 2 kąt padania kąt odbicia (p (o fala akustyczna ( 4 3 promień świetlny Promień padający – 1, promień odbity – 2, promień załamany – 3, normalna - 5 Istotna różnica między falą świetlną i akustyczną polega na tym, że fala świetlna rozchodzi się w próżni, (im gęstszy ośrodek, tym wolniej się rozchodzi) w odróżnieniu od fali akustycznej, której w próżni w ogóle być nie może a w ośrodkach, im gęstszy ośrodek, tym szybciej się rozchodzi. gdzie: n2 i n1 – bezwzględny współczynnik załamania danego ośrodka względem próżni n21 – względny współczynnik załamania drugiego ośrodka względem pierwszego 22.3 Kąt graniczny Kąt graniczny jest to taki kąt padania, dla którego kąt załamania wynosi 90º, co ma miejsce w przypadku przebiegu z ośrodka gęstszego do rzadszego. Wszystkie promienie, które padają pod kątem większym od kąta granicznego ulegają całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. a ponieważ β = 90º, to sinβ = 1, czyli Rys. 271 Kąt graniczny i całkowite wewnętrzne odbicie Rys. 272 Światłowód, w którym αp > αgr gdzie: n – względny współczynnik załamania ośrodka gęstszego, z którego promień wychodzi. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia wykorzystuje się m. in. w światłowodach, pryzmatach itp. PYTANIA 1) Podać prawa odbicia i załamania światła. 2) Podać bieg promieni przy przechodzeniu z powietrza do wody dla światła i dźwięku, dlaczego odchylają się one w kierunku odwrotnym do normalnej? 3) Podać definicję względnego i bezwzględnego współczynnika załamania. 4) Czy względny współczynnik załamania w przypadku fali głosowej ma sens fizyczny? (odpowiedź uzasadnij). 5) Podać prawo Sneliusa (prawo sinusów) za pomocą wzoru. 6) Co to jest kąt graniczny? 7) Narysować i zaznaczyć kąt graniczny oraz promień, który ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. 8) W jakich ośrodkach występują kąty graniczne, od czego to zależy? 9) Gdzie wykorzystuje się zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia i na czym ono polega? 22.4 Zwierciadło płaskie W zwierciadle płaskim każdy punkt przedmiotu „P” jest w takiej samej odległości od zwierciadła jak odpowiadające im punkty obrazu „O”. Rys 273 Bieg promieni w zwierciadle płaskim Promienie 1 i 2 odbijają się od zwierciadła pod różnymi kątami ((, i (’ jak widać na rys. 273). Przedłużenia promieni 1 i 2 narysowane linią przerywaną przecinają się w punkcie gdzie powstaje obraz pozorny. Obraz pozorny – to taki obraz, który nie może powstać na ekranie, a otrzymujemy go jedynie w wyniku przedłużenia liniami przerywanymi promieni „1” i „2”. stąd l = l’ 22.5 Zwierciadło wklęsłe Rys. 274 Bieg promieni w zwierciadle wklęsłym dla x > f, gdzie: F – ognisko – jest takim punktem na osi głównej zwierciadła, w którym przecinają się, po odbiciu od zwierciadła, promienie biegnące do zwierciadła, równolegle do głównej osi optycznej, r – promień krzywizny zwierciadła, f – ogniskowa r = 2f Obrazy w zwierciadłach wklęsłych otrzymujemy w wyniku przecięcia się dwóch promieni świetlnych. Na przykład jeden z nich biegnie równolegle do osi zwierciadła, odbija się od niego i przechodzi przez ognisko. Drugi, po odbiciu od zwierciadła, biegnie wzdłuż promienia krzywizny r (tzn. normalnej) przechodzącej przez środek krzywizny, przecina się z pierwszym. Punkt ich przecięcia wyznacza miejsce powstania obrazu (patrz rys. 274). Można również wziąć pod uwagę dwa inne promienie. Zamiast drugiego promienia, można wziąć promień idący od przedmiotu X do wierzchołka zwierciadła W pod kątem ( do głównej osi optycznej i odbijający się od zwierciadła również pod kątem (, zgodnie z prawem odbicia (kąt padania równy jest kątowi odbicia) 22.5.1 Powiększenie P Powiększenie P jest to stosunek wielkości obrazu Y do wielkości przedmiotu X ), albo odległości obrazu od zwierciadła, y do odległości przedmiotu od zwierciadła x. Powiększenie P wyraża się zatem wzorem: X – wielkość przedmiotu Y – wielkość obrazu x i y odpowiednio odległość, przedmiotu i obrazu od zwierciadła. 22.5.2 Wzór na ogniskową dla zwierciadła wklęsłego Wyprowadza się go uwzględniając wzór na powiększenie P oraz podobieństwo trójkątów prostokątnych, których kąty wierzchołkowe spotykają się w jednym punkcie O (rys. 274). Możemy wobec powyższego napisać: stąd: yr – xy = xy – xr yr + xr = 2xy dzieląc obie strony przez xy mamy: ale ponieważ: r = 2f wobec tego Jeśli x < f, to obraz jak widać z rysunku jest powiększony, pozorny i prosty Rys. 275 Bieg promieni w zwierciadle wklęsłym gdy x < f 22.6 Zwierciadło wypukłe Rys. 276 Bieg promieni w zwierciadle wypukłym W zwierciadle tym powstaje obraz zawsze między zwierciadłem a ogniskiem i jest, jak widać, pozorny i pomniejszony. Jeśli x = f, to obraz powstaje w „– ∞”. Sprawdzić to można na rysunku dla x = 0 (promienie po odbiciu od zwierciadła nigdzie się nie przecinają – są równoległe). stąd: Dla przykładu spróbujmy znaleźć ogniskową f zwierciadła, jeśli chcemy, aby obraz powstawał w takiej samej odległości od tego zwierciadła w jakiej umieszczony jest przedmiot czyli x = y. jeśli tu x = y, to: a więc f → ∞, czyli może to być tylko zwierciadło płaskie, którego r = ∞ i f = ∞. PYTANIA 1) Czym się charakteryzuje zwierciadło płaskie? 2) Narysować bieg promieni wyznaczających obraz przedmiotu powstającego w zwierciadle płaskim. 3) W jakich przypadkach powstają obrazy pozorne, a w jakich rzeczywiste? Jak się je rozróżnia na rysunkach? 4) Jaka jest ogólna zasada rysowania obrazów w zwierciadłach? 5) Co nazywamy ogniskiem, a co ogniskową zwierciadła? 6) Jakie promienie przechodzą przez ognisko? 7) Co to jest powiększenie? Podać wzór. 8) Wyprowadzić wzór na ogniskową zwierciadła wklęsłego. 9) Wyprowadzić wzór na ogniskową zwierciadła wypukłego. 10) Co oznaczamy zwykle literami x, y, f oraz r w zwierciadłach i soczewkach? 11) W jakiej odległości od zwierciadła wypukłego może powstać obraz? 12) Jakiego rodzaju obrazy powstają w zwierciadle wypukłym? 13) W jakiego rodzaju zwierciadłach obraz powstaje w takiej samej odległości jak przedmiot? Odpowiedź uzasadnić wzorem. 22.7 Pryzmat Pryzmaty znalazły zastosowanie w różnego rodzaju przyrządach optycznych. Załamują one promienie świetlne zmieniając kierunek ich biegu, rozczepiają światło na podstawowe barwy. Pryzmaty zbudowane są najczęściej ze szkła oraz innych substancji przezroczystych. Rozpatrując pryzmat zwykle chcemy znaleźć n – współczynnik załamania materiału, z którego jest on wykonany. Rys. 277 Bieg promieni w pryzmacie, gdzie: φ – kąt łamiący pryzmatu ε – kąt odchylania biegu promienia od kierunku początkowego Korzystamy tu z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie, który równy jest dwóm kątom wewnętrznym nie przyległym do niego, czyli: φ = β1 + β2 Kąt ε = εmin wtedy i tylko wtedy, gdy α1 = α2 = α i β1 = β2 = β, wówczas: φ = 2β stąd a zatem: εmin = α1 – β1 + α2 – β2 = 2α – 2β stąd mamy: 2α = εmin + 2β po podstawieniu za α i β do wzoru na n mamy: dla bardzo małych kątów (z którymi mamy do czynienia w przypadku soczewek) sinα = α i w związku z tym możemy napisać: stąd: εmin = φ n – φ = φ(n – 1) Wzór ten jest punktem wyjścia do wyprowadzenia wzoru na ogniskową soczewki f o różnych promieniach krzywizny r1 oraz r2. (Soczewki omówione zostały w punkcie 22.8.1) Jeśli soczewka o współczynniku załamania n znajduje się w środowisku o współczynniku załamania n0, to: gdzie: r1, r2 – promienie krzywizny soczewki n – współczynnik załamania soczewki n0 – współczynnik ośrodka, w którym znajduje się soczewka Dla soczewek dwuwklęsłych promienie r1 i r2 przyjmują wartości ujemne. PYTANIA 1) W jaki sposób znaleźć współczynnik załamania materiału, z którego zbudowany jest pryzmat? 2) Narysować bieg promieni w pryzmacie i zaznaczyć kąty: (, (, (, ( oraz podać ich nazwy. 3) W jakim przypadku kąt odchylenia w pryzmacie jest najmniejszy? 4) Jaki jest związek między najmniejszym kątem odchylenia, kątem łamiącym i współczynnikiem załamania? 5) Jakim wzorem wyraża się ogniskowa soczewki o różnych promieniach krzywizny umieszczana w różnych środowiskach? 22.7.1 Doświadczenie Younga Doświadczenie Younga polega na tym, że światło pochodzące ze źródła Z po przejściu przez dwie szczeliny w ekranie jak na rys.278, które stały się źródłami nowych fal kulistych, promienie światła, po przejściu przez szczeliny, interferując ze sobą w każdym punkcie P, mają taką samą: częstość, amplitudę i fazę. Nakładając się na siebie, posiadają w każdym punkcie, dokładnie określoną w czasie, różnicę faz φ1 – φ2 wynikającą z różnicy dróg x1 i x2, między każdym ze źródeł z1 i z2, a rozważanym punktem P. Gdyby te fale miały różne częstotliwości (f1 i f2) , amplitudy (A1 i A2) lub fazy ((1 i (2) – nie mogłyby powstać na ekranie ciemne i jasne prążki (nie byłoby bowiem całkowitego wygaszenia światła – np.: przy różnych amplitudach). Fale, takie które dają w danym punkcie obraz interferencyjny nie zmieniający się w czasie nazywamy falami spójnymi. Rys. 278 Schemat Doświadczenia Younga Wychylenia s1 i s2 dla obu fal można zapisać ogólnie w sposób następujący: s1 = A1 sin(ω0t + φ1) s2 = A2 sin(ω0t – φ2) wstawiając za: φ1 = ωt1 i φ2 = ωt2 a za t1 i t2: stąd: c1 t1= x1 oraz c2 t2 = x2 mamy więc pamiętając, że: oraz, że mamy: korzystając ze wzoru trygonometrycznego na sumę sinusów: i pamiętając, że: f1 = f2 i (1 = (2 oraz, że: mamy: a więc: s = 2A coskx sinωt Wyrażenie (2A coskx) jest amplitudą wychylenia w punkcie P. 22.7.1.1 Dyfrakcja (ugięcie) Dyfrakcja zachdzi na siatce dyfrakcyjnej gdy λ jest równa w przybliżeniu (≈) szerokości szczeliny. Siatka dyfrakcyjna służy do pomiaru długości fali świetlnej. stąd: λ = d sinα1 α1 – kąt odchylania promieni pierwszego rzędu ogólnie: gdzie: n – rząd widma αn – kąt odchylania promieni n – tego rzędu λ – długość fali d – stała siatki Rys. 279 Bieg promieni w siatce dyfrakcyjnej 22.7.1.2 Polaryzacja światła Polaryzacja, polega na uporządkowaniu drgań w jednej płaszczyźnie Polaryzacja światła zachodzi w kryształach dwójłomnych, którymi są np.: szpad islandzki i turmalin a) w pryzmatach Nicola - stosowanych w polarymetrach mamy: Prawo Malusa: I = I0 cos2 α Rys. 280 Bieg promieni w polarymetrze α = Kcl, stąd: gdzie: c – stężenie cukru α – kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji l – długość rurki K – skręcalność właściwa danej substancji (określamy ją np. dla stężenia c = 10%) b) polaryzacja przez odbicie na granicy dwóch ośrodków Rys. 281 Bieg promieni przy polaryzacji przez odbicie Udowodnimy, że tgαB = n, z rysunku 281 widać, że: β = 180˚ - 90˚ - αB = 90˚ - αB Dlatego: stąd: αB = arc tg n Widać więc, że kąt Brewstera αB jest tym większy im większy jest współczynnik załamania ośrodka n, do którego wchodzi promień świetlny (αB = arc tgn). 22.7.1.3 Przesunięcie p promienia przy przechodzeniu przez płytkę płasko - równoległą Rys. 282 Bieg promienia przez płytkę stąd p = l sin (α – β) ale ponieważ: stąd mamy zatem: Ostatnie wyrażenie na p można również przedstawić dokładniej, wyznaczając kąt β z prawa załamania Sneliusa, które mówi, że: stąd ale ponieważ: cos2β = 1 – sin2β stąd Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy ostatecznie wzór na p w zależności od grubości płytki d, współczynnika załamania n oraz kąta α: PYTANIA 1) Do czego służy siatka dyfrakcyjna? 2) Podać w jaki sposób za pomocą siatki dyfrakcyjnej wyznacza się długość fali. 3) Na czym polega polaryzacja światła? 4) W jakim celu pryzmat Nicola jest najpierw przecinany, a później klejony? 5) Co ma większy współczynnik załamania balsam kanadyjski czy turmalin? Gdzie ten problem występuje? 6) Do czego służy polarymetr? 7) Opisać zasadę działania polarymetru. 8) W jakich przypadkach zachodzi polaryzacja przez odbicie? 9) Co to jest kąt Brewstera? 10) Wykazać, że tangens kąta Brewstera jest równy współczynnikowi załamania materiału, na który padają promienie światła. 11) Wyznaczyć za pomocą wzoru przesunięcie promienia w płytce płasko – równoległej. 22.8 Soczewki 22.8.1 Soczewki wypukłe i wklęsłe Rys. 283 Soczewki i ich oznaczenia schematyczne a) soczewka dwuwypukła, b) soczewka dwuwklęsła Soczewki mogą być również płasko-wypukłe, albo płasko-wklęsłe lub odwrotnie (tzn. wypukło-płaskie, albo wklęsło-płaskie w zależności od kierunku biegu promieni świetlnych) Wzór na ogniskową f dla soczewek dwuwypukłych: stąd: a zatem: powiększenie Zależność y = f(x) tę można przedstawić na wykresie w sposób następujący: Rys. 284 Położenie obrazu w odległości y od soczewki w zależności od umieszczenia przedmiotu od soczewki w odległości x. Przykład Jeśli w danej soczewce uzyskaliśmy obraz rzeczywisty powiększony, to na skutek zbliżenia przedmiotu od soczewki na odległość ,x, mniejszą od jej ogniskowej, f, (x < f), to uzyskamy, jak widać z wykresu, również obraz powiększony, ale pozorny. Soczewki dwuwypukłe, są soczewkami skupiającymi jeśli umieszczone są w środowiskach, posiadających mniejsze od nich współczynniki załamania. Jeśli np.: soczewka dwuwypukła byłaby z powietrza, a środowisko ją otaczające ze szkła, to Rys. 285 Bieg promieni w symetrycznej soczewce dwuwypukłej wówczas taki „pęcherzyk powietrzny” znajdujący się w szkle byłby soczewką rozpraszającą. Poprawność wykonanego rysunku można sprawdzić dokonując odpowiednich obliczeń. Przyjmując np., że x = 2f mamy: stąd: a zatem: y = 2f Z powyższej analizy widać, że obraz powinien powstać w odległości 2f od soczewki. 22.8.2 Lupa Lupa jest soczewką wypukłą, za pomocą której uzyskujemy obraz powiększony, jeśli przedmiot umieścimy w odległości x od lupy, mniejszej niż jej ogniskowa f : (x < f). Rys. 286 Bieg promieni w lupie 22.8.2.1 Powiększenie kątowe lupy Kąt Ψ jest to kąt pod którym widzimy obraz patrząc przez lupę. Kąt φ jest to kąt, pod którym widzielibyśmy przedmiot gdyby był on umieszczony w miejscu, gdzie powstaje obraz. Powiększenie kątowe lupy Pk wyraża się wzorem: EMBED Equation.3 przyjmując założenia że: x ≈ f i y = d gdzie: d – odległość dobrego widzenia (przyjmuje się, że d =25 cm dla normalnego oka) możemy napisać, że: Jeśli jednak chcemy otrzymać dokładny wzór na powiększenie kątowe lupy, Pk, to musimy za x wstawić wartość ze wzoru: znak „–” występujący tu we wzorze bierze się stąd, że obraz powstaje w odległości y f1 oraz x2 < f2 Powiększenie mikroskopu Pm: Przyjmując następujące założenia upraszczające: y1 ≈ 1 – długość rury zwanej tubusem y2 = d – odległość dobrego widzenia d = 25 cm x1 ≈ f1 – ogniskowa obiektywu x2 ≈ f2 – ogniskowa okularu otrzymujemy: 22.10 Luneta (teleskop astronomiczny) Luneta składa się z obiektywu, którym jest soczewka skupiająca o średnicy kilku metrów (o dużej ogniskowej f1) i okularu o małej ogniskowej f2. Budując lunetę chodzi nam o to, aby miała ona duże powiększenie, które wyraża się wzorem: Rys. 289 Bieg promieni w lunecie ponieważ powiększenie P, jest to tangens większego kąta ψ, do tangensa mniejszego kąta φ, to: gdzie: ( – kąt pod jakim widzimy obiekt obserwowany przez lunetę ( – kąt pod jakim widzielibyśmy obiekt bez lunety PYTANIA 1) W jakiej odległości od soczewki dwuwypukłej należy umieścić przedmiot aby obraz powstawał w tej samej odległości? 2) W jakiej odległości od soczewki należy umieścić przedmiot aby stała się ona lupą? 3) Co to jest zdolność zbierająca (skupiająca) i w jakich jednostkach się ją mierzy? 4) Ile dioptrii posiada soczewka o ogniskowej 25 cm? 5) Narysować bieg promieni w mikroskopie. 6) Wyprowadzić wzór na powiększenie mikroskopu. 7) Jakie założenia upraszczające przyjmuje się przy wyprowadzaniu wzoru na powiększenie mikroskopu? 8) Czym się różni luneta od mikroskopu? 9) Narysować bieg promieni w lunecie i wyprowadzić wzór na powiększenie lunety. 22.11 Soczewki rozpraszające Powinniśmy w tym przypadku pamiętać, że soczewka rozpraszająca zbudowana jest jak gdyby z dwu pryzmatów stykających się ze sobą kątami łamiącymi, tak jak pokazano na rysunku 290. Rys. 290 Bieg promieni w soczewce dwuwklęsłej (rozpraszającej) Wzór na ogniskową dla soczewki rozpraszającej jest następujący: znaki „ – ” występujące tu we wzorze uwarunkowane są położeniem rozpatrywanego ogniska i miejscem powstania obrazu. 22.12 Wady soczewek Wady soczewek są różne, ale nie będą tu wszystkie omawiane. Opiszemy tu tylko: 1. Aberrację sferyczną, 2. Aberrację chromatyczną, 3. Astygmatyzm. 22.12.1 Aberracja sferyczna Promienie skrajne tzn. leżące dalej od osi optycznej skupiają się bliżej soczewki, niż promienie przyosiowe. Miarą aberracji sferycznej as ( jak na rys. 291) jest odległość między promieniami skupiającymi się bliżej soczewki i tymi, które skupiają się dalej od soczewki. Rys. 291 Schemat służący do pomiaru aberracji sferycznej, a) przesłona krawędzi soczewki, b) przesłona środka soczewki Jeśli przesłoną a) zasłonimy soczewkę uzyskamy skupienie promieni przechodzących przez soczewkę w punkcie a, jeśli natomiast użyjemy przesłony b), to uzyskamy skupienie promieni w punkcie b. 22.12.2 Aberracja chromatyczna Aberracja chromatyczna polega na tym, że promienie fioletowe bardziej się załamują niż promienie czerwone. Ognisko promieni fioletowych znajduje się bliżej soczewki niż ognisko promieni czerwonych. Miarą aberracji chromatycznej ach jest odległość między obu tymi ogniskami i mierzy się ją w metrach. Soczewka szklana umieszczona w powietrzu bardziej będzie załamywać promienie fioletowe niż czerwone ponieważ: oraz wiadomo, że νf > νcz, a zatem nf > ncz, gdzie: ν – częstotliwość światła związana z jego barwą. Rys. 292 Schemat pomiaru aberracji chromatycznej, fc – filtr czerwony, ff – filtr fioletowy W celu znalezienia aberracji chromatycznej danej soczewki, korzystamy z filtrów (płytek) czerwonej i fioletowej umieszczanych kolejno przed soczewką jak na rys.292. 22.12.3 Astygmatyzm Astygmatyzm występuje w przypadku, gdy soczewka ustawiona jest pod kątem mniejszym niż 90˚ w stosunku do promieni na nią padających. Miarą astygmatyzmu jest odległość między obrazami, które powstają z biegu promieni równoleżnikowych i południkowych. 22.12.4 Dobór rodzaju soczewki do oka Wyraźny obraz w oku powstaje wtedy gdy znajdzie się on na siatkówce oka. Oko krótkowidza posiada soczewkę o mniejszej ogniskowej niż oko normalne, dlatego obraz w oku krótkowidza tworzy się przed siatkówką. Aby uzyskać u niego obraz na siatkówce należy zastosować w okularach szkła rozpraszające (soczewka dwuwklęsła) o odpowiedniej ogniskowej. W oku dalekowidza sytuacja jest odwrotna i w związku z tym stosuje się u niego odpowiednie soczewki korekcyjne skupiające. Aby sprawdzić, czy dane okulary należą do krótkowidza, czy dalekowidza wystarczy sprawdzić grubość szkieł w środku i na brzegach lub zobaczyć czy skupiają światło przechodzące przez nie. Jeśli tak, to są okulary dalekowidza. Można nawet obliczyć ile maja one dioptrii, mierząc odległość ogniska od okularów ze wzoru: EMBED Equation.3 (dioptrie) Rys. 293 Soczewki korekcyjne a) krótkowidza, b) dalekowidza PYTANIA 1) Podać i objaśnić wzór na ogniskową soczewki rozpraszającej. 2) W jakim przypadku soczewka rozpraszająca może być soczewką skupiającą i odwrotnie? 3) Opisać wady soczewek. 4) W jakiej odległości od soczewki z aberracją chromatyczną powstaje skupienie promieni czerwonych w stosunku do ogniska, w którym skupiają się promienie fioletowe. 5) Jakie szkła nosi dalekowidz i dlaczego? 6) W jaki sposób można łatwo stwierdzić czy dane okulary należą do krótkowidza czy do dalekowidza? 22.13 Rodzaje widm Widma dzielimy na liniowe, pasmowe i ciągłe. Każde z nich może być emisyjne lub absorpcyjne. Widma liniowe powstają w gazach jednoatomowych na skutek przeskoku elektronów z powłok leżących dalej od jądra na powłoki leżące bliżej niego. Widma pasmowe emitowane są przez gazy wieloatomowe. Widma ciągłe emitowane są przez ciała stałe i ciecze w podwyższonej temperaturze. Widma emisyjne to takie, które powstają w wyniku emisji kwantów w zakresie fal widzialnych (tj. od 0.38 – 0.78 μm). Widma absorpcyjne powstają w wyniku przechodzenia światła o widmie ciągłym przez rozrzedzone pary danej substancji znajdującej się w niskiej temperaturze. Widma ciągłe absorpcyjne mogą również powstawać w wyniku przechodzenia światła posiadającego widmo ciągłe przez ciała stałe i ciecze – będziemy wówczas mieli do czynienia w zasadzie z prawem absorpcji Lamberta Bera: I = I0 e- kx gdzie: I – natężenie światła wychodzącego z absorbenta o grubości x I0 – natężenie światła padającego na dany absorbent k – współczynnik ekstyncji zależny od rodzaju materiału i częstotliwości światła przechodzącego przez absorbent Linie Franhofera, są to ciemne prążki na tle widma ciągłego. Obserwujemy je w widmie słonecznym. Powstają one na skutek absorpcji światła słonecznego, (posiadającego widmo ciągłe), przez gazy tworzące atmosferę otaczającą Słońce. 22.14 Zjawisko Dopplera w optyce Zjawisko Dopplera polega na tym, że jeśli źródło światła zbliża się do obserwatora, to obserwator ma wrażenie, że częstotliwość światła wzrasta i w efekcie zmienia się barwa obserwowanego obiektu, przechodząc od czerwieni w stronę fioletu poprzez pomarańczowo żółte, zielone, niebieskie i inne barwy pośrednie. Zjawisko to można stwierdzić przy bardzo dużych prędkościach. Przeanalizujmy zjawisko Dopplera w optyce przy zbliżaniu się źródła światła do obserwatora lub odwrotnie. Podobnie jak w akustyce przy zbliżaniu się źródła światła do obserwatora mamy: gdzie: (’ – częstość pozorna widziana przez obserwatora ν – częstość rzeczywista źródła światła u – prędkość zbliżania źródła światła lub obserwatora c – prędkość światła stąd: a zatem: czyli: Przy oddalaniu się źródła od obserwatora lub obserwatora od źródła mamy: stąd: a zatem mamy: Na podstawie powyższego wzoru można obliczyć np.: prędkość zbliżania lub oddalania jakiejś gwiazdy albo innego świecącego obiektu. Zjawisko to wykorzystywane jest w radarach policyjnych do określania prędkości u zbliżających się lub oddalających pojazdów samochodowych . 22.15 Oko i barwy 22.15.1 Oko Teoria widzenia nie jest jeszcze całkowicie opracowana, chociaż wiele już wiadomo na temat budowy i zasady działania oka. Budowa oka ludzkiego pokazana jest na rysunku 294. Oko ludzkie jest jednym z najprecyzyjniejszych organów, jakie posiadają organizmy żywe, których budowa oka różni się znacznie. Rys. 294 Schemat budowy oka ludzkiego. 1 – rogówka, 2 – twardówka, 3 – soczewka, 4 – wiązadła Zina, 5 – plamka ciemna (odprowadzenie nerwu wzrokowego), 6 – plamka żółta, 7 – źrenica, 8 – tęczówka, 9 – siatkówka Rogówka (1) to najbardziej wysunięta do przodu część oka. Pozostała jego część otoczona jest twardówką (2). Pod twardówką znajduje się naczyniówka. Zadaniem naczyniówki jest doprowadzenie wraz z krwią produktów odżywczych i odprowadzenie przez nią produktów przemiany materii z oka. Soczewka (3) może zmieniać swoją ogniskową dzięki wiązadłom Zina (4), które mają mały współczynnik właściwego przewodnictwa cieplnego λ. Dlatego też przy naświetlaniu oka promieniami podczerwonymi może wystąpić zapalenie spojówek, co często się zdarza hutnikom narażonym na nadmierne promieniowanie temperaturowe. Promienie świetlne wpadają przez źrenicę (7) zasłanianą automatycznie mniej lub bardziej tęczówką (8), w zależności od oświetlenia przedmiotów, na które patrzymy. Im bardziej oświetlone są przedmioty obserwowane, tym źrenica jest bardziej zasłaniana tęczówką. Średnica źrenicy zmienia się od 2 – 8 mm na zasadzie ujemnego sprzężenia zwrotnego, którego zasadę działania przedstawia rysunek 295. Rys. 295 Schemat modelu fizycznego źrenicy oka. 1 – elektromagnes, 2 – fotokomórka, 3 – przesłona, 4 – sprężynka, 5 – oś obrotu dźwigni, 6 – płytka z materiału ferromagnetycznego Im więcej światła wpada przez przesłonę (3), tym większy płynie prąd w obwodzie fotokomórki (2) i przez elektromagnes (1). Powoduje to silniejsze przyciąganie płytki z materiału ferromagnetycznego (6), a temu przeciwstawia się sprężynka (4). Ruch dźwigni, do której zaczepiona jest sprężynka (4) odbywa się wokół osi (5). W oku takich elementów jak omówiono wyżej oczywiście nie ma, ale sama zasada jego działania jest podobna. Siatkówka składa się z siedmiu warstw komórek. W siatkówce są pręciki i czopki. Pręciki są wrażliwe na natężenie światła, a czopki na barwy. Największe skupisko czopków jest w plamce żółtej. Czopków jest w oku ok. 7 milionów, a pręcików ok. 120 milionów. Oko jest najbardziej czułe na barwę żółtą o długości fali λ = 0.55 μm. W widmie słonecznym największe natężenie odpowiada dokładnie tej barwie i prawdopodobnie na skutek ewolucji największa czułość oka wytworzyła się w tym właśnie zakresie fal świetlnych. W normalnym oku powstaje obraz na siatkówce. Obraz ten jest zmniejszony i odwrócony. Wnętrze oka wypełnia ciecz wodnista (cw) zwana ciałkiem szklistym, której współczynnik załamania jest mniejszy niż soczewki (s) i rogówki (r) (ncw = 1.336, ns = 1.395, nr = 1.367). W starszym wieku lub na skutek działania czynników zewnętrznych następuje zmętnienie soczewki i człowiek przestaje widzieć. W takim przypadku wykonuje się zwykle operację, polegającą na usunięciu soczewki. Innym dość częstym przypadkiem związanym z utratą wzroku jest odklejenie się siatkówki od twardówki. Między siatkówkę i twardówkę dostaje się płyn, który uniemożliwia powrót siatkówki na swoje miejsce. Po odwróceniu gałki ocznej nacina się ją w odpowiednim miejscu gałkę oczną i usuwa się zgromadzony tam płyn. Siatkówka powraca wówczas na swoje miejsce i „przykleja się” (lepiej można by powiedzieć „przyspawa się” za pomocą lasera) do twardówki, a człowiek odzyskuje wzrok, jeśli tylko płyn nie będzie się ponownie tam gromadził i odklejał znów siatkówki. 22.15.2 Barwy Każdą barwę X można uzyskać ze zmieszania trzech barw podstawowych: czerwonej (Rouge – R), zielonej (Grin – G) i niebieskiej (Blue – B), a zatem jeśli jedna z barw np.: X1 składa się w odpowiedniej proporcji (x1, y1, z1) z R, B i G, a X2 odpowiednio z x2, y2, z2 tzn. X1 = Rx1 + By1 + Gz1 X2 = Rx2 + By2 + Gz2 Uzyskamy wówczas barwę X = X1 + X2 o następującym składzie sumarycznym: X = X1 + X2 = R(x1 + x2) + B(y1 + y2) + G(z1 + z2) Wszystkie barwy jakie możemy sobie wyobrazić mieszczą się w zakresie długości fal elektromagnetycznych od 0.38 μm do 0.78 μm. Zielone liście drzew, czy też czerwone płatki róży są takimi dlatego, ponieważ zarówno liście drzew jak i płatki róży pochłaniają wszystkie barwy, oprócz tej, którą posiadają, tzn. liście zieloną i tę właśnie odbijają, a płatki czerwoną. Po każdorazowym odbiciu (np. od liści zielonych) fal elektromagnetycznych o ściśle określonych długościach: od 0.45 μm do 0.48 μm, a od czerwonych płatków od 0.69 μm do 0.78 μm, wpadają one do oka i wywołują odpowiednie wrażenia barwne. Pozostałe barwy, które pochłonięte zostały przez substancję, na którą padają są dla oka niewidoczne. Powierzchnia biała to taka, która odbija wszystkie barwy, dlatego jeśli oświetlimy ją światłem czerwonym i jednocześnie zielonym, to otrzymamy barwę pośrednią między czerwoną i zieloną, będzie to barwa żółta. Jeśli natomiast chcielibyśmy przez czerwoną płytkę przepuścić światło zielone, to ono przez nią nie przejdzie, ponieważ płytka czerwona przepuszcza i odbija tylko światło czerwone, wszystkie inne barwy pochłania. Nie przepuszcza zatem światła o barwie zielonej. Płytka czerwona oświetlona światłem zielonym będzie więc czarna. Innymi słowami fakt ten można wyrazić następująco: zielone źródło światła np.: zielona żarówka będzie niewidoczna gdybyśmy chcieli ją oglądać przez czerwoną szybkę. Nie można oczywiście zobaczyć przez czerwoną szybkę żadnego innego źródła światła niż światło czerwone lub białe, które też będziemy obserwować jako czerwone. Dlatego też flaga np.: biało – czerwona oświetlona światłem czerwonym będzie cała czerwona, a światłem niebieskim będzie widziana jako niebiesko – czarna. Dzieje się tak dlatego, ponieważ biała powierzchnia odbija wszystkie barwy – odbije więc światło niebieskie i sama będzie sprawiała wrażenie niebieskiej, a czerwona część powierzchni, która odbija tylko światło czerwone będzie czarna, ponieważ w padającym świetle niebieskim nie ma czerwieni. Pozostał jeszcze jeden problem związany z barwami, jeśli np.: światło czerwone wejdzie do wody, to ono nadal pozostanie czerwone, chociaż zmieni się jego długość fali λ. Nie ulegnie natomiast zmianie jego częstość. Dlatego też barwę należy wiązać z częstością, a nie z długością fali. Aby obliczyć częstość związaną z daną barwą np.: czerwoną należy skorzystać ze wzoru: przyjąć, że λcz = 0.78 μm = 0.78 10-6 m, stąd: 22.16 Fotometria 22.16.1 Wielkości fotometryczne ich oznaczenia i jednostki 1 Światłość I Kandela I [cd] 2 Strumień Φ Lumen Φ [lm] = I ω 3 Oświetlenie E Luks E [lx] = 4 Kąt bryłowy Ω Steradian ω [sr] 5 Luminacja L Lambert nit, stilb La = sb Nit = , sb = Rys. 296 Steradian Rys. 297 Kąt bryłowy ( Znany jest wzór na powierzchnię kuli: S = 4 π r2 gdzie: 4 π steradianów jest pełnym kątem bryłowym ω Ogólnie można napisać: S = ω r2 stąd: Oświetlenie E jest to stosunek strumienia ( do powierzchni S na którą on pada i wyraża się wzorem: z rys. 298 widać, że stosunek oświetlenia powierzchni pod kątem ( (E() do powierzchni ustawionej prostopadle do strumienia Φ wyraża się wzorem: stąd: Rys. 298 Płaszczyzna oświetlana 22.16.2 Fotometr Fotometr jest przyrządem do pomiaru światłości źródeł światła. Zbudowany jest z dwóch rurek, połączonych ze sobą (w kształcie litery T jak na rys. 299), we wnętrzu rurki poziomej, znajduje się pryzmat gipsowy. Pomiaru światłości danego źródła światła dokonuje się w ten sposób, że mamy źródło światła o znanej światłości I1, ustawiamy go w odległości r1 od wspomnianego wyżej pryzmatu gipsowego o białej rozpraszającej powierzchni S1. Źródło zaś badane ustawiamy po drugiej stronie rurki fotometru. Rys. 299 Pomiar światłości za pomocą fotometru Okiem obserwujemy obie powierzchnie pryzmatu gipsowego S1 i S2. Źródło o badanej światłości I2 ustawiamy w takiej odległości r2 od pryzmatu, aby obie powierzchnie S1 i S2 były jednakowo oświetlone tzn. aby E1 = E2 fakt ten stwierdza się za pomocą bardzo czułego „instrumentu” jakim jest nasze oko. Na tej podstawie możemy zapisać, że: stąd: Światłość mierzymy w kandelach [cd] Rys. 300 Wzorzec kandeli p = 760 mmHg = 1013 hPa Kandela tj. taka światłość, którą daje powierzchnia: rurki pokrytej tlenkiem toru, ogrzanej do temperatury topnienia platyny w kierunku prostopadłym (pod normalnym ciśnieniem). 22.16.3 Luminacja L Rozróżnia się luminację L i luminację energetyczną Le. Luminacja (w danym punkcie powierzchni i w danym kierunku) jest to strumień światłości Iα w danym kierunku światła odbitego od elementarnego pola powierzchni, na którym leży rozpatrywany punkt, do pola rzutu tego elementarnego pola powierzchni na płaszczyznę prostopadłą do danego kierunku, jak na rysunku. Rys. 301 Luminacja ) Luminację energetyczną definiuje się podobnie, tylko zamiast „światłości” I( jest „natężenie promieniowania”I. Światłość to jest natężenie promieniowania w zakresie widzialnym. PYTANIA 1) Podać nazwy wielkości fotometrycznych i ich jednostki. 2) Jakie związki są między wielkościami fotometrycznymi? 3) Jakiej wielkości jednostką jest kandela i jak się ją definiuje? 4) Co mierzy się w lumenach i jak lumen wiąże się z kandelą? 5) Co to jest steradian i ile steradianów ma kąt pełny bryłowy? 6) Jak jest zbudowany i do czego służy fotometr? 7) Opisz metodę wyznaczania światłości nieznanego źródła za pomocą fotometru. 8) Omów i wyprowadź wzór na światłość badanego światła. 9) Jaką powierzchnię przyjmuje się przy definicji kandeli? 10) Czym się różni światłość od natężenia promieniowania? 23 BUDOWA ATOMU Atom składa się z jądra i krążących ( zgodnie z teorią Bohra) wokół niego elektronów. Własności pierwiastków zależą od liczby porządkowej Z. 23.1 Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra po danej orbicie w atomie wodoru Rys. 302 Atom wodoru z krążącym elektronem Krążący wokół jądra elektron posiada energię kinetyczną Ek, ponieważ jest w ruchu oraz energię potencjalną Ep, ponieważ znajduje się w polu elektrycznym jądra wokół, którego krąży. Mamy wobec tego energię całkowitą Ec elektronu krążącego wokół jądra: Ec = Ek + Ep W celu wyprowadzenia wzoru na energię kinetyczną Ek, wychodzimy ze stwierdzenia, że siła dośrodkowa działająca na elektron krążący wokół jądra jest równa sile przyciągania kulombowskiego: Fd = Fc mnożąc obie strony przez r i dzieląc przez 2 otrzymujemy: Aby wyrazić wzorem energię potencjalną jaką posiada elektron krążący wokół jądra należy skorzystać z definicji potencjału: ponieważ potencjał można również wyrazić wzorem: stąd porównując prawe strony ostatnich równań mamy: wobec tego energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra wynosi: stąd: ostatecznie mamy zatem wzór na energię całkowitą elektronu krążącego wokół jądra: Ze wzoru tego wynikają dwa stwierdzenia: 1. Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra jest ujemna. Co to oznacza, jak należy rozumieć energię ujemną? Energię ujemną elektronu należy rozumieć tu w ten sposób, że jeśli dodalibyśmy elektronowi tyle energii ile wynika ze wzoru, to posiadałby on energię równą zeru. Oznaczałoby to, że nie posiadałby on wówczas ani energii kinetycznej ani potencjalnej, tzn. przestałby się poruszać i odsunięty byłby od jądra na taką odległość, że nie posiadałby również energii potencjalnej. Elektron „wyrwany by został z atomu”. Nasuwa się tu pewna analogia energii ujemnej do zadłużenia np.: gospodarczego a tym samym przywiązanie dłużnika do siebie(zniewolenie go). 2. Im mniejszy promień orbity, tym energia całkowita krążącego po niej (wokół jądra elektronu) jest mniejsza tzn. inaczej że jest większa ujemna. Wzbudzenie atomu polega na dostarczeniu mu pewnej energii, oznacza to jej zwiększenie (dokładniej zmniejszenie energii ujemnej, którą posiada elektron krążący wokół jądra atomu. PYTANIA 1) Wymienić części składowe energii elektronu krążącego wokół jądra atomowego. 2) Z jakiego stwierdzenia korzystamy przy wyprowadzeniu wzoru na energię kinetyczną elektronu w atomie wodoru? 3) Wyprowadzić wzór na energię kinetyczną elektronu krążącego wokół jądra atomu wodoru. 4) Z jakiego pojęcia korzystamy przy wyprowadzeniu wzoru na energię kinetyczną elektronu w atomie wodoru? 5) Wyprowadzić wzór na energię potencjalną w atomie wodoru. 6) Czemu jest równa całkowita energia elektronu krążącego po orbicie w atomie wodoru? 7) W jaki sposób wyjaśnia się fakt, że całkowita energia w atomie wodoru jest ujemna? 8) Podać wartości liczbowe i wymiary: ładunku elektronu, stałej Plancka, przenikalności elektrycznej próżni oraz masę elektronu. 9) Podać wzór na promień orbity, po której krąży elektron, uwzględniając dane: ładunek elektronu, masę i prędkość elektronu krążącego po danej orbicie oraz przenikalność elektryczną próżni. 23.2 Serie widmowe Zgodnie z II postulatem Bohra atom może emitować lub absorbować kwanty energii. Zarówno przy emisji jak i przy absorpcji elektrony w atomie zmieniają swoje orbity, po których krążą. Gdy elektron spada z dalszej orbity na bliższą jądra, atom emituje kwant promieniowania o energii równej różnicy energii całkowitych, które elektron posiada na poszczególnych orbitach. Jeśli natomiast atom absorbuje kwant promieniowania, wówczas, w zależności od tej energii, elektron przeskakuje z orbity znajdującej się bliżej jądra na odpowiednio dalszą w zależności od energii zaabsorbowanego kwantu. Podczas emisji energia emitowanego kwantu jest zatem równa: hν = Ec2 – Ec1 stąd częstotliwość ν kwantu określa się wzorem: Jeśli ostatnie wyrażenie na ν chcielibyśmy uzależnić tylko od pewnych stałych takich jak: e = 1.6 ∙10-19 C h = 6.62 ∙10-34 J s ε0 = 8.86 ∙10-12 F/m me = 9.1 ∙10-31 kg a nie od r1 i r2, to musimy się zastanowić co należy wstawić za r1 i za r2 do wzoru na ν. Aby na to pytanie odpowiedzieć wychodzimy ze stwierdzenia, że siłą dośrodkową Fd jest siła przyciągania kulombowskiego: stąd po przekształceniu mamy: Aby we wzorze tym były, zgodnie z naszym życzeniem, jedynie wyżej wymienione stałe musimy skorzystać z II postulatu Bohra. Postulat Bohra mówi, że elektrony w atomie nie mogą krążyć po dowolnych orbitach, ale jedynie po takich, dla których moment ich pędu jest całkowitą wielokrotnością, n, stałej Plancka h podzielonej przez 2π, czyli: stąd: wstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru na r mamy: a zatem ostatecznie po uproszczeniach mamy: wstawiając ostatnio otrzymane wyrażenie na r do wzoru na częstotliwość ν otrzymujemy: przyjmijmy, że: n1 = n – jest to numer orbity, na którą elektron spada n2 = p – jest to numer orbity, z której elektron spada stąd: ponieważ: stąd: gdzie: - jest nazwana liczbą falową, która mówi ile całkowitych długości fal materii mieści się na danej orbicie. Z liczbą falową związany jest wektor falowy wskazujący na kierunek rozchodzenia się fali, oznaczamy go literą k, gdzie: , ponieważ zgodnie z postulatem de Broglie’a: 2π r = nλ stąd: Jeśli atom jest jednokrotnie zjonizowany mamy wówczas: gdzie R jest stałą Rydberga określoną wzorem: Jeśli elektron przechodzi z drugiej orbity (p = 2) na pierwszą (n = 1) mamy wówczas: stąd: Ogólnie jeśli przyjmiemy, że: to: albo: równanie to jak widać jest równaniem prostej, gdzie: a, δ – są odpowiednimi stałymi dla danej linii i danej serii δ – stała przesłaniania elektronów Rys. 303 Graficzne przedstawienie prawa Moseleya Otrzymaliśmy w ten sposób prawo Moseleya, które brzmi: im większa jest liczba atomowa pierwiastka, tym bardziej odpowiadające mu linie promieniowania charakterystycznego przesunięte są w stronę fal krótszych. Prawo Moseleya można przedstawić, dla poszczególnych serii widmowych K, L, M, N... na wykresie w postaci linii prostych, tworzących z osią x – ów coraz mniejsze kąty α, przy czym tgα = a. Rys. 304 Liczba porządkowa pierwiastka jest funkcją długości fali promieniowania charakterystycznego Jak widać z powyższych rozważań prawo Moseleya wiąże się ściśle z charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim. Z rysunku 304 można łatwo odczytać wartości poszczególnych długości fal promieniowania charakterystycznego dla danego pierwiastka o liczbie atomowej Z. Prawo Moseleya odegrało ważną rolę przy usuwaniu luk w układzie Mendelejewa na postawie występujących w widmie charakterystycznym linii. Ustalona dawniej kolejność pierwiastków w układzie okresowym według wzrastających mas atomowych nastręczała w kilku przypadkach kłopoty, gdyż w danej grupie układu znajdował się pierwiastek o odmiennych własnościach chemicznych. Opierając się na tym prawie możemy każdemu pierwiastkowi przypisać jednoznacznie jego liczbę porządkową w układzie Mendelejewa, niezależnie od masy atomowej. 23.2.1 Serie widmowe atomu Jeśli elektron spada z którejkolwiek orbity na orbitę: K, tzn. n = 1, powstaje wówczas seria Lymana – w nadfiolecie, L, tzn. n = 2, powstaje wówczas seria Balmera – w zakresie fal widzialnych, M, tzn. n = 3, powstaje wówczas seria Paschena – w podczerwieni, N, tzn. n = 4, powstaje wówczas seria Bracketta – w podczerwieni, O, tzn. n = 5, powstaje wówczas seria Pfunda – w podczerwieni, P, tzn. n = 6, powstaje wówczas seria Humpreysa – w podczerwieni, Rys. 305 Serie widmowe i odpowiadające im energie Energia jonizacji potrzebna do wyrwania elektronu z orbity: K w atomie wodoru – wynosi 13.6 eV (dla innych atomów energia ta będzie oczywiście większa, ponieważ elektrony będą silniej przyciągane przez jądro na poszczególnych orbitach), z orbity L – eV, z orbity M – eV Ogólnie energia potrzebna do wyrwania elektronu z n – tej orbity jest równa: Promień zaś n – tej orbity rn określa się wzorem: rn = n2 r1 Jest on n2 razy większy niż promień pierwszej orbity. Fakt ten wynika stąd, że: po wstawieniu do tego wzoru za v wartości z II postulatu Bohra: , mamy: stąd: , (dla n = 1, r = r1) z powyższego wynika, że: stąd: rn = n2 r1 PYTANIA 1) Jak brzmi postulat Bohra odnośnie momentu pędu elektronu na danej orbicie? 2) Podać i omówić postulaty teorii atomu Bohra. 3) Podać sposób obliczenia częstotliwości kwantu uzyskanego przy przechodzeniu elektronu z jednej orbity na drugą. 4) Co to jest liczba falowa i jak się ona wiąże ze stałą Rydberga? 5) Czy stała Rydberga jest jednakowa dla wszystkich atomów? 6) Wymienić nazwy serii widmowych w atomie wodoru i podać czym się one charakteryzują oraz kiedy powstają. 7) Ile wynosi energia potrzebna do jonizacji atomu wodoru? 8) Jaki jest wzór na energię elektronu na n – tej orbicie, jeżeli wiemy jaka jest energia elektronu na pierwszej orbicie? 9) Jaki jest promień n – tej orbity, jeżeli znamy promień pierwszej orbity r1? 10) Która z serii widmowych występuje w nadfiolecie, a które w podczerwieni? 24 ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na tym, że foton o energii hν padając na płytkę metalową wytrąca z niej elektron. Rys. 306 Foton padający na płytkę metalową wytrąca z niej elektron 24.1 Bilans energetyczny zjawiska fotoelektrycznego Energia kwantu hν zamienia się na pracę W - wyjścia elektronu z naświetlanej płytki potrzebną do wyrwania elektronu z płytki oraz energię kinetyczną, Ek, , którą ten elektron uzyskuje opuszczając płytkę: Rozpatrując bilans energetyczny zjawiska fotoelektrycznego stawiamy najczęściej dwa zasadnicze pytania: 1. Od czego zależy prędkość, v, wytrącanego w zjawisku fotoelektrycznym elektronu? Odpowiadając na to pytanie należy stwierdzić, że prędkość ta zależy, jak widać ze wzoru, od częstości, ν, padającego kwantu i od pracy wyjścia elektronu W. Mówiąc innymi słowami, prędkość, v, zależy od długości fali, λ, związanej oczywiście znanym już wzorem z częstotliwością ν, która decyduje o barwie światła, a zatem prędkość elektronu wytrącanego z metalu przez kwant światła zależy od barwy światła padającego na metalową płytkę i wywołującego efekt fotoelektryczny. 2. Od czego zależy ilość elektronów opuszczających płytkę? Odpowiadając na to pytanie można stwierdzić, że ilość elektronów opuszczających płytkę zależy od ilości fotonów padających na płytkę, czyli od natężenia promieniowania, I, lub inaczej w pewnym sensie, od oświetlenia E. Zjawisko fotoelektryczne występuje m. in. w fotokomórkach. 24.2 Fotokomórka Fotokomórka jest to bańka szklana opróżniona z powietrza wewnątrz, której znajduje się katoda K w postaci czaszy metalowej pokrytej tlenkami Cs, Tr, lub Ba – posiadającymi małą pracę wyjścia oraz anoda A w postaci pętli wykonanej z drucika. Elektrony po wyjściu z katody, na skutek padających na nią kwantów światła o energii hν, dążą do anody, podłączonej z plusem baterii. Fotokomórkę wykorzystuje się np.: do liczenia przedmiotów na taśmie do zapalania wieczorem świateł ulicznych, gdy zapada zmierzch (brakuje wówczas kwantów promieniowania słonecznego. Rys. 307 Budowa i zasada działania fotokomórki oraz jej charakterystyki prądowo – napięciowe PYTANIA 1) Na czym polega zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne? 2) Napisać wzór na bilans energetyczny dla zjawiska fotoelektrycznego. 3) Od czego zależy prędkość elektronów opuszczających płytkę w zjawisku fotoelektrycznym? 4) Od czego zależy ilość elektronów opuszczających płytkę w zjawisku fotoelektrycznym? 5) Gdzie wykorzystuje się zjawisko fotoelektryczne, podać i omówić przykłady. 6) Jak zbudowana jest fotokomórka i do czego służy? 25 PROMIENIOWANIE RENTGENOWSKIE Promienie Roentgena uzyskuje się w lampie rentgenowskiej zbudowanej w postaci bańki szklanej opróżnionej z powietrza, w której znajduje się katoda o parabolicznym kształcie i anoda - wykonana z grubej sztaby miedzianej (miedź posiada dużą przewodność cieplną λ). Ta duża przewodność cieplna miedzi ważna jest z tego względu, że 99% energii zamienia się w lampie rentgenowskiej na ciepło, którego odprowadzenie stanowi poważny problem omówiony szczegółowo poniżej. Jedynie 1% energii zamienia się na energię promieniowania rentgenowskiego. Miedź ma jednak zbyt niską temperaturę topnienia (TtCu = 1500˚C) i w związku z tym zbyt łatwo by się topiła. Wobec tego w anodzie w miejscu, gdzie padają elektrony (w tzw. ognisku) wstawia się płytkę wolframową, której temperatura topnienia jest znacznie wyższa (TtWo = 3500˚C). Aby skutecznie odprowadzić te duże ilości ciepła, które wytwarzają się w anodach lamp rentgenowskich, anody te chłodzi się np. wodą albo całą lampę umieszcza się w oleju. Anody wykonuje się również w postaci wirującego stożka ściętego. Wirującego dlatego, aby przy jego obrocie, elektrony padały za każdym razem w inne miejsce i w ten sposób mniej nagrzewała się anoda. Stożkowy kształt anody ułatwia kwantom promieniowania rentgenowskiego wyjście ich w odpowiednim kierunku przez szkło lampy. Poza tym anoda zaopatrzona jest w radiator, który pomalowany jest, podobnie jak cała lampa, na czarno. Czarny kolor, jak wiadomo, posiada ε ≈ 1 i w związku z tym większa ilość energii, zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna (I = ε σ T4) oddawana jest przez lampę na drodze promieniowania temperaturowego. Uż = 6 do 12V Rys. 308 Budowa i zasada działania lampy rentgenowskiej 25.1 Mechanizm powstawania promieni X (rentgenowskich) W celu otrzymania promieni X należy elektrony wychodzące z katody rozpędzić do bardzo dużych prędkości. Dokonuje się tego za pomocą napięcia anodowego, Ua, przyłożonego między katodą i anodą. Prędkości elektronów określa się na podstawie wzoru: gdzie: m – masa elektronu (m = 9.1 10-31kg) e – ładunek elektronu (e = 1.6 10-19C) stąd: Rozpędzone do dużych prędkości elektrony zostają gwałtownie zahamowane na anodzie. Ich energia kinetyczna w 99% zamienia się na ciepło , a tylko w ok. 1% na energię promieniowania rentgenowskiego. PYTANIA 1) Co to są promienie rentgena? 2) W jaki sposób powstają promienie rentgena? 3) Z czego i jak zbudowana jest anoda w lampie rentgenowskiej? 4) Dlaczego w anodach lamp rentgenowskich stosuje się wolfram i miedź? 5) Jaka część energii w lampie rentgenowskiej zamienia się na ciepło, a jaka w promienie rentgenowskie? 6) Jakie napięcia i o jakiej wartości występują w lampie rentgenowskiej? 7) Jaka energia zamienia się bezpośrednio w energię kinetyczną elektronów? Podać wzór. 8) Wyprowadzić wzór na prędkość elektronów w lampie rentgenowskiej. 9) Dlaczego w lampie rentgenowskiej energia pola elektrycznego się nie zmniejsza, chociaż jej kosztem elektrony uzyskują energię elektryczną? 25.2 Widmo ciągłe i charakterystyczne promieni X Na tle widma ciągłego promieni rentgenowskich można zaobserwować widmo charakterystyczne. Rys. 309 Widmo ciągłe i charakterystyczne dla różnych napięć anodowych Ua lampy rentgenowskiej Najkrótszą falę λmin promieniowania rentgenowskiego, a zatem i najmniejszą energię, przy danym napięciu anodowym można uzyskać wówczas, gdy cała energia kinetyczna elektronu zamieni się w energię promieniowania. Fakt ten można zapisać w sposób następujący: stąd, ponieważ: mamy: (1) W miarę wzrostu Ua, λmin przesuwa się w stronę fal krótszych. Im krótsze fale tym są bardziej przenikliwe wzrasta ich tzw. „twardość”. Promienie „miękkie” mają dłuższe λmin. Lampa Collidge’a znalazła szczególnie pouczające zastosowanie w terapii nowotworów skóry. Komórki nowotworowe są zwykle, młode, a zatem wrażliwe na promieniowanie jonizujące. Chodzi jednakże w tym przypadku o to, aby nie niszczyć zdrowych komórek organizmu, znajdujących się w jego wnętrzu. W związku z tym stosujemy stosunkowo „małe” napięcia anodowe Ua (ok. 60kV) aby uzyskać miękkie, mało przenikliwe promieniowanie. „Duże” zaś, jak na żarzenie, napięcie żarzenia, UŻ (ok. 12V), co daje w efekcie promieniowanie o dużym natężeniu promieniowania X, które padając na powierzchnię ciała pokrytego komórkami nowotworowymi skutecznie niszczy je. Elektron wychodząc (na skutek zjawiska termoelektrycznego) z katody pędzi z olbrzymią prędkością, zależną od napięcia anodowego, a przechodząc przez atom wolframu znajdujący się w anodzie jest przez niego hamowany i to nie tylko przez jego jądro, ale również przez powłoki elektronowe owego atomu. Na skutek tego hamowania uzyskuje się widmo ciągłe. Gdyby zaś elektron przechodząc przez atom wolframu zderzył się z jednym z elektronów krążących po jego orbitach otrzymalibyśmy wówczas promieniowanie charakterystyczne: odpowiednio K, L, M itd. w zależności od tego, z której orbity wytrącony został elektron. Miejsce po wytrąconym elektronie nie może pozostać wolne. Elektrony „spadające” z dalszych od jądra orbit na bliższe, zmniejszają swoją energię całkowitą i dzięki temu kwanty promieniowania charakterystycznego uzyskują np.: energię (hν = E2 – E1) – w przypadku jeśli elektron spada z drugiej orbity na pierwszą. Rys. 310 Atom wolframu w anodzie wypromieniowujący kwant hν Rys. 311 Zależność natężenia promieniowania X od UŻ (napięcia żarzenia lampy) PYTANIA 1) Przedstawić na wykresie widmo ciągłe i charakterystyczne lampy rentgenowskiej dla różnych napięć anodowych. 2) Co to jest λmin i od czego zależy? 3) Czym się różni jonowa lampa rentgenowska od próżniowej lampy Coolidge’a? 4) Dlaczego promienie rentgenowskie nazwane zostały promieniami hamowania? 5) W jaki sposób na skutek gwałtownego hamowania elektronów powstają kwanty promieniowania rentgenowskiego? 6) W jaki sposób i dlaczego odbywa się hamowanie elektronów pędzących z katody? 7) W jaki sposób powstaje promieniowanie charakterystyczne w lampie rentgenowskiej? 8) W jaki sposób w lampie Coolidge’a uzyskuje się wzrost natężenia promieniowania rentgenowskiego bez zmiany jego twardości? 9) Przedstawić na wykresie zależność natężenia promieni rentgenowskich od długości fali dla różnych napięć żarzenia. 25.3 Prawo absorpcji promieni X Prawo absorpcji mówi, że promienie padając na płytkę o grubości x zostają przez nią absorbowane. Prawo to podaje się w postaci wzoru: I = I0 e-μx (2) albo w postaci wykresu przedstawionego na rys. 312. Rys. 312 Pochłanianie promieni X przez płytkę 25.3.1 Grubość warstwy połowiącej D1/2 Grubość warstwy połowiącej D1/2 – tj. taka grubość absorbująca, która zmniejsza natężenie przechodzące przez płytkę do połowy wartości natężenia I0 padającego na płytkę tzn. do wartości , czyli gdy: wówczas: x = D1/2 Wstawiając do wzoru (2) stanowiącego prawo absorpcji powyższe wyrażenia na I oraz x mamy: gdzie: μ – liniowy współczynnik absorpcji x – grubość płytki e – podstawa logarytmów naturalnych, która jest liczbą niewymierną opisującą wiele różnych zjawisk w przyrodzie (e = 2.7182818284590...), mamy zatem: logarytmując obie strony mamy: ln1 – ln2 = -μD1/2 lne korzystając z definicji logarytmu, którą warto sobie tu przypomnieć , mamy: ln1 = 0, ponieważ: eo = 1; lne = 1, ponieważ: e1 = e stąd: +ln2 = +μD1/2 a wobec tego: stąd: (3) μ = k Z4 λ3 (4) gdzie: Z – liczba porządkowa atomów tworzących płytkę k – współczynnik proporcjonalności λ – długość fali promieni X Rys. 313 Zależność współczynnika absorpcji μ od λ tzn. od energii kwantu promieni X Jeśli prześledzimy na podstawie wzorów 1, 2, 3, 4 rysunek 313, to łatwo się przekonamy, że: 1. im cięższy pierwiastek, tym lepiej absorbuje (Z4), (patrz wzór 4) 2. im mniejsze napięcie Ua, tym większe λmin (patrz wzór 1) i tym mniejsze D1/2 (patrz wzór 3) Rys. 314 Zależność absorpcji promieniowania X od Z oraz od Ua 25.3.2 Mechanizm absorpcji promieni X oraz γ Promienie X oraz γ mogą być absorbowane na skutek występowania takich zjawisk jak: a) zjawisko Comptona, b) zjawisko fotoelektryczne, c) zjawisko tworzenia się par 25.3.2.1 Zjawisko Comptona Zjawisko Comptona polega na tym, że kwant promieniowania X lub γ padając na związany z atomem elektron zmienia swoją energię i pęd w sposób pokazany na rys. 315. Rys. 315 Zjawisko Comptona Wychodząc z zasad zachowania: energii i pędu można wyprowadzić wzór na zmianę długości fali Δλ kwantów rozpraszanych na elektronach. Zasada zachowania energii wyraża się w tym przypadku w postaci: Zasada zachowania pędu zaś w postaci: po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy: Zjawisko fotoelektryczne omówione zostało już wcześniej. 25.3.2.2. Tworzenie się par elektron - pozyton Pary: elektron – pozyton tworzą się między orbitą K i jądrem atomowym danego pierwiastka, wówczas gdy kwant mający energię nie mniejszą niż 1.022 MeV przelatuje w pobliżu jądra a jego pole elektryczne oddziałuje z polem elektrycznym jądra. Sumaryczny współczynnik absorpcji będący wynikiem trzech wyżej wymienionych zjawisk można przedstawić na wykresie w funkcji energii w sposób następujący: Rys. 316 Zależność μ od E dla: a) zjawiska Comptona, b) zjawiska fotoelektrycznego, c) tworzenia się par Na rysunku powyższym (rys. 316) pokazane zostało jaki jest udział poszczególnych zjawisk w absorpcji promieniowania X w zależności od energii kwantów promieniowania padającego na płytkę. Z rysunku tego widać również jak zależy całkowity liniowy współczynnik absorpcji μ od energii promieniowania rentgenowskiego. PYTANIA 1) Narysować wykres oraz rysunek przedstawiające prawo absorpcji promieni rentgenowskich. 2) Napisać i objaśnić wzór przedstawiający prawo absorpcji promieniowania rentgenowskiego. 3) Co to jest grubość warstwy połowiącej i od czego ona zależy? 4) Jaki jest związek między grubością warstwy połowiącej i współczynnikiem absorpcji liniowej? 5) Od czego zależy współczynnik absorpcji liniowej? (podać wzór). 6) Przedstawić na wykresie zależność współczynnika absorpcji liniowej od długości fali. 7) Przedstawić na jednym wykresie zależność natężenia promieniowania rentgenowskiego od grubości materiału dla dwóch różnych napięć i dwóch różnych materiałów. 25.4 Doświadczenie Laue’go Promienie rentgenowskie przy przechodzeniu przez siatkę dyfrakcyjną nie ulegają dyfrakcji ponieważ stała siatki – d (w porównaniu z długością fali λ) jest zbyt duża –. fizycy, zanim do tego wniosku doszli, długo się nad tym zastanawiali, dopiero pomysł Lauego i jego doświadczenie ostatecznie wyjaśniły to zagadnienie. Rys. 317 Ślady na błonie w doświadczeniu Lauego W oparciu o doświadczenie Lauego Braggowie (ojciec z synem) wyznaczyli długość fali λ promieni rentgenowskich (za co uzyskali nagrodę Nobla w 1915 r.) Rys. 318 Wyznaczenie długości fali promieni X przez Braggów Na płytkę cynkową puszczono wiązkę promieni równoległych. Jeśli długości dróg 1 i 2 będą różniły się o całkowitą długość fali λ promieniowania X, to na ekranie ustawionym na drodze odbitych promieni zauważymy zaciemnienie kliszy rentgenowskiej. Θ – kąt odbłysku dla cynku wynos on 6˚ 23’ stąd: nλ = 2d sinΘ n – odpowiednik rzędu widma w siatce dyfrakcyjnej PYTANIA 1) Na czym polegało doświadczenie Laue’go? 2) Za co Braggowie otrzymali nagrodę Nobla? 3) Narysować odpowiedni rysunek i napisać wzór, według którego Braggowie wyznaczyli długość fali. 4) Co to jest kąt odbłysku – pokazać na rysunku. 25.5 Fale materii de Broglie’a De Broglie w 1924 r. wysunął hipotezę, że każda cząsteczka o masie m i prędkości v posiada równoważną sobie falę materii o długości λ. zgodnie bowiem ze wzorem Einsteina: hν = m c2 ponieważ: wobec tego: stąd: Przyjmując powyższą hipotezę – na jej podstawie – de Broglie doszedł do II postulatu Bohra według, którego dozwolone są tylko takie orbity dla krążących elektronów, które spełniają warunek: De Broglie twierdził mianowicie, że dozwolone są tylko takie orbity, na których mieści się całkowita wielokrotność długości fal materii λ, a zatem: 2 π r = n λ po wstawieniu za: mamy: stąd otrzymujemy postulat Bohra: Davison i Germer oraz Sz. Szczeniowski, na podstawie doświadczeń stwierdzili w 1928 i 1929 r, że elektrony ulegają dyfrakcji, tak jak fale elektromagnetyczne. W oparciu o teorię fal materii de Broglie’a zbudowane zostały, mikroskopy elektronowe. Teoretyczne istnienie fal materii zostało zatem potwierdzone doświadczalnie. Rys. 319 Orbita elektronowa, na której mieści się całkowita liczba fal materii De Broglie’a PYTANIA 1) Co to są fale materii i jak określa się ich długość? 2) Pokazać jak otrzymuje się postulat Bohra wychodząc z hipotezy fal materii de Broglie’a. 3) Jakie orbity elektronowe w atomie są według de Broglie’a dozwolone, a jakie niedozwolone? 4) W jakich przyrządach praktycznie potwierdzona została hipoteza fal de Broglie’a? 25.5.1 Mechanika kwantowa Ruch fal materii opisuje się za pomocą funkcji falowej Ψ. Sens fizyczny funkcji falowej podał Max Born, mówiąc, że: „kwadrat modułu funkcji falowej opisującej daną cząstkę w ustalonym miejscu jest wprost proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia tej cząstki jako korpuskuły w tym miejscu. Oznacza to, że dla cząstki padającej na granicę dwóch obszarów ekwipotencjalnych istnieje pewne prawdopodobieństwo zarówno przejścia przez granicę jak i odbicia się od niej, podobnie jak w przypadku światła. Światło jest jak wiadomo falą elektromagnetyczną, padając na granicę dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania - przechodzi ono częściowo do drugiego ośrodka, ulegając absorpcji, zgodnie z prawem Lamberta – Bera, a częściowo się odbija. Inaczej mówiąc, jeśli na granicę dwóch obszarów ekwipotencjalnych pada strumień cząstek np.: elektronów, to pewne cząstki z tej wiązki przechodzą przez tę granicę, a inne się od niej odbijają. Podobnie zjawisko zachodzi będzie przy przechodzeniu cząstki przez obszar hamującego pola elektrycznego, bowiem maleje zarówno jej energia kinetyczna Ek, jak i pęd , a zatem rośnie długość fali związanej z tą cząstką . Amplituda fali de Broglie’a maleje wykładniczo bardzo szybko do zera. Oznacza to, że istnieje określone prawdopodobieństwo znalezienia elektronu poza granicami obszarów, na których następuje skokowe zwiększenie energii potencjalnej elektronu. Prawdopodobieństwo to spada jednak do zera na bardzo małej odległości. Oznacza to, że elektron zostanie odbity lub pochłonięty. Jeśli natomiast strumień elektronów pada na obszar bariery potencjalnej o skończonej szerokości, to niektóre z elektronów przejdą, podobnie jak kwanty światła padające na cienkie folie, bez zmiany swojej energii. Efekt ten nazwany został zjawiskiem tunelowym. Prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez obszar bariery potencjalnej jest tym mniejsze im wyższa i szersza jest ta bariera oraz im większa jest masa cząstki. Widmo fal materii de Broglie’a jest nieciągłe (dyskretne), ponieważ elektron poruszający się w studni potencjału odbija się sprężyście od jej ścian bez zmiany energii kinetycznej. Poruszającemu się elektronowi w studni potencjału odpowiada stojąca fala materii de Broglie’a. Ma ona węzły na ściankach studni podobne do węzłów wytwarzających się na końcach umocowanej struny. W studni potencjału, tak jak na strunie o długości l mieści się całkowita wielokrotność połówek długości fal, tzn.: stąd: ale ponieważ: to: wstawiając za λ mamy: ponieważ energia kinetyczna elektronu związana jest z jego pędem zależnością: mamy zatem: Z tego wzoru wynika, że energia elektronu zamkniętego w studni potencjalnej może mieć jedynie wartości nie ciągłe, a zatem skwantowane, ponieważ n jest liczbą całkowitą noszącą nazwę głównej liczby kwantowej. Poszczególne wartości jakie może przyjmować energia elektronu nazywamy poziomami energetycznymi, wszystkie one razem tworzą widmo nie ciągłe, albo inaczej dyskretne. Energia elektronu w stanie podstawowym dla (n = 1) nosi nazwę energii zerowej. Pozostałe stany, w których może znajdować się elektron (n > 1) nazywają się stanami wzbudzonymi atomu. Skwantowanie energii jest cechą charakterystyczną falowego ruchu cząstki, zawsze wtedy, gdy ruch odbywa się w obszarze zamkniętym tak jest np.: w przypadku ruchu elektronu w atomie. Elektron w atomie w różnych obszarach nie przebywa jednakowo długo. Dla fali stojącej w strunie zamocowanej na końcach obowiązuje równanie: gdzie: jest amplitudą fali, której kwadrat jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni. Rys. 320 Funkcja Ψ i kwadrat jej amplitudy 25.5.1.1 Stan energetyczny atomu wzbudzonego Zależność Ie​ (prądu elektronowego) od napięcia przyspieszającego otrzymali w 1913 r. J. Franck i G. Hertz wykonując doświadczenie. W bańce szklanej opróżnionej z powietrza i wypełnionej parami rtęci, w której umieszczono katodę K, siatkę S i anodę A, podłączono źródła prądu jak na schemacie. Rys. 321 Schemat aparatury oraz wykres uzyskany na podstawie doświadczenia Francka – Hertza Z uzyskanego na podstawie doświadczenia wykresu wynika, że gdy elektrony w lampie uzyskują pod wpływem pola elektrycznego energię 4.9 eV lub jej wielokrotność tj. 9.8 eV albo 3 · 4.9 = 14.7 eV itd. natężenie prądu w lampie spada tzn. że mniej elektronów dochodzi wówczas do anody. Dzieje się to tak, ponieważ na skutek ich zderzenia z atomami rtęci tracą one część swojej energii i nie mogą przedostać się przez „ujemne” pole siatki. Badacze ci stwierdzili jednocześnie, że przy napięciach 4.9, 9.8, 14.7 V pojawia się świecenie ultrafioletowe o długości fali λ = 253.7 nm związane ze wzbudzeniem atomów rtęci. Stan wzbudzenia polega na tym, że elektrony położone bliżej jądra zostają przesunięte na dalsze orbity i zyskują przez to większą energię. Stan wzbudzenia jest przemijający. Atomy rtęci wracają do stanu początkowego wypromieniowując nadmiar zdobytej w zderzeniu z elektronami energii w postaci kwantów, których energia E = hν = równa jest energii, jaką atomy rtęci uzyskały przy zderzeniu z elektronami. Promieniowanie to nazywamy promieniowaniem rezonansowym. Jeśli energia elektronu zderzającego się z atomem jest odpowiednio duża, to następuje wytrącenie elektronu z atomu czyli jego jonizacja. Energia ta nosi nazwę energii wiązania elektronu w atomie lub energii jonizacji atomu. Energia jonizacji atomu rtęci wynosi 10.4 eV, a wodoru 13.53 eV. Energia ta zależy od siły kulombowskiego oddziaływania między jądrem i elektronem znajdującym się na ostatniej orbicie. Atomy mogą być wzbudzane za pomocą fotonów. Najłatwiej wzbudzić atomy danego pierwiastka do określonego poziomu energetycznego oświetlając je światłem emitowanym przez atomy tego samego pierwiastka, albo umieścić je w płomieniu palnika. Takie wzbudzenie nazywa się wzbudzeniem termicznym. L. Boltzmann wykazał, że liczba atomów w n – tym stanie wzbudzonym w danej temperaturze T wynosi: gdzie: N0 i E0 – liczba i energia atomów w stanie podstawowym. Zależność powyższa przedstawiona została na wykresie: Rys. 322 Rozkład obsadzeń poziomów energetycznych Z wykresu widać, że im wyższy stan energetyczny atomu w danej temperaturze, tym mniej atomów znajduje się w tym stanie. Rozkład ten nosi nazwę rozkładu naturalnego lub boltzmanowskiego. Wzbudzone atomy emitują fotony zarówno w chwilach jak i w kierunkach zupełnie od siebie niezależnych i przypadkowych. Taką emisję bez udziału czynnika zewnętrznego nazwano emisją samorzutną lub spontaniczną. Ten statystyczny charakter prawa pozwala przewidzieć ile w przybliżeniu atomów dokona odpowiedniego przejścia ze stanu wzbudzenia do stanu podstawowego. Jeśli w chwili t na wzbudzonym poziomie znajduje się N atomów, prawdopodobieństwo przejścia dN atomów ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego w czasie dt jest proporcjonalne do tego czasu: gdzie: A – współczynnik proporcjonalności nazwany prawdopodobieństwem przejścia atomu ze stanu wzbudzonego do podstawowego w jednostce czasu. Całkując powyższe równanie mamy: lnN = - At + const W chwili t = 0 mamy N0 atomów, a zatem lnN0 = const stąd: lnN = lnN0 – At i ostatecznie mamy: N = N0 e-At Otrzymaliśmy wykładnicze prawo zaniku liczby atomów wzbudzonych w czasie . Na wykresie można to prawo przedstawić w sposób następujący: Rys. 323 Liczba atomów w stanie wzbudzonym zmniejsza się w czasie W. Wien wykazał doświadczalnie, że czas przebywania różnych atomów w stanie wzbudzonym nie jest jednakowy. Aby obliczyć średni czas życia, τ, atomu w stanie wzbudzonym należy sumę czasów życia poszczególnych atomów w stanie wzbudzonym podzielić przez liczbę atomów, a zatem: Dla wzbudzonego poziomu atomu rtęci o energii 4.9 eV Wien otrzymał τ = 9.8 · 10-8s. Stwierdzono, że istnieje związek między τ i A: dlatego: Wien wyznaczył stąd średni czas życia w stanie wzbudzonym. W 1926 r. E. Schrödinger podał równanie: Można je otrzymać przyjmując ogólnie, że ψ jest funkcją zależną od położenia i czasu w sposób następujący: ψ = f(x – vt) różniczkując tę funkcję dwukrotnie względem t, a następnie względem x: otrzymujemy: wstawiając do ostatniego wyrażenia za: otrzymujemy równanie falowe: ponieważ: znajdujemy pierwszą i drugą pochodną tej funkcji: pochodna pierwszej pochodnej jest drugą pochodną: ponieważ ω = 2πν, to: wstawiając ostatnie wyrażenie do równania falowego mamy: stąd: ponieważ: oraz wobec tego: stąd mamy zatem: Energia całkowita elektronu E równa jest sumie jego energii kinetycznej Ek i potencjalnej U, tzn. E = Ek + U, stąd: Ek = E – U Ponieważ m2v2 = 2mEk, to: m2v2 = 2m(E – U) otrzymujemy zatem ostatecznie znane równanie Schrödingera: które stało się podstawą mechaniki kwantowej. Pozwala ono przy danej energii potencjalnej znaleźć całkowitą energię cząstki i funkcję falową opisującą stan falowy obiektu związany z prawdopodobieństwem znalezienia jego w określonym położeniu. Schrödinger zastosował swoje równanie do opisu atomu wodoru, tworząc w ten sposób falowy model atomu. Stany atomu określone są przez całkowitą energię atomu i moment pędu elektronu. Rozwiązując to równanie otrzymujemy wzory na energie całkowite elektronu na poszczególnych orbitach atomu w modelu Bohra. To, co Bohr przyjął jako postulat, iż dozwolone są tylko takie orbity elektronowe w atomach, dla których spełniony jest warunek: mvr = nħ z równania Schrödingera wynika jako konsekwencja falowych własności elektronu. Główna liczba kwantowa n oznacza liczbę wszystkich powierzchni węzłowych, charakteryzujących odpowiedni stan stacjonarny atomu, podobnie jak w akustycznych falach stojących powstających na kołowej membranie. Z równania Schrödingera wynika, że istnieje kilka funkcji falowych opisujących ten sam stan energetyczny atomu, mówi się wówczas, że taki stan energetyczny jest kilkakrotnie zwyrodniały lub zdegenerowany. Zespół stanów o tej samej liczbie kwantowej nazywa się powłoką elektronową. Powłoki elektronowe oznaczane są kolejno dużymi literami K, L, M, N, O, P, Q. Liczba funkcji falowych opisujących n -–tą powłokę wynosi n2 – tyle też krotnie stan energetyczny n – tej powłoki jest zdegenerowany. W mechanice kwantowej orbity borowskie tracą sens ponieważ elektronowi przypisujemy własności falowe, dlatego można mówić tylko o prawdopodobieństwie znalezienia elektronu w tej lub innej części przestrzeni wokół jądra atomowego. Maksimum gęstości prawdopodobieństwa w atomie wodoru przypada w odległości od jądra równej promieniowi pierwszej orbity Bohra. Rys. 324 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa występowania elektronu w atomie wodoru 25.5.2 Zjawisko Zeemana (liczby kwantowe) Już w 1896 r. P. Zeeman umieszczając różne źródła światła o widmach liniowych w silnym polu magnetycznym zaobserwował ich rozszczepienie na dwie lub trzy linie. Związane jest to z rozszczepianiem poziomów energetycznych „świecących” atomów w polu magnetycznym. Rys. 325 Rozszczepienie poziomów energetycznych atomu w zewnętrznym polu magnetycznym (zjawisko Zeemana) W modelu Bohra liczba kwantowa n określała zarówno energię jak i moment pędu elektronu na poszczególnych orbitach. Z rozwiązania równania Schrödingera wynika, że wartość orbitalnego momentu pędu L określona jest przez odrębną tzw. orbitalną liczbę kwantową l zależnością: l – może przyjmować następujące wartości: 0, 1, 2, ... n – 1. Podpowłoki odpowiadające kolejnym l oznaczono literami: s, p, d, f, g, h, i. Aby odróżnić podpowłoki wchodzące w skład różnych powłok przed symbolem podpowłoki umieszcza się wartość głównej liczby kwantowej n. W każdej podpowłoce jest 2l + 1 stanów tak jak pokazano w poniższej tabeli: Powłoka Podpowłoka Orbitalny moment pędu Liczba stanów w powłoce n2 Liczba stanów w podpowłoce (2l +1) K (n = 1) 1s (l = 0) L = 0 1 1 L (n = 2) 2s (l = 0) 2p (l = 1) L = 0 4 1 3 M (n = 3) 3s (l = 0) 3p (l = 1) 3d (l = 2) L = 0 9 1 3 5 Jak widać z powyższej tabelki w mechanice kwantowej L może przyjmować wartości zerowe co nie było możliwe w teorii Bohra. Model atomu Bohra wykorzystany został do poglądowego wprowadzenia orbitalnego momentu magnetycznego oraz momentu pędu elektronu L = mvr. Oba te wektory leżą na jednej prostej ale mają przeciwne zwroty każdy określony regułą śruby prawoskrętnej. Stosunek Mm do L przyjmuje wartość: stąd: gdzie: - jest magnetonem Bohra. Magneton Bohra jest najmniejszym momentem magnetycznym dlatego też można go nazwać kwantem momentu magnetycznego. Elektron w atomie, z wyjątkiem stanu s, jest dipolem magnetycznym o momencie magnetycznym Mm i jako taki, umieszczony w polu o indukcji B posiada magnetyczną energię potencjalną Em określoną wzorem: Em = MmB cosα Zgodnie z mechaniką kwantową, zarówno Mm jak i L mogą tworzyć z wyróżnionym kierunkiem Z pola magnetycznego tylko takie kąty, dla których rzut wektora Mm na ten kierunek wyrazi się wzorem: a zatem przyjmuje on wartości dyskretne zgodnie ze wzorem: MmZ = - m1 μB gdzie: m1 – orbitalna magnetyczna liczba kwantowa, która przyjmuje (2l +1) wartości tzn.: m1 = -1, -(l +1), ..., -1, 0, 1, ... , (l +1), 1 Rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek spełnia natomiast warunek: LZ = m1 ħ Elektron w atomie zachowuje się w polu magnetycznym pozostałych elektronów tak jak bąk tzn. zarówno Mm jak i L wykonują ruch precesyjny zakreślając stożek o kącie rozwarcia 2α, którego: Energię potencjalną elektronu znajdującego się w polu magnetycznym pozostałych elektronów wyraża się wzorem: Em = m1 μB B Łatwo można sprawdzić jednostki wielkości występujących we wzorze. [J = Am2 Wb m-2 = AVs = J] Sprawdzono jak widać zgodność jednostek, po obu stronach równania jest J. 25.5.3 Spin Stwierdzono, że w zewnętrznym polu magnetycznym oprócz rozszczepiania się poziomów energetycznych istnieją rozszczepienia linii nawet bez pola. Sód posiada np.: rozszczepienia linii żółtej na dwie linie (dublet) o długościach λ1 = 589.0 nm i λ2 = 589.6 nm, takie rozszczepienie nazywa się subtelną strukturą widm atomowych. W 1925 r. G. Goudsmit i s. Uhlenbeck wyjaśnili tego typu rozszczepienie linii widmowych przyjmując, że elektron ma nie tylko orbitalny moment pędu ale również moment pędu wynikający z ruchu elektronu wokół własnej osi Ls, który nazwano spinem. Ze spinem związany jest z kolei spinowy moment magnetyczny Ms. Z relatywistyczno – kwantowej teorii elektronu P. Diraca (1928), wynika, że spinowy moment pędu jest skwantowany zgodnie ze wzorem: gdzie: s – spinowa liczba kwantowa, przyjmuje ona tylko jedną wartość: . Spinowy moment pędu elektronu jest zawsze równy: niezależnie od tego gdzie się elektron znajduje, w atomie czy też poza nim. Ls jest taką samą cechą fizyczną elektronu jak jego masa lub ładunek. Spinowy moment magnetyczny elektronu zwrócony jest przeciwnie do spinowego momentu pędu, co wynika z reguły śruby prawoskrętnej, i ma wartość: porównując stosunek: z łatwo można stwierdzić, że jest on dwa razy większy od tzn.: Spinowy moment magnetyczny elektronu, a więc i spinowy moment pędu są również skwantowane przestrzennie. Rzut spinowego momentu pędu na wyróżniony kierunek osi z, np.: kierunek pola magnetycznego o indukcji B wynosi: Lsz = Ls cosα I przyjmuje wartość: Lsz = ms ħ Gdzie: ms – spinowa magnetyczna liczba kwantowa Liczba kwantowa mówi o kierunku zgodnym z kierunkiem wyróżnionym, a o kierunku przeciwnym do wyróżnionego. Przyjmuje się, że liczbie kwantowej odpowiada moment magnetyczny zwrócony zgodnie z kierunkiem indukcji magnetycznej B, zewnętrznego pola magnetycznego, a o zwrocie przeciwnym. Rozszczepienie poziomów energetycznych związane jest z oddziaływaniem magnetycznym spin – orbita. Spinowemu momentowi magnetycznemu Ms skierowanemu zgodnie z B odpowiada większa energia niż skierowanemu przeciwnie. Fakt ten stał się przyczyną rozszczepienia linii widmowych. 25.5.4 Zakaz Pauliego Z punktu widzenia fizyki klasycznej identyczne cząstki są rozróżnialne np.: podczas zderzeń. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, cząstek identycznych nie możemy odróżnić, możemy jedynie podać prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w określonym elemencie objętości. W 1925 r. W. Pauli podał regułę zwaną zakazem Pauliego, która mówi, że w atomie nie może być dwóch elektronów w tym samym stanie kwantowym tzn. nie mogą one posiadać identycznych liczb kwantowych: n, l, m, s. Zakaz Pauliego jest jednym z ogólnych praw mechaniki kwantowej. Dzięki niemu udało się sformułować teorię do tablicy Mendelejewa. Energie jakie mogą przyjmować atomy zależą od wszystkich czterech liczb kwantowych: n, l, m, s. Liczba stanów energetycznych w powłoce o numerze n wynosi 2n2. Zapełnianie powłok elektronami wymaga spełnienia trzech warunków: 1. ogólna liczba elektronów w atomie ma być równa liczbie protonów w jądrze i stanowi ona liczbę porządkową pierwiastka 2. energia elektronów w stanie podstawowym ma wartość najmniejszą 3. elektrony w atomie podlegają zakazowi Pauliego Tablica kolejności zajmowania powłok w atomie przez elektrony Powłoka Liczby kwantowe Liczba stanów n L m w pod-powłoce w powłoce K 1 0(s) 0 2 2·12 = 2 L 2 0(s) 1(p) 0 -1, 0, +1 2 6 2·22 = 8 M 3 0(s) 1(p) 2(d) 0 -1, 0, +1 -2, -1, 0, +1, +2 2 6 10 2·32 = 18 N 4 0(s) 1(p) 2(d) 3(f) 0 -1, 0, +1 -2, -1, 0, +1, +2 -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 2 6 10 14 2·42 = 32 Spełnienie tych warunków wymaga określonego porządku zapełniania powłok elektronami w atomach w zależności od ich liczby. Ogólny porządek rozmieszczenia elektronów w atomie zapisuje się w postaci: n·lx, gdzie x – oznacza liczbę elektronów w podpowłoce l n – tej orbity. Porównując tabelę konfiguracyjną elektronowych stanów podstawowych pierwiastków z układem okresowym łatwo zauważyć w jaki sposób rozmieszczenie elektronów w powłokach i podpowłokach tłumaczy istnienie ośmiu grup pierwiastków o podobnych właściwościach chemicznych w każdej grupie. Poszczególne grupy charakteryzują się tym, że posiadają taką samą ilość elektronów na tych samych podpowłokach. W poszczególnych orbitach pierwiastki np.: H, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Cs, Au, Fr mają niekompletną podpowłokę s, (znajduje się na niej tylko jeden elektron). PYTANIA 1. Jak określa się funkcję falową (? 2. Od czego zależy prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez obszar bariery potencjalnej? 3. Co nazywamy studnią potencjału? 4. Podać równanie fali stojącej w strunie zamocowanej na końcach. 5. Podać i objaśnić schemat i wykres natężenia prądu od napięcia w doświadczeniu Francka – Hertza. 6. Dlaczego natężenie prądu maleje w doświadczeniu Francka-Hertza po przekroczeniu pewnych wartości napięcia? 7. Dlaczego energia jonizacji atomu rtęci jest mniejsza niż atomu wodoru? 8. Podać i objaśnić wzór L. Boltzmanna na liczbę atomów w stanie wzbudzonym. 9. Jaka jest ogólna postać funkcji, ktorą należy zróżniczkować dwukrotnie względem czasu t i względem osi x? 10. Wyprowadzić równanie Schrödingera 11. Dlaczego w mechanice kwantowej orbity borowskie tracą sens? 12. Przedstawić na wykresie rozkład gęstości prawdopodobieństwa występowania elektronu w atomie wodoru. 13. Czym i w jaki sposób określany jest orbitalny moment pędu elektronu w mechanice kwantowej? 14. Z czego wynika spinowy moment pędu i czemu się równa? 15. Podać związek stosunków spinowych i magnetycznych momentów pędów elektronu. 16. Czego dotyczy zakaz Pauliego? 17. Jakie warunki muszą spełniać elektrony przy zapełnianiu powłok w atomach? 25.6 Kryształy 25.6.1 Środek symetrii kryształu Środek symetrii jest to punkt leżący na prostej jednakowo oddalony od atomów leżących na brzegu kryształu 25.6.2 Osie symetrii Oś symetrii kryształu jest prostą , wokół której jeśli będziemy obracać kryształ o odpowiedni kąt, to nie będzie można odróżnić poszczególnych położeń kryształu. Osie symetrii mogą być tylko dwu, trzy, cztero i sześciokrotne. Odpowiadają im następujące kąty: 180º, 120º, 90º i 60º. Kryształ posiada n – krotną oś symetrii gdy przy obrocie wokół tej osi pojawiają się n razy identyczne jego położenia. Sześcian i prostopadłościan posiadają np.: odpowiednio trzy czterokrotne i trzy dwukrotne osie symetrii. 25.6.3 Płaszczyzny symetrii kryształu Płaszczyzny symetrii dzielą kryształy na dwie połowy stanowiące lustrzane odbicie. Rys. 326 Trzy czterokrotne osie symetrii sześcianu Rys. 327 Trzy dwukrotne osie symetrii prostopadłościanu PYTANIA 1. Co nazywamy: środkiem, osią i płaszczyzną symetrii kryształu? 2. Jakie mogą być osie symetrii w sześcianie i prostopadłościanie? 25.7 Zdolność rozdzielcza (z) 25.7.1 Zdolność rozdzielcza mikroskopu optycznego Zdolność rozdzielcza (z) jest odwrotnością najmniejszej odległości d dwóch punktów, które dają się jeszcze rozróżnić: Rys. 328 Minimalna odległość d punktów, które można rozróżnić Rys. 329 Siatka dyfrakcyjna w obiektywie mikroskopu stąd ψ – apertura mikroskopu. Aby widzieć cały przedmiot kąt α musi być mniejszy od kąta ψ. Im krótsza fala oświetlająca przedmiot obserwowany, tym, jak widać ze wzoru, większa jest zdolność rozdzielcza. Gdy fala świetlna przechodzi z ośrodka rzadszego do gęstszego, to v i λ zmniejszają się n razy, a ν pozostaje stałe, ponieważ: dlatego gdzie: n – współczynnik załamania cieczy immersyjnej (np.: olejku cedrowego, którego używa się czasem w obserwacjach pod mikroskopem optycznym n = 1.515). Rys. 330 Powiększanie zdolności rozdzielczej za pomocą cieczy immersyjnej w mikroskopie optycznym 25.7.2 Zdolność rozdzielcza mikroskopu elektronowego W mikroskopie elektronowym energię kinetyczną elektronom nadaje pole elektryczne zgodnie ze wzorem: stąd: ponieważ: a według de Broglie’a: wobec tego: wstawiając za v mamy: stąd: Ze wzoru tego widać, że im większe napięcie w mikroskopie elektronowym, tym większe z. W mikroskopach elektronowych nie stosuje się zbyt dużych napięć anodowych (np. większych niż 200 kV), istnieje bowiem możliwość zniszczenia obserwowanego preparatu przez wpadające na niego z olbrzymią prędkością elektrony. Z tymi elektronami związane są fale materii de Broglie’a – „oświetlające obserwowany preparat. PYTANIA 1) Co to jest i do czego służy zdolność rozdzielcza mikroskopu? 2) W jaki sposób można zwiększyć zdolność rozdzielczą mikroskopu optycznego? 3) Do czego używa się cieczy immersyjnej w mikroskopach? 4) W jaki sposób można zwiększyć zdolność rozdzielczą w mikroskopach elektronowych? 5) Co stanowi ograniczenie przy zwiększaniu zdolności rozdzielczej w mikroskopach elektronowych? 26 BUDOWA JĄDRA 26.1 Doświadczenie Rutherforda W tym niezwykłym doświadczeniu Rutherford określił średnicę jądra atomowego. Niezwykłość doświadczenia Rutherforda polegała tym, że nikt jeszcze nie widział atomów – nawet stosując mikroskop elektronowy o największym powiększeniu. Cóż, wobec tego powiedzieć można o jądrze atomowym, które jest 10 000 razy mniejsze od atomu? Rutherford dokonał jednak „pomiaru”, a w zasadzie obliczył, średnicę jądra atomowego dokonując odpowiednich obserwacji w swoim doświadczeniu. Rutherford bombardując złotą folię cząstkami α stwierdził, że cząstki te rozpraszane są przez tę folię we wszystkich kierunkach (na ekranie lunetki mikroskopu pokrytej luminoforem obserwował bowiem rozbłyski luminoforu przy różnych kątach ustawienia tej lunetki). Wyciągnął stąd wniosek, że cząstki α padając na folię natrafiają na jakieś ośrodki (centra) o dużej gęstości, które nazwano później jądrami atomowymi. Rutherford zadając sobie pytanie, na jaką minimalną odległość (dmin) może zbliżyć się cząstka α do jądra, odpowiedział, na taką, przy której jej energia kinetyczna zamieni się całkowicie na pracę w polu elektrycznym jądra. Rys. 332 Schemat do pomiaru promienia jądra atomowego Rys. 331 Schemat doświadczenia Rutherforda Siła oddziaływania między cząstką α i jądrem jest F, a energia kinetyczna cząstki α: Ekα = Ep = W = F dmin ale ponieważ z prawa Coulomba: stąd po wstawieniu za Ekα i F mamy: Obliczono, że np.: dla złota, srebra i miedzi dmin jest rzędu 10-14m. Wiadomo obecnie ), że promień r wynosi: wymiary atomu są rzędu 10-10m, gdzie: r0 – promień atomu wodoru ), A – liczba danego pierwiastka. PYTANIA 1) Czego dotyczyło doświadczenie Rutherforda? 2) Narysować schemat doświadczenia Rutherforda. 3) Na co zamienia się energia kinetyczna cząstki α w doświadczeniach Rutherforda? 4) W jaki sposób Rutherford obliczył minimalną odległość na jaką może się zbliżyć cząstka α do jądra atomowego? 5) Kto i w jaki sposób oszacował średnicę jądra atomowego? 26.2 Przemiany jądrowe Jądro składa się z protonów i neutronów. Z neutronu powstaje proton i elektron, który jako cząsteczka β- opuszcza jądro wraz z antyneutrinem , nie posiadającym ładunku ani masy spoczynkowej. Możliwa jest również przemiana w „pewnym stopniu odwrotna”: gdzie: ν – neutrino Jądro atomowe rozpadając się emituje cząstki: α, β, γ. Cząstki α i β ulegają odchyleniu w polu elektrycznym i magnetycznym. Cząstki γ nie odchylają się w tych polach, ponieważ nie posiadają ładunku. Jądra atomowe emitując cząstki ulegają następującym przemianom: ( ( ( ( ( Przy absorpcji takich cząstek jak wyżej atomy ulegają następującym przemianom: ( ( ( ( ( Strzałki oznaczają odpowiednio: ( - emisja cząstki przez atom ( - atom absorbuje cząstkę 26.3 Tory cząstek alfa i beta oraz gamma w polu elektrycznym Promienie krzywizn, które zakreślają cząstki naładowane zarówno w polu elektrycznym jak i magnetycznym (jak wynika ze wzoru), są tym większe im większe są ich masy i im mniejsze ładunki. Ładunek Q cząstki: Qα = 2Qβ Qβ = e = 1.6·10-19C mα = 4 ·1840 me Rys. 333 Odchylenia cząstek α, β, γ w polu elektrycznym 26.4 Tory cząstek alfa i beta w polu magnetycznym Rys. 334 Odchylenia cząstek α, β w polu magnetrycznym Cząstki γ, które są kwantami fali elektromagnetycznej nie ulegają odchyleniu ani w polu elektrycznym, ani w polu magnetycznym. Cząstki α, to jądra atomu helu, posiadają dwa protony i dwa neutrony. Cząstki β mogą być dodatnie, są to wtedy pozytony lub ujemne – elektrony. 26.5 Izotopy Izotopy są to pierwiastki mające różną liczbę masową, a tę samą liczbę porządkową (różnią się one jedynie liczbą neutronów w jądrze) ) 26.5.1 Promieniotwórczość naturalna Przykładem promieniotwórczości naturalnej może być następujący szereg promieniotwórczy odkryty przez Marię Curie – Skłodowską: ( ( ( ( 26.5.2 Prawo przesunięć Soddy’ego Fajansa Jeśli atom rozpadając się emituje cząstkę α, to pierwiastek przesuwa się w tablicy Mendelejewa o dwa miejsca w lewo, a jeśli emituje cząstkę β-, to atom przesuwa się o jedno miejsce w prawo lub w lewo, w zależności od tego czy cząstką jest β+, czy β- (β+ w lewo, β- w prawo). 26.5.3 Prawo rozpadu promieniotwórczego Prawo rozpadu można ująć wzorem: ΔN = - N λ Δt, a wyrazić słowami: liczba rozpadających się atomów w jednostce czasu jest wprost proporcjonalna do liczby atomów N w danej chwili i stałej rozpadu λ. Prawo to spotyka się również w postaci: N = N0 e-λt , Jest to rozwiązanie podanego powyżej równania różniczkowego. Rys. 335 Rozpad substancji promieniotwórczej w czasie gdzie: λ – stała rozpadu, N0 – liczba atomów na początku rozpadu, N – liczba atomów, które jeszcze się nie rozpadły Jeśli: to: t = T1/2 gdzie: T1/2 – czas połowicznego zaniku (rozpadu) stąd: logarytmując obie strony równania mamy: ln1 – ln2 = -λT1/2 lne ponieważ ln1 = 0 oraz ln e = 1 mamy: ln2 = λT1/2 a zatem: Średni czas życia τ danego pierwiastka wynosi: 26.5.4 Promieniotwórczość sztuczna Promieniotwórczość sztuczna polega na rozbijaniu jąder atomowych za pomocą bombardowania ich różnymi cząstkami. Najlepszymi „pociskami” do rozbijania jąder atomowych są neutrony ponieważ nie posiadają ładunku elektrycznego i nie są odpychane ani przez jądra atomowe ani przez powłoki elektronowe. Neutrony mogą być: a) termiczne o energii E = 0.025 eV w zależności od temperatury, b) powolne o energii E = 1 eV do 1 keV, c) pośrednie E = 1 keV do 0.5 MeV, d) prędkie E > 0.5 MeV 1MeV = 106 eV 1 eV = 1.6 · 10-19CV = 1.6 · 10-19J Jeśli np.: atomy aluminium , będziemy bombardować neutronami o coraz większych energiach, to możemy z nich uzyskać np.: lub . 1. 2. 3. W pierwszym (1) przypadku neutron miał tylko tyle energii, aby wpaść do jądra i tam pozostać. W przypadku drugim (2) energia neutronu była większa i wystarczyła do wybicia z jądra protonu. W przypadku trzecim (3) była ona już tak duża, że wystarczyła do wybicia z jądra cząstki . 26.5.5 Rodziny (szeregi) promieniotwórcze Istnieją trzy żyjące rodziny promieniotwórcze: uranu, toru i aktynu (natomiast rodzina neptunu już wymarła). Uwzględniając prawo rozpadu promieniotwórczego pierwiastków: N = N0 e-λt , Można stwierdzić, że: aktywność promieniowania jest to ilość rozpadów w jednostce czasu i zapisać następująco: Aktywność Aktywność w układzie SI mierzymy w bekerelach [Bq]: Jednostką aktywności spoza układu SI jest kiur [Ci]: 1 Ci = 3.7·1010[Bq] PYTANIA 1) Czy w jądrze atomowym znajdują się elektrony? 2) Co to są cząstki β+ i β- ? 3) W co i w jaki sposób przemienia się neutron w jądrze atomowym? 4) Jakie mogą zachodzić przemiany protonu w jądrze atomowym? 5) Co to są cząstki α, β, γ ? 6) Co mówi prawo Sodiego Fajansa? 7) Jakie atomy będziemy otrzymywali w wyniku kolejnych emisji ( ) przez atom cząstki α, neutronu, protonu, β+, β-, γ ? 8) Jakie atomy będziemy kolejno otrzymywali z atomu , jeżeli będzie on absorbował 9) ( ) odpowiednio cząstkę α, neutron, proton, β+, β-, γ? 10) Narysować i uzasadnić tory cząstek α, β, γ w polu elektrycznym i magnetycznym. 11) Ile razy masa cząstki α jest większa od masy elektronu? 12) W jaki sposób na podstawie kształtów torów cząstek α i β można określić, który tor należy do której cząstki i jaki jest kierunek tych pól? 13) Jak nazywają się pierwiastki, które mają taką samą liczbę porządkową, a różnią się liczbą masową? 14) Na jakie pierwiastki i w jaki sposób rozpada się rad? 15) W jaki sposób na wykresie można przedstawić prawo rozpadu promieniotwórczego? 16) Co to jest stała rozpadu i w jakich jednostkach się ją mierzy? 17) Co to jest czas połowicznego rozpadu? 18) Jaki jest związek między czasem połówkowym i stałą rozpadu? 19) Jakie cząstki są najlepsze do rozbijania jąder atomowych i dlaczego? 20) Wymień i scharakteryzuj rodzaje neutronów pod względem energetycznym? 21) Jaką część dżula ma elektronowolt? 22) Jakie pierwiastki uzyskujemy bombardując neutronami o różnych energiach? 23) Podać nazwy rodzin promieniotwórczych. 24) Co to jest aktywność promieniotwórcza i w jakich jednostkach się ją mierzy? 25) Co to jest Kiur i Bequerel jakie związki są między nimi? 26.5.6 Wpływ promieniowania jonizującego na organizmy żywe Promieniowanie jonizujące stosowane jest w medycynie do zwalczania nowotworów. Nie jest ono jednakże obojętne dla organizmu, ponieważ obok niszczenia komórek nowotworowych, (które jako młode są bardziej wrażliwe na promieniowanie jonizujące i szybciej ulegają zniszczeniu niż dojrzałe komórki organizmu), niszczone są również zdrowe komórki organizmu. Na skutek bowiem jonizacji w organizmach napromieniowanych powstaje woda utleniona oraz wodne rodniki H+ i OH-, które zakłócają procesy utleniania. Poza tym energia promieniowania jonizującego pochłaniana przez ciało napromieniowane wywołuje w nim różnego rodzaju zakłócenia procesów fizyko – chemicznych prowadząc niejednokrotnie do nieodwracalnych zmian genetycznych w organizmie, np.: białaczki i innych schorzeń nowotworowych. Organizm człowieka narażony jest często na promieniowanie jonizujące pochodzące nie tylko od promieniowania kosmicznego, powstającego na skutek reakcji jądrowych zachodzących na Słońcu i na innych planetach ale również na skutek deszczu radioaktywnego spadającego na Ziemię po wybuchach jądrowych, czy też po eksplozji reaktorów jądrowych. Dlatego też często substancje promieniotwórcze znajdują się w produktach spożywczych takich jak mleko i przetwory mleczne, warzywa i owoce, a szczególnie grzyby, przyswajające z gleby duże ilości cezu promieniotwórczego. (Cez promieniotwórczy pojawił się na wschodnich ziemiach polskich w dużych ilościach po awarii elektrowni atomowej w Czarnobylu). Posiada on czas połowicznego rozpadu 31,5 lat. W związku z tym należałoby badać aktywność promieniotwórczą grzybów, albo spożywać je w niewielkiej ilości. Miarą zdolności jonizacyjnych danego promieniowania jest ilość energii oddawana na jednostce drogi. Oznacza się ją z angielskiego przez LET (Linear Energy Transfer) gdzie: Δx – odcinek drogi na której oddawana jest energia ΔE przez cząstkę jonizującą Eśr –średnia energia jonizacji napotkanej cząsteczki środowiska (dla powietrza Eśr = 34 eV) , Δn – liczba efektów jonizacji. Wartość LET zależy od ładunku i prędkości cząstki (a zatem i energii) poruszających się cząstek jonizujących środowisko w sposób następujący: Ze wzoru tego widać, że LET dla promieniowania β jest czterokrotnie mniejsza niż dla cząstek α o tej samej prędkości, a uwzględniając różnicę mas cząstek α i β przy tej samej energii, jonizacja ośrodka będzie kilka rzędów wielkości większa dla cząstek α niż β. Ze wzoru na LET widać, że neutrony nie mogą bezpośrednio jonizować ośrodka, przez który przechodzą, ponieważ nie mają ładunku. Mogą one natomiast inicjować reakcje jądrowe, których produkty będą odpowiednio jonizować ośrodek. Odwrotna proporcjonalność LET od v2 wskazuje na fakt, że jonizujące cząstki powolne dają w efekcie większe LET niż prędkie. Miarą pochłoniętego promieniowania jonizującego jest dawka D: Jednostką dawki pochłoniętej jest grej określona jako stosunek energii pochłoniętej przez dane ciało do masy tego ciała. Jednostką dawki promieniowania z poza układu SI jest 1 rad (radiation absorbed dose). 1 rad = 0.01 J/kg = 0,01Gy W zależności od rodzaju promieniowania (α, β, γ) dawka (1 rad) wywołuje różne szkodliwe skutki w organizmie. Niestety jest ona niemierzalna. W związku z tym wprowadzono pojęcie dawki ekspozycyjnej, łatwej do zmierzenia. Stanowi ona miarę skutków oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego na absorbent wzorcowy. Za absorbent wzorcowy przyjęto powietrze, a mierzonym skutkiem jest ilość powstałych par jonów. Dawkę ekspozycyjną definiujemy jako stosunek wytworzonego ładunku do masy absorbenta. W układzie SI jednostką dawki ekspozycyjnej jest . Jednostką stosowaną w radiologii jest rentgen [R]. Dawkę pochłoniętą i ekspozycyjną wiąże ze sobą współczynnik jakości promieniowania Q. Dla promieniowania γ Q = 1, natomiast dla promieni α i neutronów Q = 20. Jednostką równoważnika dawki – H jest jeden rem (roentgen equivalent man), a zatem: H = Q D [rem] Obecnie stosowaną jednostką względnego skutku biologicznego (WSB) dawki jest siwert [Sv] W przypadku, gdy organizm napromieniowany jest różnego rodzaju promieniowaniem, to całkowity równoważnik dawki określa się wzorem: gdzie: i – oznacza jeden z rodzajów promieniowania. W praktyce obok dawek duże znaczenie mają moce dawek: Moc dawki pochłoniętej: Moc dawki ekspozycyjnej: Średnio w czasie jednego roku organizm ludzki pochłania 75 miliremów pochodzących od naturalnej aktywności Ziemi, 50 miliremów od promieniowania kosmicznego (na poziomie morza) i tyleż samo od prześwietleń rentgenowskich, od oglądania telewizji 2 miliremy, od promieniowania ścian budynków 90 miliremów, od pierwiastków promieniotwórczych wchodzących w skład organizmu człowieka (40K, 14C) 20 miliremów. W sumie średnio w ciągu roku organizm człowieka otrzymuje równoważność 287 miliremów. Dozwolona wartość średnia w ciągu roku dla ludności wynosi 500 miliremów. Dla pracowników narażonych zawodowo na promieniowanie jonizujące dawka dopuszczalna jest 10 razy większa, a zatem wynosi ona 5 remów. W warunkach awaryjnych następuje skażenie powietrza i wody, nawet w odległych od awarii miejscach, ze względu na występujące wiatry i opady. Dopuszczalne skażenie wynosi 1000 Bq na litr płynu lub na 1m3 powietrza. Do ochrony przed promieniowaniem służą różnego rodzaju zabezpieczenia stałe i osobiste, takie jak płaszcze ołowiane stosowane wśród radiologów, ściany betonowe, cegły ołowiane służące do obudowy źródeł promieniowania, pojemniki ołowiane do transportowania i przechowywania źródeł promieniotwórczych. W pracach badawczych stosuje się różnego rodzaju manipulatory, którymi posługują się pracownicy, aby nie dotykać izotopów gołymi rękami. 26.6 Spektrograf masowy Astona W celu analizy lub rozdzielenia izotopów o różnych masach wykorzystujemy (w spektrografie masowym Astona) zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne. Oba te pola działają jedynie na cząstki naładowane. Każdą substancję, którą chcemy poddać analizie przeprowadzamy najpierw w sta gazowy, a następnie jonizujemy atomy tego gazu. Im większa jest masa danego pierwiastka, tym większy promień będzie on zataczał zarówno w polu elektrycznym jak i magnetycznym. W polu magnetycznym promień krzywizny wyraża się wzorem: Cząstki o różnych masach dają się zatem łatwo rozdzielić, ponieważ zataczają różne promienie krzywizn. Rys. 336 Tory cząstek naładowanych w spektrografie Astona 26.7 Radiometria Radiometria zajmuje się badaniem cząstek elementarnych. Badanie cząstek m.in. polega na ich identyfikacji, czyli określeniu jaka to jest cząstka, jaką posiada energię, z jaką cząstką np. się zderzyła oraz ewentualnie co w wyniku tego zderzenia powstało W radiometrii stosuje się między innymi: 1. Metody śladowe, w których wykorzystujemy: a) błony, b) komorę Wilsona, c) komorę pęcherzykową, 2. Liczniki np.: Geigera – Müllera 3. Elektrometry. 26.7.1 Błony Błony pozwalają zidentyfikować różne rodzaje cząsteczek wywołujących reakcje chemiczne na nich. Na podstawie śladów jakie zostawiają cząsteczki na błonach można je nie tylko zidentyfikować, a nawet określić rodzaj zderzających się cząsteczek analizując kąty jakie tworzą na błonie ich ślady (podobnie jak po zostawionych śladach można zidentyfikować przestępcę). Rys. 337 Ślady pozostawione na błonach przez cząstki: a) – pozytony, b) – cząstki α, c) – mezony 26.7.2 Komora Wilsona W komorze Wilsona można oglądać przestrzenny ślad cząstek w odróżnieniu od śladów na błonach, gdzie można zobaczyć ślady cząstek tylko w jednej płaszczyźnie. Za pomocą aparatu fotograficznego wykonuje się zdjęcie wnętrza komory Wilsona oświetlonej oświetlaczem w momencie, gdy tłok gwałtownym ruchem przesuwa się w dół. Wówczas na jonach wytworzonych przez przelatujące cząstki α kondensuje się para wodna, która z nienasyconej stała się nasycona, ponieważ nastąpiło adiabatyczne rozprężanie i w związku z tym obniżenie temperatury w komorze. Rys. 338 Ślady cząstek w komorze Wilsona 26.7.3 Komora pęcherzykowa Używana jest do cząstek o większych energiach, których śladów nie dałoby się w pełni zaobserwować w komorze Wilsona. Korzystając z komory pęcherzykowej można określić wielkość energii danej cząstki z promienia krzywizny toru jaką dana cząstka zakreśla. Komorę pęcherzykową umieszcza się w polu magnetycznym. Cząstka α przebiegając przez ciecz wywołuje na swoim torze lokalne wrzenia. Powstają w ten sposób pęcherzyki wypełnione parą danej cieczy. Rys. 338a Komora pęcherzykowa w polu magnetycznym 26.7.4 Elektrometr Za pomocą elektrometru można mierzyć natężenie cząstek jonizujących jakie przez niego przechodzą. Im większa liczba cząstek przelatuje między okładkami kondensatora, tym większa następuje jonizacja powietrza zawartego między nimi. Powoduje to większe wychylenie „listków” elektrometru, podłączonego równolegle do oporu R. Wielkość przepływającego ładunku elektrycznego, wytwarzanego przez jonizujące cząstki przelatujące między okładkami kondensatora, ma wpływ na wielkość wychylenia „listków”, ponieważ elektrometr wskazuje różnicę potencjałów U między listkami a obudową elektrometru, a: Rys. 339 Pomiar natężenia promieniowania jonizującego 26.7.5 Licznik Geigera – Müllera Licznik Geigera – Müllera znalazł szerokie zastosowanie w praktyce przy zliczaniu cząstek β i γ. Zbudowany jest on w postaci cylindrycznego kondensatora, którego jedną okładką jest cienki wypolerowany drucik umieszczony w osi cylindra i podłączony do plusa zasilania. Drugą elektrodę stanowi metalizowana wewnętrzna powierzchnia cylindra, łączona z minusem źródła zasilania o regulowanym napięciu od 600 do 1200 V. Wnętrze owego cylindrycznego kondensatora wypełnione jest odpowiednimi gazami najczęściej 90% argonu i 10% alkoholu etylowego, którego pary skracają czas dejonizacji wywołanej przelatującą cząstką. Im krótszy jest czas dejonizacji tym mniejszy jest tzw. czas martwy licznika, jaki musi upłynąć, aby kolejna cząstka mogła być przez licznik zarejestrowana. Czas ten jest zwykle rzędu 10-4 – 10-5s. Jeżeli cząstki będą przechodzić przez licznik w czasie krótszym od czasu martwego nie będą one przez niego zarejestrowane, a zatem im krótszy jest czas martwy licznika tym jest on dokładniejszy. Duże stosunkowo napięcie pracy licznika ma na celu zmniejszanie jego czasu martwego. Rys. 340 Schemat licznika Geigera – Müllera (starszej generacji). Rys. 341 Charakterystyka licznika Geigera – Müllera, plateau (wym. plato)– napięcie pracy PYTANIA 1) Wymienić i omówić metody śladowe. 2) Jak jest zbudowana i jak działa komora Wilsona? 3) Jak jest zbudowana i jak działa komora pęcherzykowa? 4) Jaka jest zasada działania elektrometru? 5) Jak jest zbudowany i jak działa licznik Geigera – Müllera? 26.8 Akceleratory (przyspieszacze) Nazwa tych przyrządów pochodzi od angielskiego słowa acceleration – przyspieszenie. Służą one, jak sama nazwa wskazuje, do przyspieszania cząstek w celu uzyskania przez nie dużych energii, niezbędnych do wywoływania reakcji jądrowych powstałych w wyniku bombardowania nimi atomów. 26.8.1 Generator Van de Graffa Generator Van de Graffa zbudowany jest z dużej czaszy kulistej o bardzo gładkiej powierzchni (powierzchnia chropowata sprzyja uciekaniu z niej ładunków, jest to tzw. zjawisko ulotu, z którym wiąże się obniżenie potencjału elektrycznego danej powierzchni) i jedwabnego pasa transmisyjnego, (osadzonego na obracających się dwu gumowych walcach), przenoszącego jony dodatnie z odpowiedniego generatora na powierzchnię wydrążonej kuli, ładując ją do potencjału ok. 2 MV. Ten duży potencjał nadaje odpowiednio duże przyspieszenie dodatnio naładowanym cząstkom, które pędząc z olbrzymią prędkością wywołują oczekiwane reakcje jądrowe w substancjach, na które trafiają. Rys. 342 Generator Van de Graffa 26.8.2 Cyklotron Cyklotron służy do rozpędzania cząstek do dużych prędkości, a następnie do wykorzystywania ich energii np. do rozbijania jąder atomowych. Cyklotron składa się z dwóch duantów w kształcie litery D. do których dołączony jest generator dający zmienne pole elektryczne. Pole to powoduje przyspieszanie protonów lub elektronów pojawiających się w szczelinie między duantami. Elektrony np.: wychodzą na zasadzie termoemisji z ogrzewanego prądem przewodnika umieszczonego między duantami. Tor elektronów w duantach zakrzywia się, ponieważ umieszczone są one w stałym polu magnetycznym. Przyspieszenie jakie uzyskuje elektron w polu elektrycznym jest: Rys. 343 Schemat ideowy cyklotronu Promień jaki zatacza elektron w polu magnetycznym można wyliczyć z porównania sił: dośrodkowej i siły elektrodynamicznej pochodzącej od pola magnetycznego BIl, a zatem: ale ponieważ: wobec tego: stąd ponieważ: mamy: 26.8.3 Betatron Betatron służy do otrzymywania szybkich elektronów lub „twardych” promieni X. Betatron składa się z elektromagnesu zasilanego prądem zmiennym. Między biegunami elektromagnesu znajduje się komora próżniowa ze źródłem elektronów. Zmienne pole magnetyczne wywołuje w komorze wirowe pole elektryczne, które przyspiesza wstrzyknięte do komory elektrony. Proces przyspieszania elektronów zachodzi tylko w ¼ okresu zmienności prądu. Po osiągnięciu odpowiedniej energii elektrony zostają odchylone od swojego toru i wyprowadzone na zewnątrz komory lub bombardują tarczę umieszczoną wewnątrz komory wytwarzając promieniowanie X. PYTANIA 1) Do czego służą akceleratory i jakiego mogą być typu? 2) Jak jest zbudowany generator Van de Graffa? 3) Jak jest zbudowany cyklotron? 4) Co to są duanty i co się do nich podłącza? 5) Jakie pola występują w cyklotronie? 6) Omów zasadę działania betatronu. 26.9 Energia wiązania jąder Jądra atomowe pierwiastków w przedziale liczb masowych od 40 do 80 są najtrwalsze. Rys. 344 Energia wiązania jąder przypadająca na jeden nukleon (największa od 40 do 80, te jądra są najtrwalsze). Jeśli jądro pierwiastka ciężkiego rozpada się na jądra pierwiastków lżejszych np.: na skutek bombardowania jego neutronami, a zatem w przypadku rozczepienia jądra, energia wiązania przypadająca na jeden nukleon (tzn. proton lub elektron) wzrasta. Ta różnica w energiach wiązania przypadająca na jeden nukleon przed reakcją i po reakcji uwalnia się w postaci energii jądrowej. Podobnie, tylko znacznie większe ilości energii wyzwalają się w reakcjach syntezy, czyli tworzenia się pierwiastków cięższych z lżejszych np.: w przypadku tworzenia się helu z wodoru. 26.9.1 Defekt masy (Δm) Suma mas nukleonów w jądrze jest mniejsza niż suma mas tych samych nukleonów poza jądrem. Fakt ten można ująć wzorem: Δm = Zmp + (A – Z)mn – Mj Gdzie: Z – liczba protonów, A – liczba masowa, Mj – masa jądra. Rys. 345 Defekt masy (masa nukleonów w jądrze i poza jądrem) Energia uzyskana ze znikania masy w przypadku syntezy jądra jest równa, zgodnie ze wzorem Einsteina: E = Δm c2 26.9.2 Anihilacja masy Anihilacja masy polega na unicestwianiu masy i pojawianiu się na jej miejsce energii. Jeśli np.: elektron jako cząstka zderzy się z pozytonem, który jest antycząstką elektronu, to w wyniku tego zderzenia nastąpi anihilacja ich obu przy czym wytwarza się odpowiednia ilość energii określonej wzorem: E = 2 mc2 Rys. 346 Anihilacja i kreacja masy 26.9.3 Kreacja masy Kreacja masy jest zjawiskiem przeciwnym do anihilacji. Polega ona na tym, że z energii powstaje masa. Kreacja masy zachodzi zgodnie z równoważnością masy i energii np.: kreacja pary elektron pozyton zachodzi wówczas, gdy kwant γ o energii E ≥ 1.022 MeV będzie przechodził w pobliżu jądra atomowego, czyli znajdzie się w zasięgu sił jądrowych, to w wyniku oddziaływania pola elektromagnetycznego kwantu z polem elektrycznym jądra i polem magnetycznym orbity K powstaje para cząstek: elektron i pozyton β+. PYTANIA 1) Narysować wykres zależności energii przypadającej na jeden nukleon w zależności od masy atomowej pierwiastka. 2) Dla jakich mas atomowych przypada największa energia na jeden nukleon? 3) Jeżeli atom się rozpada i powstaje nowy, to co się dzieje z energią przypadającą na jeden nukleon w jądrze? 4) W jakim procesie wyzwala się energia z bomby atomowej? 5) Na czym polega defekt masy i w jaki sposób można go obliczyć? 6) Jaka masa występuje we wzorze Einsteina (E = mc2)? 7) Na czym polega anihilacja masy i kiedy ona zachodzi? 8) Co to jest kreacja masy i gdzie ona zachodzi? 9) Jaka jest minimalna energia kwantu niezbędna do kreacji masy? 26.9.4 Cząstki elementarne Należałoby sądzić, że cząstka elementarna, to taka, która nie ma struktury wewnętrznej i nie rozpada się na mniejsze. Większość jednak z tzw. cząstek elementarnych (istnieje ich ok. 950) nie spełnia tych warunków. Omówimy tylko te, najbardziej elementarne stanowiące strukturę atomów. Stosunkowo dobrze znaną cząstką elementarną jest foton – kwant promieniowania elektromagnetycznego. Początkowo fotonów nie zaliczano do cząstek elementarnych, ponieważ nie posiadają masy spoczynkowej, ale zgodnie ze wzorem Einsteina posiadają masę w ruchu, a poza tym fotony w spoczynku w ogóle nie istnieją. Masę fotonu określamy wzorem: Foton jest cząstką stabilną – żyje nieskończenie długo jeśli tylko nie oddziałuje z innymi cząstkami. Spin fotonu równy jest ħ. Neutrino również nie ma masy spoczynkowej ani ładunku, oddziaływanie neutrin z innymi cząstkami jest bardzo słabe, średnio zaledwie tylko jedno na 1012 oddziałuje z innymi cząstkami. Średnia droga swobodna neutrin w materii skondensowanej jest rzędu tysięcy lat świetlnych, dlatego tak trudno było je odkryć. Odkrycie neutrina nastąpiło dopiero w 1956 r. chociaż Pauli już w 1931 r. przewidział jego istnienie. Neutrina są trwałe, nie rozpadają się na inne cząstki i jako jedyne mają całkowicie spolaryzowany spin – względem wektora pędu, o zwrocie przeciwnym do wektora pędu, w odróżnieniu od antyneutrin, których spin o wartości ħ/2 (takiej samej jak neutrin) skierowany jest zgodnie z wektorem ich pędu. Elektron nie rozpada się na inne cząstki, posiada energię spoczynkową 0.511 MeV równoważną masie 9.1 · 10-31kg, spin elektronu wynosi ħ/2. Pozyton odkryty został w 1932 r. w komorze Wilsona jako cząstka β+. Proton cząstka elementarna, która wchodzi w skład jądra atomowego. Posiada ładunek dodatni równy ładunkowi elementarnemu i masę spoczynkową 1.672·10-27kg równoważną energii 938.26 MeV. Neutron podobnie jak proton odkryty został w 1932 r. zaliczany jest on do cząstek elementarnych, chociaż znane są przemiany neutronu w trzy inne cząstki elementarne. Jest on cząstką nietrwałą, czas połowicznego rozpadu swobodnych neutronów wynosi 12 min. Masa spoczynkowa neutronu wynosi 1.6748·10-27kg i równoważna jest energii 939.55 MeV. Mezony odkryte zostały na drodze teoretycznej przez Yukawę, który twierdził, że ich masa powinna być równa ok. 300 me. W rok po ukazaniu się jego prac teoretycznych odkryte zostały w promieniowaniu kosmicznym cząstki dodatnie i ujemne, ale o masach 200 me, a więc mniejszych niż przewidywał Yukawa. Nazwano je mezonami μ. Po dziesięciu latach okazało się, że mezony μ są produktami rozpadów mezonów π, których to istnienie przewidział Yukawa. Rozpad pionów π± zachodzi w następujący sposób: π+ → μ+ + → e+ + νe + π- → μ- + νμ → e- + + νμ gdzie: νμ, , νe, – neutrina i antyneutrina mionowe – μ i elektronowe – e. Pion π0 odkryty został dopiero w 1950 r. trudność jego odkrycia polegała na tym, że nie posiada on ładunku, a często rozpada się na dwa kwanty γ, które również nie pozostawiają śladów w komorze Wilsona. Zdarzają się jednak czasem (w przypadkach 1 na 100) rozpady pionu π0 w sposób następujący: π0 → Dzięki tego rodzaju rozpadowi udało się odkryć pion π0. Antyproton teoretycznie przewidywano powstanie antyprotonu w czasie zderzenia się pędzącego protonu o energii 5628 MeV z protonem spoczywającym (tzw. tarczą) – zgodnie ze schematem: p+ + p+ → p+ + p+ + p+ + p- Wartośc energii pędzącego protonu wyliczono w oparciu o zasady: zachowania energii i pędu, przy założeniu, że wszystkie cząstki powstałe w wyniku reakcji będą miały taki sam pęd i zwrot jak proton pędzący. Akcelerator, w którym protony mogły uzyskiwać tego rodzaju energię zbudowano dopiero w 1954 r. w Berkeley, a w 1955 r. uzyskano w nim antyproton. W następnym roku uzyskano tam antyneutron, który różni się od neutronu zwrotem momentu magnetycznego. Zwrot momentu magnetycznego antyneutronu pokrywa się z jego spinem, zaś neutronu jest przeciwny. W czasie anihilacji protonu z antyprotonem obie cząstki znikają, a na ich miejsce pojawia się pięć pionów – dwa dodatnie, dwa ujemne i jeden zerowy. Antycząstki żyją krótko, dlatego też rzadko je obserwujemy w naszym świecie. Łatwo bowiem znajdują sobie „kontrpartnerów” i z nimi anihilują unicestwiając się wzajemnie. W jakimś antyświecie, zbudowanym z antymaterii, podobny los niewątpliwie spotkałby nasze cząstki. 26.9.4.1 Zasady zachowania w oddziaływaniach cząstek elementarnych Omawiając reakcje związane z oddziaływaniem cząstek elementarnych i ich rozpadem należy uwzględnić następujące zasady zachowania: a) energii, b) pędu, c) ładunku, d) liczby barionowej. Elektron np.: nie może się rozpaść na γ i ν, ponieważ nie spełniona byłaby zasada zachowania ładunku. Proton również nie może się rozpaść na pozyton i mezon π0, ale zupełnie z innego powodu, w tym przypadku nie spełniona byłaby zasada zachowania liczby barionowej, ma ona dla protonu wartość 1, a dla pozytonu i mezonu wartość równą zeru. 26.9.4.2 Kwarki Kwarki i antykwarki to hipotetyczne cząstki wprowadzone przez M. Gell – Mana i H. Zweiga, według których wszystkie cząstki elementarne są z nich zbudowane. Kwarki różnią się „zapachami”, które oznaczone zostały literami: u, d, s natomiast odpowiadające im antykwarki, to odpowiednio: Kwarki i antykwarki mają taki sam spin jak nukleony tzn. (½ ħ). Ładunki ich oraz liczby barionowe są ułamkowe. Kwark u posiada ładunek +2/3 e, pozostałe – 1/3 e, odpowiednie antykwarki posiadają takie same (wartości) ładunków lecz o przeciwnych znakach. Liczby barionowe wszystkich kwarków są równe 1/3, a antykwarków – 1/3. Kwarki różnią się poza tym, jak już wspomniano, „zapachami”. Każdy nukleon zbudowany jest z trzech kwarków. Proton, np.: składa się z kwarków: u, u, d, neutron zaś z kwarków: d, d, u, mezon natomiast składa się z kwarka i antykwarka.. Aby zbudować z kwarka nukleon musimy pamiętać o tym, że np.: proton posiada ładunek +e, liczbę barionową +1 i spin ½ ħ. Próby znalezienia kwarków w skorupie ziemskiej, w wodzie morskiej na dużych głębokościach, w strumieniach promieni kosmicznych nie dały jednak dotychczas oczekiwanych rezultatów, nie zdołano ich również wytworzyć za pomocą różnego rodzaju akceleratorów. Fakt ten sugeruje, że nie ma kwarków swobodnych. Stwierdzono jedynie doświadczalnie (za pomocą akceleratora, w którym rozpędzono elektrony do ok. 20 GeV), pojawienie się fal de Broglie’a znacznie mniejszych od rozmiarów nukleonów. Na podstawie obserwacji zakrzywienia torów elektronów można jedynie stwierdzić z jakich kwarków i antykwarków mogą składać się nukleony. Przyjmuje się, że kwarki podlegają zakazowi Pauliego, który mówi, że nie możliwe jest zbudowanie nukleonu z trzech identycznych kwarków. Dlatego w celu odróżnienia ich od siebie przypisano im trzy różne kolory: czerwony, żółty i niebieski. Przyjęto, że kwarki te chociaż poruszają się swobodnie we wnętrzu nukleonu, to nie mogą jednak wyjść na zewnątrz nukleonu, ponieważ wiąże je hipotetyczna cząstka nazwana gluonem. 26.9.4.3 Oddziaływania fundamentalne w klasyfikacji cząstek Istnieją cztery fundamentalne oddziaływania: a) grawitacyjne – są do pominięcia, między protonami 1036 razy mniejsze od elektrycznych, b) elektryczne – występują między cząstkami obdarzonymi ładunkiem, nośnikami tego oddziaływania są fotony, c) słabe – charakteryzują się bardzo małym zasięgiem (10-17m), nie uczestniczą w nich leptony – fotony, elektrony, neutrina i miony μ, d) silne – występują między mezonami i barionami, są 109 razy silniejsze od słabych, zasięg ich jest 10-15m, nośnikiem tych oddziaływań jest pion π VI FIZYKA CIAŁA STAŁEGO 27. Półprzewodniki Typowymi półprzewodnikami są: german, krzem, selen, różne siarczki i tlenki. Półprzewodniki można podzielić na samoistne i niesamoistne, czyli domieszkowe. W atomach elektrony mają energię skwantowaną, mogą zatem zajmować ściśle określone poziomy energetyczne. Podobnie jest i w cząsteczkach z tym, że w cząsteczkach jest znacznie więcej poziomów dyskretnych niż w atomach. W kryształach oddziałuje ze sobą wiele atomów i dlatego w miejscu każdego dyskretnego poziomu pojedynczego atomu tworzy się wiele blisko siebie położonych poziomów tworzących pasmo energetyczne. Poziomy energetyczne elektronów zewnętrznych, które słabiej związane są z jądrem niż elektrony wewnętrzne, rozczepiają się w pasmo szersze niż pasma elektronów wewnętrznych. W krysztale najistotniejszą rolę odgrywają dwa pasma: pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa. Odległości między poziomami w poszczególnych pasmach są rzędu 10-22eV dużo mniejsze niż energia kT w temperaturze 1 K (10-4eV). W każdym paśmie jest skończona liczba stanów energetycznych i ze względu na zakaz Pauliego skończona liczba elektronów. Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego elektron uzyskuje dodatkową energię i może przenieść się na wyższy wolny poziom energetyczny. Poziom ten jest pasmem przewodnictwa. Ciała stałe można podzielić, ze względu na oporność właściwą ρ i pracę wyjścia elektronów W, na: przewodniki, półprzewodniki i izolatory. Rodzaj materiału Własności ρ [Ω m] W[eV] Przewodniki 10-8 – 10-3 0 półprzewodniki 10-3 – 106 0.7 (Ge) 1.1 (Si) Izolatory 106 – 1019 6 (diament) DNA 0,9 do 1,22 Hemoglobina 2,75 Oporność właściwą mierzymy w [Ω m], ponieważ stąd: 27.1 Półprzewodniki samoistne z IV grupy Półprzewodniki samoistne to takie, które swoje właściwości nie zawdzięczają nieuniknionym zanieczyszczeniom, lecz elektronom przerzucanym z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa w temperaturach wyższych od 0K. W temperaturze zera bezwzględnego półprzewodnik taki nie ma w ogóle swobodnych nośników i zachowuje się jak izolator. Na przewodnictwo półprzewodników bardzo duży wpływ mają domieszki. Domieszki to są obce atomy wbudowane w daną sieć krystaliczną w ilości ok. 1% liczby atomów substancji podstawowej. Dzięki domieszkom półprzewodniki mogą zmienić przewodność nawet milion razy. Półprzewodniki samoistne z IV grupy charakteryzują się tym, że ich oporność właściwa zawarta jest w granicach od 10-3 do 106Ωm oraz pracę wyjścia od 0,7 do 3 eV Gdy ogrzewamy opornik np.: z germanu lub krzemu, to z atomów wówczas uwalniają się niektóre elektrony walencyjne, a w obwodzie, w którym włączony jest opornik popłynie prąd. To uwalnianie się elektronów jest charakterystyczne dla półprzewodników samoistnych. Oporność półprzewodnika w przybliżeniu maleje wraz ze wzrostem temperatury zgodnie ze wzorem: Rt = R0 (1 – αr ΔT) Dokładnie opór właściwy półprzewodnika maleje zgodnie ze wzorem: gdzie: ΔE – szerokość energetyczna pasma zabronionego, k – stała Boltzmana. 27.2 Półprzewodniki domieszkowe Półprzewodniki domieszkowe otrzymujemy wówczas, gdy do germanu Ge lub krzemu Si wprowadzimy niewielkie domieszki z III grupy (np.: Al., Tl, In) lub z V grupy (np.: P, As, Sb). Domieszki te nazywamy odpowiednio akceptorami (III grupa), ponieważ mogą przyjmować jeden elektron, lub donorami (V grupa), ponieważ dają one jeden elektron ze swojej sieci krystalicznej do dyspozycji całemu półprzewodnikowi. Półprzewodniki z domieszkami z III grupy są typu p (od słowa positivus – dodatni). Posiadają one nadmiar dziur, albo inaczej niedobór elektronów. Półprzewodniki z domieszkami z V grupy są typu n (od słowa negativus – ujemny). 27.3 Dioda krystaliczna Diodę krystaliczną, lub inaczej półprzewodnikową otrzymujemy po zetknięciu półprzewodnika typu n z półprzewodnikiem typu p. Strzałki na schematach elementów półprzewodnikowych oznaczają zawsze kierunek przepływu dziur. W miejscu zetknięcia obu półprzewodników powstaje na skutek dyfuzji elektronów i dziur warstwa zaporowa. Przez tę warstwę następuje przepływ ładunków aż do chwili osiągnięcia równowagi dynamicznej. Dalszy przepływ przez warstwę zaporową Rys 347 Dioda półprzewodnikowa i jej oznaczenie na schematach możliwy jest po przyłożeniu do niej napięcia w kierunku przewodzenia. Dioda włączana może być bowiem, zarówno w kierunku zaporowym jak i przewodzenia. Jeśli diodę włączymy w kierunku zaporowym, jak pokazano na rysunku 347, to elektrony spłyną do „+”, a dziury do „ – ” źródła. Prąd wówczas przez złącze nie będzie płynął. W przypadku odwrotnym będziemy mieli do czynienia z kierunkiem przewodzenia. Rys. 348 Charakterystyka prądowo – napięciowa diody półprzewodnikowej Rys. 348a Prostowniki a) jednopołówkowy, b) dwupołówkowy Rys 348b Prostownik w układzie Graetza PYTANIA 1) Według jakich kryteriów dzielimy materiały na przewodniki, półprzewodniki i izolatory? 2) Jaka jest energia jonizacji (praca wyjścia) z atomu germanu? 3) Jaka energia potrzebna jest do jonizacji izolatorów? 4) Jak zbudowana jest dioda półprzewodnikowa i jak się ją oznacza na schemacie (co oznacza strzałka)? 5) Jakie to są półprzewodniki samoistne i czym się one różnią od półprzewodników domieszkowych? 6) Omówić w jaki sposób otrzymuje się półprzewodniki typu p i typu n? 7) Co to są donory i akceptory? 27.4 Tranzystory Obecnie produkuje się bardzo wiele różnego rodzaju tranzystorów, które stosowane są w układach scalonych. Rozróżnia się m.in. tranzystory typu pnp oraz typu npn, środkowa literka tych oznaczeń dotyczy rodzaju półprzewodnika bazy. Pierwszy z wymienionych wyżej tranzystorów posiada bazę, której półprzewodnik jest typu n, drugiego natomiast baza zbudowana jest z półprzewodnika typu p. Strzałki na emiterach wskazują kierunek przepływu dziur i określają w ten sposób typ bazy n lub p (rys 349). Rys. 349 Oznaczenia schematyczne tranzystorów E – emiter, B – baza, C – kolektor Rys. 350 Schemat ideowy tranzystora typu npn Efekt tranzystorowy polega na tym, że zwiększając natężenie prądu w obwodzie emiter – baza, zwiększa się prąd w obwodzie kolektorowym. Między emiter i bazę włącza się w tym celu źródło w kierunku przewodzenia, regulując wielkość napięcia tego źródła, ustalamy pewien prąd w obwodzie bazy, który jest pewnym parametrem ), przy którym uzyskujemy zależność prądu kolektora od napięcia – (emiter – baza). Obwód baza kolektor spolaryzowany jest w kierunku zaporowym. 27.4.1 Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne występuje w fotoogniwie, polega ono na tym, że kwanty światła przechodząc przez cienką folię z miedzi (Cu), dochodzą do warstwy półprzewodnika Cu2O i rozdzielają w tej warstwie pary: dziura elektron, (patrz rys. 351) powodując przepływ prądu w obwodzie. Rys. 351 Budowa i zasada działania ogniwa fotoelektrycznego Fotoogniwo jest to urządzenie służące do bezpośredniego przetwarzania energii światła na energię elektryczną. 27.4.2 Charakterystyki kolektorowe tranzystora Charakterystyki kolektorowe tranzystora zdejmuje się w układzie pokazanym poniżej. Rys. 352 Schemat układu do otrzymywania charakterystyk kolektorowych tranzystorów pnp W obwodzie jak pokazano na rysunku 352 ustawiamy za pomocą potencjometru P1 wartość prądu w obwodzie bazy. Przesuwając jego suwak ku górze zwiększamy prąd bazy IB. Za pomocą potencjometru P2 regulujemy wartość napięcia w obwodzie kolektora, przy ustalonym prądzie bazy, który jest tu parametrem. Z wykresu charakterystyk kolektorowych tranzystora widać, że przy ustalonym prądzie bazy w miarę zwiększania napięcia między emiterem i kolektorem UEC zwiększa się prąd płynący w obwodzie kolektora początkowo dość szybko, a następnie w miarę zwiększania UEC, prąd w obwodzie kolektora nie wzrata. W celu wyznaczenia współczynnika wzmocnienia prądowego tranzystora β, którego wartość zawiera się zwykle w granicach 30 – 200, odczytujemy z wykresu dla danego UEC oraz ΔIB wartość ΔIC. Często spotyka się charakterystyki tranzystorów zebrane na wspólnym wykresie. Oto one: Rys. 353 Charakterystyki tranzystorów W którym: U1 = h11i1 + h12U2 i2 = h21i1 + h22U2 (gdy U2 = 0) – opór wejściowy (gdy i1 = 0) – rozwarciowy współczynnik napięciowego sprzężenia zwrotnego (gdy U2 = 0) – zwarciowy współczynnik wzmocnienia prądowego (gdy i1 = 0) – przewodność wyjściowa 27.4.3 Tranzystor polowy Tranzystor polowy w skrócie FET (z ang. Field Effect Transistor) można traktować jako opornik, którego wartość rezystancji reguluje się za pomocą napięcia. Tym opornikiem będzie tu tzw. kanał o przewodnictwie n albo p. Elektrodą sterującą w tranzystorze polowym jest bramka G, która jest odpowiednikiem bazy, (z ang. Gate), emiterowi odpowiada źródło S, (z ang. Source), a dren D jest odpowiednikiem kolektora. Bramka jest odizolowana od półprzewodnikowego kanału, za pomocą warstwy tlenku krzemu (SiO2), zapewnia to duży opór wejściowy tranzystora rzędu 1016Ω. Obwód wejściowy tranzystora polowego narażony jest w związku z tym na zniszczenie, ponieważ w tranzystorze tym mogą gromadzić się ładunki elektryczne powodujące powstanie napięcia o znacznej wartości, które może być przyczyną uszkodzenia tranzystora. Ta duża oporność wejściowa jest jednocześnie jego zaletą, ponieważ posiada on mały poziom szumów. Dzięki temu tranzystory polowe znalazły zastosowanie we wzmacniaczach prądu stałego -operacyjnych i pomiarowych oraz we wzmacniaczach napięć przemiennych w zakresie małych i średnich częstości. Istotną zaletą tranzystorów polowych jest ich duża odporność na radiację, dlatego są one stosowane w układach pomiarowych i regulacyjnych reaktorów atomowych oraz w urządzeniach pokładowych statków kosmicznych. W tranzystorze z kanałem n, prąd płynie od drenu do źródła, a w tranzystorze z kanałem p odwrotnie. Charakterystyka tranzystora polowego pokazanego na rys.354 przedstawia zależność prądu ID od napięcia UGS, przy różnych wartościach UDS. Z charakterystyk tych widać, że prąd ID jest wprost proporcjonalny do napięcia sterującego. Po prawej stronie pokazane są charakterystyki wyrażającej zależność między prądem ID , a napięciem UDS, przy różnych UGS. Zwiększenie UDS powyżej określonej wartości, powoduje gwałtowny wzrost prądu ID, co może doprowadzić do uszkodzenia tranzystora. W związku z tym, jak widać z charakterystyki, do bramki nie można przyłączać dużego napięcia dodatniego, aby nie uszkodzić tranzystora. Rys. 354. Układ zasilania i sterowania oraz symbole graficzne tranzystora polowego: a) – z kanałem n, b) - z kanałem p, (obok podane zostały charakterystyki napięciowo-prądowe tranzystora polowego) (na schemacie strzałki pokazują kierunek przepływu dziur tj. od p do n) PYTANIA 1) Narysować schemat przedstawiający budowę tranzystora. 2) Na czym polega efekt tranzystorowy? 3) Na czym polega zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne i gdzie się je wykorzystuje? 4) Narysować schemat do zdejmowania charakterystyki kolektorowej tranzystora. 5) Narysować charakterystykę kolektorową tranzystora. 6) Opisać budowę i zasadę działania tranzystora polowego. 27.4.4 Tyrystory Tyrystory są szeroko stosowane zarówno w energetyce jak i elektronice przemysłowej. Za pomocą tyrystorów można przełączać zarówno wysokie napięcia (powyżej 2000 V), jak i prądy powyżej 1000 A. Tyrystory mogą pracować zarówno w układach impulsowych, jak i w urządzeniach z prądem przemiennym małej częstotliwości. Straty energii związane z przełączaniem są bardzo małe. Spadek napięcia na przewodzącym tyrystorze jest rzędu 2 V a moc potrzebna do jego sterowania jest znikomo mała (rzędu 0,3 W). Wadą tyrystorów jest jego podatność na przepięcia i udary prądowe oraz brak możliwości odłączenia przewodzącego tyrystora przez oddziaływanie na jego bramkę, można jedynie odpowiednio zmniejszyć przepływający prąd. Zastosowanie tyrystorów dużej mocy znalazło miejsce w układach przetwarzających prąd stały na przemienny i odwrotnie. Silniki z tyrystorową regulacją używane są w lokomotywach elektrycznych, tramwajach i innych pojazdach elektrycznych, a także w przemyśle ciężkim i w górnictwie. Dzięki tyrystorowym urządzeniom regulacyjnym zaistniała możliwość oszczędzania energii elektrycznej i w związku z tym ochrony środowiska przed zanieczyszczeniami. Tyrystory dwukierunkowe noszą nazwę triaków. Mamy w nich do czynienia z dwoma stanami blokowania. Dwa tyrystory można zastąpić jednym triakiem. Są one najczęściej stosowane w urządzeniach małej mocy .na niższe napięcia i prądy niż tyrystory. Rys. 355 Symbole graficzne: a) tyrystora, b) triaka i charakterystyka tyrystora 27.5. Elementy optoelektroniczne W optoelektronice zajmujemy się wzajemnym oddziaływaniem energii promieniowania świetlnego na energię elektryczną i odwrotnie. Diody elektroluminescencyjne przetwarzają energie elektryczną na energię promieniowania świetlnego, a fotodiody i fotoogniwa odwrotnie. 27.5.1. Diody świecące - elektroluminescencyjne Diody świecące inaczej LED (z ang. Light Emiting Diode), znalazły zastosowanie w różnego rodzaju sygnalizacji dotyczącej pracy urządzeń elektrycznych i elektronicznych w komputerach i sprzęcie radiowo-telewizyjnym. Diody świecące stosowane są jako wskaźniki cyfrowe oraz linie diodowe. Mają one różne barwy świecenia: zielone, czerwone, pomarańczowe i żółte mogą również emitować niewidzialne dla oka promieniowanie podczerwone stosowane w różnego rodzaju pilotach włączających i wyłączających np. telewizory i inne mechanizmy. Barwa świecenia zależy od materiału z jakiego jest wykonana dioda. Fosforek galu domieszkowany siarką i azotem daje światło zielone, domieszkowany cynkiem i tlenem świeci na czerwono. Barwa światła może być zależna również od natężenia prądu płynącego przez diodę. Diody świecące mają dwie elektrody: anodę i katodę. Obudowa ich jest wykonana z tworzywa sztucznego przepuszczającego światło. Rys. 356 Dioda świecąca z rezystorem oraz charakterystyki diod świecących 27.5.1.1 Fotodiody Fotodiody - zamieniają światło na prąd. Odwrotnie niż diody świecące, które świecą na skutek przepływającego przez nie prądu. W fotodiodach światło padające na złącze p-n powoduje powstanie siły elektromotorycznej. Jeśli fotodiodę spolaryzujemy w kierunku zaporowym, to po oświetleniu złącza prąd znacznie wzrasta w porównaniu z polaryzacją w kierunku przewodzenia. Do produkcji fotodiod używa się krzemu lub arsenku galu – GaAs, w odróżnieniu fotoogniw, które budowane są tylko z krzemu. Fotodiody mogą pracować przy bardzo dużych częstotliwościach sygnałów świetlnych, w których wnętrzu złącza p-n zastosowano warstwę „samoistnego półprzewodnika” zmniejszającą pojemność fotodiody. Napięcia i prądy wsteczne spowodowane oświetleniem diody oraz czułość prądowa fotodiody Si = I[nA]/E[Lx] - są podstawowymi parametrami fotodiod. Często podaje się również długość fali λopt to jest, dla której dioda ma maksymalną czułość Si . Rys. 357 Fotodioda w układzie elektrycznym 27.5.1.2 Fototranzystory Fototranzystor, jak sama nazwa wskazuje, jest czuły na światło podobnie jak fotodioda z tym, że jest on o wiele od niej czulszy, ponieważ prąd przepływający przez tranzystor jest w porównaniu z fotodiodą dodatkowo wzmacniany. Częstotliwość graniczna fototranzystora jest znacznie mniejszą niż fotodiody. Baza fototranzystora naświetlana jest światłem wywołującym przepływ prądu, nie ma on obwodu bazy tak jak w zwykłych tranzystorach. Fototranzystor charakteryzują: prąd ciemny bazy Io (ma miejsce wówczas, gdy tranzystor jest nieoświetlony), prąd jasny IL – ma miejsce wtedy, gdy fototranzystor jest oświetlony, napięcie jest rzędu 30 V, a prąd ok. 1 mA, częstotliwość graniczna do 70 kHz. Rys. 358 Schemat pracy fototranzystora 27.5.1.3 Transoptory Transoptory służą do oddzielenia galwanicznego dwóch obwodów elektrycznych. Stosuje się je w układach elektrycznych, w których chcemy oddzielić np. układ wysokiego napięcia od układu sterującego, aby nie uszkodzić go wysokim napięciem. Transoptory składają się jakby z dwóch elementów w jednej obudowie, mogą to być dwie diody jedna świecąca a druga fotodioda, lub diody świecącej i fototranzystora. Mogą być wykorzystywane jako wyłączniki fotoelektroniczne lub jako klucze optoelektroniczne służące np. do liczenia przesuwających się na taśmie produkcyjnej przedmiotów. Rys. 359 Schemat transoptora: a) z fotodiodą, b) z fototranzystorem PYTANIA 1. Omówić zasadę działania i zastosowanie tyrystorów 2. Podać rodzaje i zastosowanie diod świecących. 3. Podać parametry i zasadę działania fotodiod i fototranzystorów 4. Zasada działania i zastosowanie transoptrów 27.6 Układy scalone Pierwszym etapem miniaturyzacji w elektronice było zastosowanie tranzystorów, dzięki którym znacznie zmniejszyła się objętość urządzeń elektronicznych. Następnym etapem miniaturyzacji było zastosowanie metody najgęstszego upakowania standardowych elementów. Technika ta została nazwana techniką minimodułową. Olbrzymim skokiem w dziedzinie miniaturyzacji układów elektronicznych było wprowadzenie techniki układów scalonych (IC – Integrated Circuit). Dziedzinę elektroniki zajmującą się techniką układów scalonych nazwano mikroelektroniką. Układem scalonym nazywamy mikrostrukturę, w której pewna liczba elementów układu jest nierozłącznie związana konstrukcyjnie w ośrodku ciągłym lub na jego powierzchni. Wykonany w ten sposób układ scalony nie może być rozłożony na części składowe bez jego uszkodzenia. Układ scalony jest więc pojedynczym, niepodzielnym elementem elektronicznym, spełniającym pewną określoną funkcję logiczną lub matematyczną. W zależności od technologicznego procesu wytwarzania, układy scalone zostały podzielone na: · hybrydowe (mieszane), · monolityczne (półprzewodnikowe). 27.6.1 Układy scalone hybrydowe W układach hybrydowych elementy czynne są wytwarzane oddzielnie, a następnie montowane do układu scalonego. Elementy bierne i połączenia wewnątrzukładowe są wykonywane przy użyciu dwóch technologii: grubowarstwowej i cienkowarstwowej. Hybrydowe układy grubowarstwowe otrzymuje się metodą sitodruku, drogą kolejnego nakładania przez sita warstw przewodzących, oporowych, dielektrycznych, magnetycznych i ochronnych na ceramiczne podłoże (np.: Al2O3 lub BaTiO3). Składnikami warstw dielektrycznych są mieszaniny drobnodyspersyjnych proszków, tlenków metali lub spieków tlenków metali z proszkami szklanymi, a warstw oporowych i przewodzących – mieszaniny proszków metali szlachetnych z proszkami szklanymi. Mieszaniny te, z dodatkiem organicznego nośnika, tworzą pastę do sitodruku. Po nadrukowaniu kolejnych warstw, następuje proces wypalania w piecach przy ściśle zaprogramowanym przebiegu temperatury. Hybrydowe układy cienkowarstwowe są wykonywane na płytkach szklanych lub ceramicznych. Na płytki nakłada się cienkie warstwy materiałów przewodzących, dielektrycznych lub oporowych, o grubości 0.1 μm – 0.1 mm. Nałożone warstwy różnych materiałów po odpowiednich zabiegach technologicznych tworzą oporniki, kondensatory i połączenia między nimi. Wytwarzanie elementów elektronicznych przez nakładanie cienkich warstw na płytkę izolującą wymaga różnorodnych materiałów. Materiały te muszą być dobierane ze względu na ich opór właściwy ρ, przenikalność elektryczną ε, stałość ich właściwości w funkcji temperatury i rozszerzalność cieplną αt. Właściwości fizyczne ciała w postaci cienkiej warstwy są odmienne od właściwości fizycznych tegoż ciała w postaci próbki o większej objętości. Cechą wspólną technologii grubowarstwowej i cienkowarstwowej jest bierne podłoże, na którym wykonuje się układy scalone. 27.6.2 Układy scalone monolityczne Istota układów scalonych monolitycznych polega na tym, że wszystkie elementy, zarówno czynne jak i bierne, są wykonane w jednym kawałku krzemu. Elementy krzemowe mają dużo wyższy zakres temperatury pracy (150˚C) niż germanowe (75˚C). Wyższość krzemu nad germanem polega jeszcze na tym, że: 1) prąd wsteczny złączy spolaryzowanych zaporowo jest w krzemie o kilka rzędów wartości mniejszy niż w germanie, 2) krzem umożliwia łatwe stosowanie technologii planarnej i epitaksjalnej , gdyż pokrywająca go warstwa dwutlenku krzemu stanowi doskonałą maskę dla dyfuzji domieszek i jest stosowana jako warstwa ochronna gotowego układu przed działaniem czynników zewnętrznych. Układy scalone monolityczne odznaczają się następującymi właściwościami: · maksymalną miniaturyzacją, co prowadzi do wzrostu gęstości upakowania, sięgającego do kilkunastu tysięcy elementów na 1 cm3, · dużą niezawodnością, gdyż zarówno elementy czynne jak i bierne są wykonane w jednej płytce półprzewodnikowej za pomocą odpowiednich procesów fizyko – chemicznych: przejście od jednego elementu do drugiego odbywa się z zachowaniem mechanicznej ciągłości płytki półprzewodnikowej, a zmienia się tylko struktura chemiczna i fizyczna materiału półprzewodnikowego, · przy odpowiednio dużej produkcji najniższymi kosztami wytwarzania. Układy scalone monolityczne są budowane na czynnym elektrycznie podłożu, ponieważ krzem ma skończony opór właściwy i może przewodzić prąd, a wszystkie elementy układu są sprzężone poprzez podłoże pojemnościowo i oporowo. W ten sposób otrzymujemy zawsze nowy, bardziej złożony element o nowych właściwościach, różniący się od jego odpowiednika w technice dyskretnej (hybrydowej), którego zaprojektowanie nie może być dokonane za pomocą metod klasycznej teorii układów. Istnieją dwa podejścia przy projektowaniu układów monolitycznych: · pierwsze polega na takim zaprojektowaniu struktury układu scalonego, aby maksymalnie ograniczyć niektóre oddziaływania między elementami poprzez czynne podłoże, · drugie podejście pozwala na jak najszerszy udział oddziaływań między elementami poprzez czynne podłoże. To drugie podejście umożliwia łatwiejszą realizację znanych funkcji matematycznych czy logicznych lub realizację nowych funkcji, niemożliwych do uzyskania w układach z elementami dyskretnymi. 27.6.3 Podział układów scalonych ze względu na stopień scalenia oraz w zależności od spełnianej funkcji Układy scalone w zależności od stopnia scalenia (gęstości upakowania) dzielimy na trzy grupy: 1. układy scalone o małym stopniu scalenia (ang. SSI, Small Scale Integration), tzn. takie układy, które w ramach jednej struktury zawierają nie więcej niż 30 uładów logicznych, 2. układy scalone o średnim stopniu scalenia (ang. MSI, Medium Scale Integration), liczba układów logicznych w jednej strukturze w granicach od 30 do 100, 3. układy scalone o dużym stopniu scalenia (ang. LSI, Large Scale Integration), liczba układów logicznych w jednej strukturze ponad 100. W zależności od spełnianej funkcji układy scalone dzielimy na cyfrowe i liniowe. PYTANIA 1. Podać charakterystykę układów scalonych. 2. Omówić układy scalone hybrydowe i monolityczne. 3. Omówić stopień scalenia i funkcje układów scalonych. 28 NADPRZEWODNICTWO W temperaturze Θ, (w pobliżu 0 K) – różnej dla różnych materiałów, oporność właściwa ρ materiału spada do zera, ale tylko dla ciał, które nie są najlepszymi przewodnikami prądu. Natomiast dla bardzo dobrych przewodników prądu elektrycznego, takich jak złoto, srebro, platyna, miedź nie obserwuje się zjawiska nadprzewodnictwa. 28.1 Nadprzewodnictwo dla ołowiu Nadprzewodnictwo wiąże się z własnościami magnetycznymi materii. Rys. 360 Związek nadprzewodnictwa z polem magnetycznym Z rysunku powyższego widać, że jeśli ciało znajduje się w obszarze nadprzewodnictwa tzn. posiada temperaturę T < Θ, to można go z tego obszaru wyprowadzić przez odpowiednie zwiększanie indukcji pola magnetycznego B w zależności od temperatury, którą posiada nadprzewodnik. Zwiększenie B można uzyskać zwiększając natężenie prądu elektrycznego płynącego przez elektromagnes, w którego polu umieszczony został nadprzewodnik, ponieważ: . PYTANIA 1) Na czym polega nadprzewodnictwo? 2) Czy wszystkie metale wykazują nadprzewodnictwo? 3) W jaki sposób nadprzewodnictwo wiąże się z własnościami magnetycznymi materii? 4) W jaki sposób można wyprowadzić materiał z obszaru nadprzewodnictwa za pomocą pola i o jakie pole tu chodzi? 5) Od czego i w jaki sposób zależy oporność półprzewodnika? VII FIZYKA RELATYWISTYCZNA 29 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 29.1 Prawo dodawania prędkości Jeśli u jest prędkością układu współrzędnych x’ y’ z’ względem układu odniesienia x y z, oraz v’ jest prędkością jakiegoś obiektu w układzie „primowanym”, to zgodnie z teorią względności, prędkość tego obiektu względem układu odniesienia, wyraża się wzorem: Ze wzoru tego widać, że przy dużych prędkościach u oraz v’ prędkości tych nie można dodawać (zwyczajnie) klasycznie, ponieważ gdyby: u = c oraz v’ = c, to jak łatwo sprawdzić v nie będzie równe 2c, jakby wynikało ze zwykłego dodawania, a jedynie c. 29.2 Względny wzrost masy ciała w zależności od prędkości Pomiary wykazują, że wraz ze wzrostem prędkości ciała względem obserwatora dokonującego pomiaru masa ciała rośnie zgodnie ze wzorem: 29.3 Względność zmiany wymiarów ciała w kierunku ruchu Długość l ciała w ruchu, jak wykazuje pomiar jest mniejsza od długości l0 ciała znajdującego się w spoczynku: l < l0: 29.4 Czas w obiektach poruszających się względem obserwatora Pomiar czasu t wykazuje, że w obiektach poruszających się względem obserwatora płynie on wolniej (jest on więc dłuższy) niż w obiektach znajdujących się w układzie obserwatora, oznaczany jest zwykle przez t0 : t > t0 (paradoks bliźniąt A. Einsteina). PYTANIA 1. Podać prawo dodawania prędkości w teorii względności. 2. W jaki sposób zmienia się długość ciała w ruchu zgodnie z teorią względności? 3. Podać i objaśnić wzór na czas upływający dla obiektów poruszających się względem obserwatora zgodnie z teorią względności. 29.5 Zasada nieoznaczoności Heisenberga Zasada nieoznaczoności jest jedną z podstawowych zasad mechaniki kwantowej. Wynika ona z natury korpuskularno – falowej materii. Zasada ta głosi, że iloczyn niepewności pomiarów pędu Δp i położenia Δx cząstki, energii ΔE i czasu Δt oraz momentu pędu ΔL i przesunięcia kątowego ΔΦ nie są nigdy mniejsze od stałej Plancka . Fakt ten można zapisać w sposób następujący: Δp Δx ≥ ħ ΔE Δt ≥ ħ ΔL ΔΦ ≥ ħ O parach wielkości: (p,x), (E,t), (L,Φ) mówimy, że są kanonicznie (zasadniczo, poprawnie) sprzężone. Ogólnie zasadę Heisenberga można sformułować następująco: iloczyn par wielkości fizycznych kanonicznie sprzężonych jest nie mniejszy od stałej Plancka ħ. Fakt ten można uzasadnić następująco na przykładzie pędu i położenia cząstki. Jeśli np.: przez jedną z dwóch szczelin przechodzi elektron, podobnie jak foton, to nie wiadomo dokładnie gdzie on uderzy w ekran, zakres tej odległości zależy od składowej pędu w tym kierunku tak jak na rysunku 361. Rys. 361 Graficzne przedstawienie zasady nieoznaczoności stąd Δpx Δx = λp = h Iloczyn ΔE Δt – nosi nazwę działania, przy czym: h = 6.62 · 10-34Js – jest najmniejszym kwantem działania. Z zasady nieoznaczoności wynika, że im mniejszy jest czas przebywania atomu w stanie wzbudzonym, tym większa jest nieoznaczoność energii tzn. występuje większe rozmycie poziomu energetycznego danego atomu (a także im większy czas tym mniejsze rozmycie). Dla stanu podstawowego, dla którego τ jest praktycznie nieskończenie duże, ΔE → 0. Jeśli średni czas życia atomu w stanie wzbudzonym jest rzędu 10-8s, to szerokość poziomu energetycznego łatwo można wyznaczyć ze wzoru: w takim więc zakresie może przypadkowo zmieniać się energia danego poziomu energetycznego w atomie. Fluktuację częstości emitowanych fotonów można określić wzorem: a fluktuację długości fali wzorem: ponieważ stąd: a zatem: to samo prościej można otrzymać ze stosunku: stąd: PYTANIA 1. Co mówi zasada nieoznaczoności Heisenberga? 2. Jakie wnioski można wyciągnąć z zasady nieoznaczoności? 29.6 Promieniowanie wymuszone – lasery Podstawa fizyczna działania laserów polega na tym, że atomy ośrodka czynnego (jakim może być m.in. kryształ kwarcu (Al2O3) w postaci pręta) pobudzane są przez tzw. „pompowanie” za pomocą kwantów światła pochodzące z lampy błyskowej. Laser wysyła wiązkę światła spójnego (oznacza to, że wychodzące z rubinu kwanty promieniowania maja tę samą fazę drgań, która nie ulega zmianie ani w czasie, ani w przestrzeni). Wiązka promieniowania laserowego emitowana jest impulsowo. Moc w impulsie może osiągnąć 100 MW lub więcej w czasie 10-7s. Po zogniskowaniu wiązki promieniowania laserowego na powierzchni 0.01 mm2 natężenie może osiągnąć olbrzymią wartość 106 MW/cm2. W związku z tym w ognisku wiązki laserowej powstaje bardzo wysoka temperatura. Ciśnienie promieniowania osiąga chwilową wartość rzędu 5 ∙108Pa, co w stosunku do ciśnienia promieniowania słonecznego jest 1014 razy większe. Rys. 362 Schemat budowy lasera rubinowego, z0 – zwierciadło odbijające, zpp – zwierciadło półprzepuszczalne Promieniowanie laserowe powstaje wówczas, gdy elektrony atomów wzbudzonych na skutek dokonanej wcześniej tzw. inwersji obsadzeń przeskakują na niższe orbity, tracą część swojej energii, która wypromieniowana jest w postaci fotonu: ΔE = E2 – E1 = hν W stanie równowagi termodynamicznej obsadzenie poziomów energetycznych (na jednostkę objętości) jest następujące: gdzie: N1 – liczba elektronów na niższym poziomie energetycznym, N2 – liczba elektronów na wyższym poziomie energetycznym, ΔE – szerokość przerwy energetycznej (tj. różnica energii między poziomami energetycznymi), T – temperatura w kelwinach [K], k – stała Boltzmanna, k = 1.38 ·10-23 [J/K]. Przy przechodzeniu kwantów (fotonów) przez ośrodek (w tym przypadku kryształ kwarcu) natężenie kwantów zwykle się zmniejsza zgodnie z prawem Lamberta – Beera: I = I0 e-kx gdzie: x – grubość ośrodka, przez który przechodzi promieniowanie, k – współczynnik absorpcji, który jest zwykle większy od zera (w przypadku inwersji obsadzeń k jest mniejsze od zera wobec tego I – natężenie promieniowania wychodzącego z kwarcowego ośrodka jest większe od I0), I0 – natężenie promieniowania wchodzącego do kwarcu. Można rozpatrzyć trzy przypadki przedstawione na rysunkach i wykresie poniżej. Rys. 363 Zależność współczynników absorpcji od stanu ośrodka (inwersji obsadzeń). Aby uzyskać efekt laserowy muszą być spełnione trzy warunki, w tym celu należy: 1. dostarczyć elektronom pewną ilość energii aby przenieść je na wyższy poziom energetyczny tak aby N2 > N1 (proces ten nazywa się pompowaniem optycznym) 2. utrzymać stan obsadzenia na górnym poziomie energetycznym przez czas t > 10-8s (można tego dokonać przez obsadzenie poziomów metatrwałych, w których elektrony mogą przebywać w czasie 10-3s) 3. utrzymać emitowane kwanty w obrębie ośrodka czynnego lasera np.: osi walca z kryształu rubinu lub osi rury ośrodka gazowego lasera – dokonuje się tego za pomocą zwierciadeł z0 i zpp, (maksymalne wzmocnienie promieniowania laserowego uzyskuje się wówczas, gdy odległość między zwierciadłami wynosi wielokrotność połowy długości fali promieniowania laserowego). Lasery znalazły szerokie zastosowanie w technice, badaniach naukowych, w medycynie i w wojsku. W technice laserów używa się m. in. do cięcia, wiercenia otworów, różnego rodzaju pomiarów, sterowania, w geodezji, informatyce i łączności, w technice radiowo – telewizyjnej, filmie itd. W medycynie laser stał się już coraz bardziej nieodzownym narzędziem diagnostycznym i terapeutycznym. Lasery stosowane są szeroko w stomatologii farmacji, dermatologii oraz kosmetyce, a także w ochronie środowiska. W wojsku obok telekomunikacji i łączności wykorzystuje się je jako środki do niszczenia rakiet. Nie ma i nie będzie szybszych pocisków od „pocisków” laserowych, które przenoszą się z prędkością światła, ponieważ są one wiązkami świetlnymi o dużej mocy. Promieniowanie laserowe jest spójne (tzn. kwanty zachowują tę samą fazę w przestrzeni, faza ich nie zmienia się również w czasie). Spójność promieniowania laserowego odgrywa wielką rolę w zjawiskach interferencyjnych, które wykorzystuje się w holografii, pozwalającej uzyskiwać obrazy trójwymiarowe tzw. hologramy. Hologramy wykorzystuje się między innymi w okulistyce do badania wnętrza oka. PYTANIA 1. Omów podstawy fizyczne działania laserów? 2. W jakim momencie powstaje promieniowanie laserowe? 3. Czym się charakteryzuje promieniowanie laserowe? 4. Jakie warunki muszą być spełnione, aby uzyskać promienie laserowe? 5. Podać przykłady zastosowań laserów. 29.7 Holografia Zasada uzyskiwania zdjęć holograficznych jest stosunkowo prosta, ale aby tę prostotę dojrzeć trzeba było geniusza. Był nim w tym przypadku polski fizyk Mieczysław Wolfke, który już w 1920 r. podał zasadę holografii. Teorię holografii bardziej szczegółowo opracował Denis Gabor w 1948 roku. Praktycznie jednak udało się dopiero zrealizować ten pomysł po wynalezieniu laserów pod koniec lat 60 – tych XX wieku. Słowo holografia pochodzi z języka greckiego i oznacza odtwarzać w całości (nie upraszczać). W przypadku oglądania obrazu na fotografii nie widzimy nigdy trójwymiarowości przedmiotu, którą obserwujemy patrząc bezpośrednio na dany przedmiot. Obserwując trójwymiarowość rzeczywistych przedmiotów na zmysł naszego wzroku (czego nawet sobie nie uświadamiamy) działa nie tylko amplituda (związana z natężeniem światła), ale również długość fali (związana z barwą) i faza drgań fali światła odbitego, która związana jest właśnie z trójwymiarowością przedmiotów. Na oglądanie dodatkowo fazy drgań światła pozwalają nam metody holograficzne, w których wykorzystana jest dyfrakcyjna teoria odwzorowania optycznego. Teoria ta tłumaczy również odwzorowania przedmiotów za pomocą fal dźwiękowych, radiowych rentgenowskich, czy też cząstek materii – elektronów, protonów itd. Metoda interferencyjna polega na tym, że fala o nieznanym, pochodzącym od przedmiotu (przedmiotowym) rozkładzie fazowym nakłada się na spójną z nią falę odniesienia. W wyniku tworzy się przestrzenny układ pola interferencyjnego i jeżeli do takiego pola wprowadzi się kliszę fotograficzną, na której zarejestrowane zostaną prążki interferencyjne, to otrzyma się hologram. Jeżeli następnie taką samą falą jak fala odniesienia oświetli się tę kliszę (hologram), to w wyniku jej ugięcia na obrazie tym powstanie fala będąca jakby dalszym ciągiem fali przedmiotowej i obserwator ma wrażenie, że ogląda rzeczywisty przedmiot przez okienko o wymiarach hologramu. Rozdzielając hologram na mniejsze części nie ogranicza się w ten sposób wielkości obrazu zwanego pierwotnym, lecz zmniejsza się tylko pole obserwacji. Dlatego lokalne uszkodzenia hologramu nie powodują straty odpowiedniego fragmentu obrazu, a jedynie spadek jego jasności i zmniejszenie kontrastu. Holografia znalazła zastosowanie w optycznym przetwarzaniu i przechowywaniu informacji w pamięciach komputerowych. Metodami holograficznymi można rejestrować informację z gęstością 8 ·109 bitów/cm2, a z użyciem hologramów objętościowych z gęstością 1012 ÷ 1013 bitów/cm3. Reasumując należy stwierdzić, że w celu otrzymania obrazu holograficznego należy go zarejestrować wykorzystując interferencję, czyli nakładanie się fal spójnych: jednej fali odniesienia pochodzącej z lasera i drugiej (fali przedmiotowej) pochodzącej od oświetlanego tym samym laserem przedmiotu. Rys. 364 Zapis obrazu holograficznego dla przedmiotów a) przezroczystych, b) nieprzezroczystych, c) odtwarzanie hologramu Dla przedmiotów przezroczystych a) światło laserowe przechodzi przez przedmiot (fala przedmiotowa) i wraz z falą odniesienia, która bezpośrednio trafia na kliszę fotograficzną, tworzą na skutek nałożenia się dwóch fal obraz zwany hologramem. Przy zgodnej fazie obu fal następuje maksymalne wzmocnienie światła. Jeżeli fazy te są przesunięte względem siebie np.: o 180º, to nastąpi ich wzajemne wygaszenie. Przy innych przesunięciach fazowych będzie sytuacja pośrednia w zależności od wielkości przesunięcia fazowego między obu falami. Jeśli natomiast przedmiot, z którego chcemy uzyskać hologram jest nieprzezroczysty b), to wówczas światło laserowe odbite od przedmiotu będzie miało różne fazy w zależności od odległości poszczególnych elementów powierzchni przedmiotu od źródła fali i po nałożeniu się fali odbitej od przedmiotu z falą odniesienia na hologramie będą różne natężenia światła laserowego w różnych punktach zależnie od poszczególnych faz nakładających się promieni. Istnieje możliwość na jednym hologramie zarejestrowania wielu różnych obrazów i kolejne ich odtwarzanie bez zakłóceń ze strony pozostałych. Można również otrzymywać dowolnie barwne obrazy przedmiotów z czarno – białej błony przez oświetlenie jej trzema laserami o odpowiednich barwach. W oparciu o gromadzone w hologramach informacje istnieje nawet możliwość za ich pomocą wykonywanie skomplikowanych operacji matematycznych. PYTANIA 1. Przedstawić krótko historię rozwoju holografii. 2. Omówić proces powstawania hologramu. 3. Opisać sposób odczytywania hologramu. 4. Podać praktyczne zastosowania holografii. 30. LICZBY ZESPOLONE Liczby zespolone znajdują liczne zastosowania w fizyce, elektrotechnice, teorii drgań i teorii sterownia, upraszczają one obliczenia. Symbol j (a czasem „i”) nazwano jedynką urojoną - określa się go w sposób następujący: j2 = -1 lub a zatem liczbę zespoloną zapisuje się w następujący sposób: z = a + jb przy czym a i b są liczbami rzeczywistymi, takimi jak: 2, 5 –8, 12 itd. na przykład: z1 = 2 + j5, z2 = -8 +j2, z3 = 2 + j3 itd. Przykładowo obliczmy wartości następujących potęg jedynki urojonej: j-3, j-2, j-1, j3, j4. Korzystając z definicji mamy: Liczby zespolone składają się z części rzeczywistej (liczby: 2, -8, 2) i części urojonej (liczby: 5, 2, 3). Każdą liczbę rzeczywistą (np.: 6, -4 itp.) można traktować jako liczbę zespoloną, której część urojona jest równa zeru. Tak więc 6 = 6 + j0, -4 = -4 + j0. Na rysunku 365 przedstawiono geometryczną interpretację liczby zespolonej. Oś pozioma z napisem Re (realis) jest osią liczb rzeczywistych. Oś pionowa Im (imaginalis) jest osią liczb urojonych. Liczba zespolona jest określona odcinkiem OP, który często nazywa się wskazem. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość odcinka OP równa się . Długość tę nazywa się modułem liczby zespolonej i zapisuje się: Kąt φ jaki tworzy liczba z osią Re nazywa się argumentem liczby zespolonej. Z rysunku wynika, że Rys 365 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Argument liczby zespolonej zapisuje się w postaci: Obliczmy moduły i argumenty następujących liczb zespolonych: z1 = 1 + j1, z2 = 2 – j, z3 = j3 Liczby zespolone z1, z2, z3 pokazano na rysunku 366 Rys366, Przykłady liczb zespolonych 30.1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Z rysunku 1.2 widać, że liczbę zespoloną można zapisać także w postaci: algebraicznej z=a+jb lub trygonometrycznej, ponieważ: a = │z│cosφ; b = │z│sinφ; to: z = a + jb = │z│cosφ + j│z│sinφ = │z│(cosφ + j sinφ) Zapiszmy teraz w postaci trygonometrycznej liczby zespolone wymienione wyżej. z1 = 1 + j1 = 1.41 (cos 45˚ + j sin45˚) z2 = 2 – j = 2.24 [cos(-26˚40’) + j sin(-26˚40’)] = 2.24 [cos26˚40’ – j sin26˚40’] z3 = 0 + j3 = 3 (cos90˚ + j sin90˚) Liczby zespolone można również zapisać w postaci wykładniczej. Weźmy pod uwagę szereg nieskończony w następującej postaci: jeśli sumę tego szeregu oznaczymy symbolem ex, to: Chcąc obliczyć wartość liczby e, wystarczy podstawić x = 1 oraz zsumować wystarczająco dużo wyrazów szeregu: podstawiając za x = jφ mamy: uwzględniając odpowiednie potęgi j mamy: W matematyce wyższej dowodzi się, że funkcje trygonometryczne cosφ oraz sinφ są także sumami szeregów nieskończonych o postaciach: Porównując powyższe wzory można zapisać: ejφ = cosφ + jsinφ Liczbę zespoloną z można więc zapisać w następujący sposób: z = a + jb = │z│(cosφ + jsinφ) = │z│ejφ Zapis │z│ejφ nazywa się postacią wykładniczą liczby zespolonej. 30.2 Działania na liczbach zespolonych: (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) Aby dodać dwie liczby zespolone: z1 = 2 + j3 oraz z2 = -3 + j2.5, dodajemy do siebie części rzeczywiste i osobno części urojone np.: z1 + z2 = (2 + j3) + (-3 + j2.5) = -1 + j5.5 Podobnie należy postąpić aby odjąć dwie liczby zespolone np.: z1 = -4 +j2 oraz z2 = 3 – j3. z1 – z2 = (-4 + j2) – (3 – j3) = -7 – j5 Ogólnie jeżeli chcemy dodawać lub odejmować liczby zespolone, to np.: z1 = a1 + jb1 oraz z2 = a2 + jb2, z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) oraz z1 – z2 = (a1 – a2) + j(b1 – b2) Aby pomnożyć dwie liczby zespolone np.: z1 = 2 + j oraz z2 = 1 – j, to można je normalnie pomnożyć np.: z1·z2 = 3.16 ej 18˚20’ albo inaczej, ponieważ: z1 = 1 + j = 1.41 ej 45˚ oraz z2 = 2 – j = 2.24 e-j 26˚40’ Iloczyn z1 z2 = 1.41 ej 45˚ ·2.24 e-j 26˚40’ Ponieważ wiadomo, że: e5e3 = e5+3 = e8 lub , to: ej 45˚ ·e-j 26˚40’ = ej(45˚ - 26˚40’) = ej 18˚20’ a zatem: z1 · z2 = 3.16 ej 18˚20’ Aby podzielić dwie liczby zespolone: z1 = 1 + j oraz z2 = 2 – j. ponieważ wiadomo, że: wobec tego: oraz Z powyższych przykładów widać, że przy dodawaniu i odejmowaniu liczb zespolonych należy posługiwać się ich postacią algebraiczną. W przypadku mnożenia i dzielenia liczb zespolonych należy najpierw napisać je w postaci wykładniczej, moduły pomnożyć (lub podzielić), a argumenty dodać (lub odjąć). PYTANIA 1. Gdzie znalazły praktyczne zastosowanie liczby zespolone? 2. Co nazywamy jedynką urojoną? 3. Podać przykłady potęg jedynki urojonej. 4. Z czego składa się liczba zespolona? 5. Co nazywamy argumentem liczby zespolonej? 6. Co nazywamy modułem liczby zespolonej? 7. Podać przykłady liczb zespolonych i przedstawić je graficznie. 8. Podać i objaśnić postać: algebraiczną, trygonometryczną i wykładniczą liczby zespolonej 9. W jaki sposób otrzymujemy związki między postacią algebraiczną i trygonometryczną? 10. Skąd się wziął związek między postacią wykładniczą i trygonometryczną liczby zespolonej 11. Podać przykłady: dodawania, mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. 12. W jakich przypadkach posługujemy się postacią algebraiczną, a w jakich postacią wykładniczą liczb zespolonych. � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� 1 > o Ciecz p cC 100 C = 373.16 K Gaz - para cCc p r 2 r 3 > o � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� r 2 r t cC 2 np:H O 0 C = 273.16 K t cC Ciało stałe = 0 r 1 r np: lód � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 1 0 0 0 8 � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ��� �) Zamiast lub często jest „i”. � ) Wielkość bezwzględna w odróżnieniu od wielkości względnej, która jest bezwymiarowa np.: wydłużenie względne Δl/l = [m/m] �) Jest to założenie praktycznie nie realizowalne, ponieważ nigdzie we wszechświecie nie ma takiego punktu, aby nie działała siła grawitacji. �) Absolutnego spoczynku nie ma. �) Długość fali zależy od ośrodka, w którym fala się rozchodzi. �) Wartość g nie jest stała dla dowolnej szerokości geograficznej, bo z równości mg = � EMBED Equation.3 ��� wynika, że g zależy od masy planety – M, oraz od odległości r od środka masy czyli od szerokości geograficznej i od wysokości na jakiej się znajduje. Z równości tej wynika również fakt, że „g” jest różne dla różnych planet. �) W odróżnieniu od układu izolowanego układ zamknięty nie wymienia z otoczeniem masy (energię może wymieniać) � Punkt charakteryzujący rozmieszczenie masy w danym ciele lub układzie ciał, albo punktów materialnych. Podczas ruchu układu mechanicznego jego środek masy porusza się tak, jak poruszałby się punkt materialny o masie równej całkowitej masie układu, będący pod działaniem wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do układu �) Występują jednak przypływy i odpływy wód morskich wykorzystane np. w elektrowni pływowej zbudowanej w 1965 r. we Francji (Rance). Moc tej elektrowni sięga 300 MW. Wiąże się to ze zwalnianiem ruchu obrotowego Ziemi i wydłużaniu obecnie doby ok. 7 ms na 100 lat, po pewnym czasie doba się będzie odpowiednio zmniejszać. �) po nadaniu ciału prędkości v0, nie mamy już z nim kontaktu, a zatem i wpływu na niego. �) zaniedbujemy w tym przypadku wszelkie opory ruchu ciała, jakie doznawałoby ciało poruszające się np. w powietrzu. �) Siła odśrodkowa nie istnieje w układzie (inercjalnym) – obserwatora nie wirującego wraz z ciałem. �)Tzn. gdyby w przestrzeni była tylko Ziemia i wyrzucone ciało. � EMBED CorelDraw.Graphic.7 ����) Elipsa jest krzywą zamkniętą utworzoną w ten sposób, że suma odległości od ognisk każdego punktu elipsy jest stała r1 + r2 = 2a. Mimośród elipsy � EMBED Equation.3 ��� zawsze, e < 1, gdy e = 1 elipsa staje się okręgiem. Mimośród dla Ziemi wynosi e = 0.01672. Prędkość Ziemi krążącej wokół słońca w peryhelium wynosi 30.3 km/s, a w aphelium 29.3 km/s. peryhelium �) Zależy co po czym się przesuwa, np.: drewno po drewnie, stal po stali lub stal po lodzie itp. � Ruch laminanry - to taki w którym wektory prędkości, poszczególnych cząstek są do siebie równolegle. � Ruch turbulentny - to taki w którym powstają wiry. � Ciecz w rurce przesuwa się tak, jak wysuwana antena teleskopowa w odbiornikach radiowych czy telewizyjnych. � Gdzie k = � EMBED Equation.3 ��� - charakteryzuje daną sprężynę (zależy od rodzaju materiału, z którego wykonana jest sprężyna, jej przekroju S, i długości początkowej l0, znak „-„ bierze się stąd, że siła pochodząca od sprężyny skierowana jest przeciwnie do siły przyłożonej F) � Z ruchem harmonicznym mamy częściej do czynienia niż mogłoby się nam wydawać. (Podczas np. chodzenia nasze ręce i nogi poruszają się ruchem harmonicznym). Poza tym,każde zjawisko występujące w przyrodzie, a powtarzające się okresowo wiąże się z ruchem harmonicznym. �) ściśle rzecz biorąc wahadło nie porusza się ruchem harmonicznym ponieważ ruch kuleczki odbywa się faktycznie po łuku, a nie po cięciwie �) I ~ A2] ponieważ: � EMBED Equation.3 ��� , a wiadomo, że: vh = � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = ωA cosωt oraz ω = 2πf. � Ciśnienie fali i prędkość cząstki przesunięte są w fazie w stosunku do siebie o 90°. Podobnie jak natężenie prądu przemiennego i napięcie na cewce, w której prąd opóźniony jest w stosunku do bodźca jakim jest napięcie odpowiadające (na zasadzie analogii) ciśnieniu w akustyce, a prędkość cząstki jest odpowiednikiem natężeniu prądu. �) Molowe ciepło właściwe ciał jest tym większe im większa jest liczba atomów w cząsteczce (dla cieczy jest większa niż dla gazów). �) W czasie krzepnięcia niektóre ciała rozszerzają się a inne kurczą. Lód np.: rozszerza się (przy zamarzaniu wody np. pękaj a naczynia szklane). Pod wpływem nacisku, lód będzie się topił np. pod łyżwami. Nacisk przeciwstawia rozszerzaniu się lodu. Zwiększanie ciśnienia sprzyja w tym przypadku topnieniu, nie sprzyja więc krzepnięciu i w związku z tym temperatura topnienia obniża się. Natomiast dla ciał, które kurczą się przy krzepnięciu temperatura topnienia podnosi się na skutek zwiększania ciśnienia. � Można powiedzieć, że ta cecha wody prawdopodobnie zadecydowała o tym, że wszystkie organizmy żywe zbudowane są głównie z wody a nie z alkoholu czy też benzyny. � Gradient jest wektorem pokazującym kierunek największego spadku (potencjału, temperatury, ciśnienia) – jest pochodną potencjału względem kierunku największego jego spadku. � Rozpraszanie, tym różni się od odbijania, że promienie „rozpraszane” są w pobliżu powierzchni ciała , odbijane zgodnie z prawami odbicia we wszystkich kierunkach od elementarnych kryształków powierzchni, nadając ciału białą barwę, � Temperatura punkt rosy, to temperatura w której skrapla się para wodna zawarta w danym pomieszczeniu na przedniej ściance higrometru Daniela �) Punkt potrójny wody (pokazany na rys. 139) to taki punkt, w którym przecinają się trzy krzywe. Przedstawia on sytuację w której występują jednocześnie trzy stany skupienia wody w równowadze termodynamicznej (lód w wodzie i para wodna nad nimi) �) Gaz doskonały to taki, którego cząsteczki nie mają objętości [są punktami] i nie oddziałują ze sobą �) Roztwór izoosmotyczny, to taki, który posiada to samo ciśnienie osmotyczne po obu stronach błony. Roztwór izotoniczny, to taki, który ma wszędzie to samo stężenie � Czas liczenia tej średniej energii kinetycznej cząsteczek znajdujących się w jednym molu przez maszynę matematyczną o szybkości liczenia miliona działań na sekundę trwałby 2 1010 lat. Jak widać był by to proces niemożliwy praktycznie do zrealizowania. L. Boltzmann wyprowadził wzór według którego można szybko obliczyć średnią energię kinetyczną cząsteczek.. � więcej na ten temat można znaleźć w książce Podstawy biofizyki Andrzeja Pilawskiego PZWL 1981. � Potencjał redox jest to stosunek zmiany entalpii swobodnej potrzebnej do przeniesienia ładunku jednego kulomba do tego kulomba. 1kulomb równy jest ładunkowi, które posiada 6,2 .1018 elektronów (ładunek 1elektronu jest równy 1,6.10-19C) �Tę ogólną zasadę przekory można sformułować w sposób następujący: w warunkach równowagi każdy skutek, wywołany pewną przyczyną, skierowany jest przeciwko tej przyczynie, która go wywołała. Wyrazem ogólnej zasady przekory jest również nie tylko trzecia zasada dynamiki Newtona o akcji i reakcji, ale również pierwsza i druga zasada Newtona. W chemii także znana jest zasada przekory, pod nazwą reguły Le Chateliera, mówiąca, że jeżeli układ będący w stanie równowagi jest poddany pewnemu działaniu z zewnątrz, które usiłuje zmienić parametry warunkujące równowagę (np. temperaturę, ciśnienie, stężenie), to w układzie zajdzie przesunięcie równowagi w kierunku zmniejszania tego działania. � W źródle prądu katoda ma znak „+”, a anoda ma znak „ –”, a w odbiorniku prądu jest odwrotnie. Wynikają stąd czasem pozorne nieporozumienia między fizykami i chemikami, ponieważ fizycy patrzą w tym przypadku na źródło od zewnątrz, a chemicy od wnętrza. na źródło od zewnątrz, a chemicy od wnętrza �) Według Maxwella ramka będzie się obracać, ponieważ pole magnetyczne pochodzące od prądu płynącego w ramce będzie oddziaływać z polem magnetycznym pochodzącym od magnesu. Ramka będzie się przesuwać w kierunku mniejszej gęstości linii sił pola magnetycznego �)często zamiast terminu prąd przemienny, używa się terminu prąd zmienny, chociaż nie jest on zbyt precyzyjny, ponieważ prąd stały może zmieniać swoją wartość i nazwać by go można prądem stałym ale zmiennym lub zmieniającym się. (� EMBED Equation.3 ���, ale U = L� EMBED Equation.3 ��� - bez minusa, ponieważ, e, jest zgodne z I, a U przeciwne do I. �) Na podstawie pojęcia dobroci w oparciu o pewne analogie autor wyprowadził wzór na szczęście, [patrz Roczniki filozoficzne 1999 z. 3] w postaci: � EMBED Equation.3 ��� ( Wartość skuteczna (I�sk) prądu zmiennego jest średnią kwadratową natężenia prądu zmiennego (i) czyli: � EMBED Equation.3 ��� przy czym i = I0sinωt � EMBED Equation.3 ��� rozwiązując całkę ∫sin2x dx przez części mamy: sin2x dx = uv - ∫v du = - sinx cosx + ∫cos2x dx u = sinx du = cosx dx dv = sinx dx v = - cosx ale ponieważ cos2x = 1 – sin2x wobec tego: ∫sin2x dx = - sinx cosx + ∫(1 – sin2x)dx ∫sin2x dx = - sinx cosx + ∫dx - ∫sin2x dx stąd: 2∫sin2x dx = x – sinx cosx ∫sin2x dx = � EMBED Equation.3 ��� mamy ostatecznie � EMBED Equation.3 ��� ponieważ ωT = 2π � EMBED Equation.3 ��� ale sin2π = 0 stąd � EMBED Equation.3 ��� Widać, że wartość skuteczna prądu przemiennego I1 jest � EMBED Equation.3 ���razy mniejsza od amplitudy I0 tego prądu rys. 230. � Zwiększanie cosφ dokonuje się przez dołączanie do sieci w zakładzie odpowiednich kondensatorów. Powoduje to zmniejszenie pobierania mocy biernej z elektrowni i w związku z tym zmniejszenie strat w przewodach doprowadzających energię do zakładu. Inżynier energetyk otrzymywał za to premię. Obecnie cosφ reguluje się za pomocą układów tyrystorowych. ( Bocznik to opornik połączony równolegle do miliamperomierza. � Uzwojenie pierwotne może być wtórnym i odwrotnie, zależy to, od tego gdzie połączone jest dane uzwojenie- do źródła , czy do odbiornika. �) dokładniej można to zapisać: � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� � Siłę uderzenia młoteczka i tym samym głośność dzwonka reguluje się śrubką ś. � wycinanie � ścinanie białka � odwadnianie � � EMBED Equation.3 ��� Nabla � EMBED Equation.3 ��� występuje tu jako wektor (iloczyn wektorowy odpowiednio dwóch wektorów � EMBED Equation.3 ��� dając w efekcie wektory: � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� i � EMBED Equation.3 ���) � Fala nośna jest jak koń środkiem transportującym, na którego siada jeździec, którym jest w tym przypadku fala modulująca zawierająca nadawane informacje. � Czas ten można dokładnie wyliczyć przyjmując, że jedna linia składa się z 1024 punktów, to czas � EMBED Equation.3 ��� � Istnieje modulacja: amplitudy, fazy, częstotliwości i kodowa �) Zawsze x, X – związane są z przedmiotem, a y, Y związane z obrazem (aby łatwiej zapamiętać można sobie skojarzyć, że najpierw musi być przedmiot, a później obraz – x występuje wcześniej w alfabecie niż y) � Obrazy rzeczywiste można otrzymać na ekranie, a pozornych nie można uzyskać na ekranie. Linie dotyczące obrazów pozornych zaznaczamy liniami przerywanymi, a dotyczące obrazów rzeczywistych ciągłymi �) wielkość opisująca osłabienie natężenia promieniowania przechodzącego przez ośrodek częściowo przezroczysty �) w radarach wykorzystywana jest jedna częstotliwość, w odróżnieniu od światła, która ma całe widmo częstotliwości. �) Luminację można mierzyć również w stilbach � EMBED Equation.3 ���, w krajach anglosaskich mierzy się ją w lambertach � EMBED Equation.3 ��� � Logarytm jest to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać liczbę logarytmowaną. Np.: log10100 = 2, ponieważ 102 = 100. �) Lokalne minimum energii potencjalnej cząstek znajdujących się w polu sił (np. sił jądrowych) �) Obliczenia można łatwo dokonać znając liczbę Awogadro N i gęstość ciała ρ, � EMBED Equation.3 ���, ale � EMBED Equation.3 ��� stąd: � EMBED Equation.3 ��� ponieważ: � EMBED Equation.3 ��� �) Promień atomu lub cząsteczki można również obliczyć prościej: w tym celu należy objętość molową danej substancji podzielić przez liczbę Awogadro N, np.: 1 mol wody zajmuje objętość 18 cm3 = 18·10-6m3. Na jedną cząsteczkę przypada więc objętość V = 18·10-6m3 /6.02·1023 = 3·10-30m3 stąd � EMBED Equation.3 ���(angstremy). � Pierwiastki o jednakowej liczbie masowej A, a różnej atomowej Z noszą nazwę izobarów. Izomery różnią się tylko stanem energetycznym mając takie same A i Z. � Plateau – to płaski odcinek charakterystyki pracy licznika G-M �) Parametr jest to taka wielkość fizyczna, która zostaje ustalona w celu zbadania zależności między zmiennymi. � Polega ona na osadzaniu monokrystalicznych warstw półprzewodnika na monokrystalicznym podłożu o tych samych lub podobnych parametrach fizycznych, (plani: - płaski, epi: - na, taksja: - czynny). � Stanowi wybiórcze zakrycie określonych elementów powierzchni. �) istnieją jedynie trudności z tego rodzaju pomiarem masy. � Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation) – promieniowanie wymuszone. � Zwykle na niższym poziomie energetycznym jest więcej elektronów, a inwersja obsadzeń polega na tym, aby zwiększyć liczbę elektronów na wyższym poziomie energetycznym. PAGE 206 _1056184707.unknown _1056373105.unknown _1064820193.unknown _1069811331.unknown _1080570648.unknown _1281118874.unknown _1281499104.unknown _1281728252.unknown _1281813990.unknown _1283532945.unknown _1283533022.unknown _1283533320.unknown _1281879360.unknown _1283531966.unknown _1281879871.unknown _1281875606.unknown _1281876341.unknown _1281760203.unknown _1281811044.unknown _1281728479.unknown _1281727557.unknown _1281727766.unknown _1281727936.unknown _1281727637.unknown _1281719648.unknown _1281726824.unknown _1281501061.unknown _1281292134.unknown _1281494668.unknown _1281496130.unknown _1281497752.unknown _1281495361.unknown _1281327970.unknown _1281463218.unknown _1281292611.unknown _1281233880.unknown _1281239168.unknown _1281244189.unknown _1281236530.unknown _1281121872.unknown _1281162610.unknown _1281119348.unknown _1103460978.unknown _1280861654.unknown _1280863217.unknown _1280864080.unknown _1280864641.unknown _1280865082.unknown _1281117687.unknown _1280865994.unknown _1280864802.unknown _1280864947.unknown _1280864527.unknown _1280863748.unknown _1280863986.unknown _1280863300.unknown _1280862354.unknown _1280862586.unknown _1280862122.unknown _1103472105.unknown _1103485999.unknown _1103610761.unknown _1103614295.unknown _1103614491.unknown _1103628444.unknown _1103613677.unknown _1103506842.unknown _1103484703.unknown _1103485564.unknown _1103473705.unknown _1103468604.unknown _1103470396.unknown _1103467351.unknown _1103468593.unknown _1103435704.unknown _1103440064.unknown _1103444751.unknown _1103439478.unknown _1081663108.unknown _1103430717.unknown _1103435068.unknown _1081664534.unknown _1081664621.unknown _1080589199.unknown _1080747059.unknown _1080588048.unknown _1080584968.unknown _1078181923.unknown _1080194080.unknown _1080203898.unknown _1080210033.unknown _1080239824.unknown _1080240979.unknown _1080223833.unknown _1080227752.unknown _1080231600.unknown _1080224243.unknown _1080210098.unknown _1080205863.unknown _1080209898.unknown _1080204170.unknown _1080196064.unknown _1080196263.unknown _1080199008.unknown _1080202822.unknown _1080196166.unknown _1080195655.unknown _1080195752.unknown _1080195502.unknown _1079846527.unknown _1080070612.unknown _1080078038.unknown _1080194012.unknown _1080076507.unknown _1080070126.unknown _1080070259.unknown _1080070345.unknown _1079854674.unknown _1079840264.unknown _1079845756.unknown _1079845930.unknown _1079844931.unknown _1079837990.unknown _1079839182.unknown _1079802768.unknown _1069818019.unknown _1078164390.unknown _1078169013.unknown _1078173123.unknown _1078168612.unknown _1069818372.unknown _1078161268.unknown _1069818222.unknown _1069815456.unknown _1069816130.unknown _1069816854.unknown _1069815920.unknown _1069814871.unknown _1069815156.unknown _1069814732.unknown _1067303483.unknown _1067738201.unknown _1068236299.unknown _1069014001.unknown _1069277077.unknown _1069352738.unknown _1069659500.unknown _1069660829.unknown _1069661994.unknown _1069614032.unknown _1069658729.unknown _1069600123.unknown _1069347858.unknown _1069349509.unknown _1069350226.unknown _1069351019.unknown _1069349959.unknown _1069348318.unknown _1069346314.unknown _1069052250.unknown _1069066339.unknown _1069274113.unknown _1069052400.unknown _1069051867.unknown _1069052045.unknown _1069014174.unknown _1069051677.unknown _1068374339.unknown _1068975828.unknown _1069008606.unknown _1068974946.unknown _1068307075.unknown _1068336625.unknown _1068265046.unknown _1068265206.unknown _1068264693.unknown _1067998019.unknown _1068006175.unknown _1068222573.unknown _1068222844.unknown _1068006808.unknown _1068222070.unknown _1068001776.unknown _1068002553.unknown _1067998733.unknown _1067751734.unknown _1067879776.unknown _1067997794.unknown _1067856217.unknown _1067750519.unknown _1067750757.unknown _1067739806.unknown _1067492049.unknown _1067540015.unknown _1067737449.unknown _1067738192.unknown _1067540198.unknown _1067736230.unknown _1067537985.unknown _1067539220.unknown _1067494850.unknown _1067374818.unknown _1067405980.unknown _1067485497.unknown _1067405790.unknown _1067308914.unknown _1067373368.unknown _1067303529.unknown _1066419021.unknown _1066776131.unknown _1067032943.unknown _1067033106.unknown _1067139734.unknown _1067139793.unknown _1067035019.unknown _1067033015.unknown _1067032820.unknown _1067032887.unknown _1067031428.unknown _1066508707.unknown _1066774463.unknown _1066775942.unknown _1066772793.unknown _1066505770.unknown _1066508266.unknown _1066424433.unknown _1066153063.unknown _1066281284.unknown _1066382606.unknown _1066383330.unknown _1066282651.unknown _1066164902.unknown _1066165212.unknown _1066160278.unknown _1065298584.unknown _1065343157.unknown _1066152252.unknown _1066152814.unknown _1065349668.unknown _1065375051.unknown _1065427489.unknown _1065343338.unknown _1065348350.unknown _1065302787.unknown _1065342714.unknown _1065300254.unknown _1065207287.unknown _1065297618.unknown _1065298450.unknown _1065243612.unknown _1064824061.unknown _1065205313.unknown _1065205412.unknown _1064826709.unknown _1064833168.unknown _1064836176.unknown _1064832498.unknown _1064824868.unknown _1064822283.unknown _1064822824.unknown _1064821787.unknown _1056375911.unknown _1056547038.unknown _1056549068.unknown _1061109774.unknown _1061633647.unknown _1063617257.unknown _1063703040.unknown _1063708549.unknown _1063711138.unknown _1063714137.unknown _1063714648.unknown _1063714809.unknown _1063712052.unknown _1063709671.unknown _1063710586.unknown _1063708809.unknown _1063707861.unknown _1063707937.unknown _1063705744.unknown _1063706584.unknown _1063705240.unknown _1063617910.unknown _1063620156.unknown _1063621653.unknown _1063617504.unknown _1061641099.unknown _1061825417.unknown _1063616596.unknown _1063616896.unknown _1062850633.unknown _1061641446.unknown _1061644237.unknown _1061648344.unknown _1061648779.unknown _1061644320.unknown _1061643185.unknown _1061641355.unknown _1061639893.unknown _1061640571.unknown _1061640744.unknown _1061640929.unknown _1061639922.unknown _1061639494.unknown _1061639842.unknown _1061639765.unknown _1061637184.unknown _1061639283.unknown _1061639437.unknown _1061637005.unknown _1061208066.unknown _1061287753.unknown _1061626422.unknown _1061627458.unknown _1061630233.unknown _1061630695.unknown _1061630591.unknown _1061628153.unknown _1061629728.unknown _1061627104.unknown _1061627344.unknown _1061626864.unknown _1061624546.unknown _1061625813.unknown _1061625928.unknown _1061624945.unknown _1061288306.unknown _1061288558.unknown _1061288193.unknown _1061284543.unknown _1061284888.unknown _1061287194.unknown _1061284608.unknown _1061212266.unknown _1061284189.unknown _1061210673.unknown _1061211732.unknown _1061212058.unknown _1061209830.unknown _1061201545.unknown _1061207175.unknown _1061207581.unknown _1061207766.unknown _1061207210.unknown _1061202235.unknown _1061206214.unknown _1061206886.unknown _1061206121.unknown _1061202115.unknown _1061136420.unknown _1061197453.unknown _1061200884.unknown _1061201208.unknown _1061201509.unknown _1061200649.unknown _1061195409.unknown _1061197317.unknown _1061195141.unknown _1061110321.unknown _1061134916.unknown _1061109820.unknown _1061028591.unknown _1061105653.unknown _1061109421.unknown _1061109636.unknown _1061109717.unknown _1061109464.unknown _1061109231.unknown _1061109305.unknown _1061109105.unknown _1061109178.unknown _1061109005.unknown _1061108919.unknown _1061033520.unknown _1061040132.unknown _1061104915.unknown _1061104991.unknown _1061102778.unknown _1061103992.unknown _1061043669.unknown _1061043781.unknown _1061040336.unknown _1061034789.unknown _1061034873.unknown _1061034723.unknown _1061032897.unknown _1061033271.unknown _1061033362.unknown _1061033137.unknown _1061032370.unknown _1061032413.unknown _1061031527.unknown _1061031685.unknown _1061030840.unknown _1061029965.unknown _1056618317.unknown _1056801692.unknown _1056805940.unknown _1057044991.unknown _1061025282.unknown _1061027862.unknown _1061028244.unknown _1061026702.unknown _1057045218.unknown _1057043855.unknown _1057043928.unknown _1057043598.unknown _1057043809.unknown _1057040825.unknown _1056802393.unknown _1056802523.unknown _1056805847.unknown _1056802529.unknown _1056802516.unknown _1056802158.unknown _1056801818.unknown _1056639406.unknown _1056640181.unknown _1056640281.unknown _1056795070.unknown _1056639934.unknown _1056637190.unknown _1056639012.unknown _1056639065.unknown _1056638223.unknown _1056636931.unknown _1056613558.unknown _1056615293.unknown _1056616688.unknown _1056618273.unknown _1056616804.unknown _1056616277.unknown _1056616310.unknown _1056616288.unknown _1056616200.unknown _1056614692.unknown _1056615230.unknown _1056613582.unknown _1056612681.unknown _1056613397.unknown _1056613335.unknown _1056612277.unknown _1056547650.unknown _1056548705.unknown _1056548919.unknown _1056549061.unknown _1056549065.unknown _1056549008.unknown _1056548878.unknown _1056548881.unknown _1056548710.unknown _1056547768.unknown _1056548469.unknown _1056548488.unknown _1056548547.unknown _1056548473.unknown _1056548174.unknown _1056548453.unknown _1056548462.unknown _1056548449.unknown _1056548356.unknown _1056548102.unknown _1056547702.unknown _1056547764.unknown _1056547673.unknown _1056547459.unknown _1056547564.unknown _1056547608.unknown _1056547612.unknown _1056547597.unknown _1056547544.unknown _1056547547.unknown _1056547541.unknown _1056547330.unknown _1056547429.unknown _1056547432.unknown _1056547400.unknown _1056547045.unknown _1056547326.unknown _1056547041.unknown _1056544658.unknown _1056546339.unknown _1056546582.unknown _1056546867.unknown _1056546875.unknown _1056547034.unknown _1056546872.unknown _1056546739.unknown _1056546862.unknown _1056546629.unknown _1056546376.unknown _1056546402.unknown _1056546500.unknown _1056546379.unknown _1056546361.unknown _1056546373.unknown _1056546357.unknown _1056545643.unknown _1056546245.unknown _1056546310.unknown _1056546333.unknown _1056546288.unknown _1056546208.unknown _1056546240.unknown _1056546167.unknown _1056545179.unknown _1056545242.unknown _1056545574.unknown _1056545195.unknown _1056544927.unknown _1056545176.unknown _1056544663.unknown _1056377560.unknown _1056378007.unknown _1056544638.unknown _1056544649.unknown _1056544654.unknown _1056544642.unknown _1056544549.unknown _1056544602.unknown _1056378016.unknown _1056377633.unknown _1056377687.unknown _1056377702.unknown _1056377649.unknown _1056377593.unknown _1056377617.unknown _1056377575.unknown _1056376707.unknown _1056377341.unknown _1056377519.unknown _1056377537.unknown _1056377515.unknown _1056377333.unknown _1056377337.unknown _1056376710.unknown _1056376248.unknown _1056376577.unknown _1056376581.unknown _1056376435.unknown _1056376031.unknown _1056376133.unknown _1056376199.unknown _1056376018.unknown _1056374187.unknown _1056374912.unknown _1056375634.unknown _1056375791.unknown _1056375876.unknown _1056375880.unknown _1056375849.unknown _1056375783.unknown _1056375787.unknown _1056375638.unknown _1056375393.unknown _1056375607.unknown _1056375620.unknown _1056375415.unknown _1056375251.unknown _1056375386.unknown _1056375227.unknown _1056374429.unknown _1056374642.unknown _1056374720.unknown _1056374775.unknown _1056374649.unknown _1056374523.unknown _1056374638.unknown _1056374432.unknown _1056374330.unknown _1056374417.unknown _1056374426.unknown _1056374334.unknown _1056374197.unknown _1056374326.unknown _1056374193.unknown _1056374190.unknown _1056373423.unknown _1056373746.unknown _1056373957.unknown _1056373995.unknown _1056374002.unknown _1056373991.unknown _1056373911.unknown _1056373923.unknown _1056373771.unknown _1056373715.unknown _1056373735.unknown _1056373743.unknown _1056373731.unknown _1056373627.unknown _1056373711.unknown _1056373426.unknown _1056373341.unknown _1056373403.unknown _1056373415.unknown _1056373419.unknown _1056373410.unknown _1056373351.unknown _1056373355.unknown _1056373344.unknown _1056373294.unknown _1056373331.unknown _1056373334.unknown _1056373307.unknown _1056373171.unknown _1056373179.unknown _1056373162.unknown _1056287246.unknown _1056371024.unknown _1056372190.unknown _1056372317.unknown _1056372380.unknown _1056372442.unknown _1056372913.unknown _1056372933.unknown _1056373006.unknown _1056372928.unknown _1056372721.unknown _1056372383.unknown _1056372353.unknown _1056372359.unknown _1056372343.unknown _1056372284.unknown _1056372303.unknown _1056372307.unknown _1056372292.unknown _1056372272.unknown _1056372279.unknown _1056372216.unknown _1056371804.unknown _1056372081.unknown _1056372181.unknown _1056372186.unknown _1056372166.unknown _1056371811.unknown _1056372075.unknown _1056371807.unknown _1056371108.unknown _1056371578.unknown _1056371602.unknown _1056371243.unknown _1056371041.unknown _1056371066.unknown _1056371034.unknown _1056370127.unknown _1056370548.unknown _1056370724.unknown _1056370879.unknown _1056371000.unknown _1056370867.unknown _1056370640.unknown _1056370678.unknown _1056370719.unknown _1056370668.unknown _1056370624.unknown _1056370394.unknown _1056370524.unknown _1056370544.unknown _1056370493.unknown _1056370138.unknown _1056370217.unknown _1056370134.unknown _1056370032.unknown _1056370092.unknown _1056370116.unknown _1056370123.unknown _1056370109.unknown _1056370050.unknown _1056370070.unknown _1056370046.unknown _1056369954.unknown _1056369995.unknown _1056370022.unknown _1056369982.unknown _1056369215.unknown _1056369352.unknown _1056369208.unknown _1056192252.unknown _1056267559.unknown _1056268500.unknown _1056269642.unknown _1056270293.unknown _1056272476.unknown _1056273801.unknown _1056274247.unknown _1056274303.unknown _1056274331.unknown _1056274406.unknown _1056286428.unknown _1056274327.unknown _1056274274.unknown _1056274123.unknown _1056274151.unknown _1056273805.unknown _1056272542.unknown _1056273790.unknown _1056272479.unknown _1056270392.unknown _1056271903.unknown _1056272428.unknown _1056271899.unknown _1056270351.unknown _1056270355.unknown _1056270346.unknown _1056269705.unknown _1056269745.unknown _1056270259.unknown _1056269740.unknown _1056269652.unknown _1056269656.unknown _1056269648.unknown _1056268546.unknown _1056268947.unknown _1056269541.unknown _1056269554.unknown _1056269497.unknown _1056268710.unknown _1056268792.unknown _1056268550.unknown _1056268532.unknown _1056268540.unknown _1056268543.unknown _1056268536.unknown _1056268522.unknown _1056268526.unknown _1056268503.unknown _1056268436.unknown _1056268453.unknown _1056268461.unknown _1056268469.unknown _1056268457.unknown _1056268444.unknown _1056268449.unknown _1056268440.unknown _1056268289.unknown _1056268297.unknown _1056268431.unknown _1056268293.unknown _1056268243.unknown _1056268248.unknown _1056268160.unknown _1056195849.unknown _1056265498.unknown _1056265633.unknown _1056266119.unknown _1056266123.unknown _1056265761.unknown _1056265507.unknown _1056265630.unknown _1056265502.unknown _1056264897.unknown _1056265490.unknown _1056265494.unknown _1056265485.unknown _1056264773.unknown _1056264777.unknown _1056264763.unknown _1056193513.unknown _1056195024.unknown _1056195272.unknown _1056195491.unknown _1056195186.unknown _1056194002.unknown _1056194970.unknown _1056193977.unknown _1056193080.unknown _1056193178.unknown _1056193509.unknown _1056193105.unknown _1056192999.unknown _1056193019.unknown _1056192939.unknown _1056187262.unknown _1056190514.unknown _1056190904.unknown _1056190925.unknown _1056192248.unknown _1056190921.unknown _1056190522.unknown _1056190887.unknown _1056190890.unknown _1056190883.unknown _1056190518.unknown _1056187454.unknown _1056187551.unknown _1056190462.unknown _1056187542.unknown _1056187285.unknown _1056187291.unknown _1056187266.unknown _1056185449.unknown _1056186106.unknown _1056186446.unknown _1056187257.unknown _1056186110.unknown _1056185473.unknown _1056186070.unknown _1056185453.unknown _1056184751.unknown _1056185142.unknown _1056185427.unknown _1056184754.unknown _1056184732.unknown _1056184747.unknown _1056184721.unknown _1054639073.unknown _1055967052.unknown _1056137832.unknown _1056139490.unknown _1056183590.unknown _1056183799.unknown _1056183887.unknown _1056183912.unknown _1056183921.unknown _1056183892.unknown _1056183879.unknown _1056183882.unknown _1056183834.unknown _1056183740.unknown _1056183788.unknown _1056183791.unknown _1056183761.unknown _1056183608.unknown _1056183736.unknown _1056183601.unknown _1056182553.unknown _1056182695.unknown _1056183479.unknown _1056183483.unknown _1056182735.unknown _1056182677.unknown _1056182681.unknown _1056182673.unknown _1056139746.unknown _1056182503.unknown _1056182549.unknown _1056182467.unknown _1056139738.unknown _1056139742.unknown _1056139596.unknown _1056138799.unknown _1056139325.unknown _1056139419.unknown _1056139426.unknown _1056139451.unknown _1056139422.unknown _1056139340.unknown _1056139414.unknown _1056139336.unknown _1056139202.unknown _1056139314.unknown _1056139320.unknown _1056139253.unknown _1056139019.unknown _1056139091.unknown _1056138970.unknown _1056138162.unknown _1056138311.unknown _1056138443.unknown _1056138794.unknown _1056138434.unknown _1056138197.unknown _1056138300.unknown _1056138190.unknown _1056137983.unknown _1056138003.unknown _1056138055.unknown _1056137986.unknown _1056137880.unknown _1056137931.unknown _1056137836.unknown _1056130442.unknown _1056136929.unknown _1056137395.unknown _1056137529.unknown _1056137572.unknown _1056137660.unknown _1056137534.unknown _1056137443.unknown _1056137484.unknown _1056137400.unknown _1056137169.unknown _1056137260.unknown _1056137264.unknown _1056137256.unknown _1056136962.unknown _1056136991.unknown _1056136940.unknown _1056136244.unknown _1056136627.unknown _1056136727.unknown _1056136817.unknown _1056136724.unknown _1056136339.unknown _1056136525.unknown _1056136285.unknown _1056130561.unknown _1056130594.unknown _1056136124.unknown _1056130565.unknown _1056130505.unknown _1056130557.unknown _1056130464.unknown _1056125610.unknown _1056127318.unknown _1056129967.unknown _1056130045.unknown _1056130120.unknown _1056130026.unknown _1056128470.unknown _1056128477.unknown _1056127343.unknown _1056125748.unknown _1056125800.unknown _1056127158.unknown _1056125754.unknown _1056125637.unknown _1056125650.unknown _1056125633.unknown _1056119707.unknown _1056123208.unknown _1056125471.unknown _1056125495.unknown _1056125375.unknown _1056125452.unknown _1056124596.unknown _1056123157.unknown _1056123192.unknown _1056123141.unknown _1056122216.unknown _1056119659.unknown _1056119691.unknown _1056119702.unknown _1056119687.unknown _1055967069.unknown _1055967073.unknown _1055967065.unknown _1055951342.unknown _1055960738.unknown _1055962401.unknown _1055963184.unknown _1055963242.unknown _1055963642.unknown _1055963646.unknown _1055966760.unknown _1055963249.unknown _1055963191.unknown _1055963225.unknown _1055963187.unknown _1055963011.unknown _1055963074.unknown _1055963124.unknown _1055963070.unknown _1055962580.unknown _1055962592.unknown _1055962457.unknown _1055961668.unknown _1055961835.unknown _1055962372.unknown _1055962376.unknown _1055961853.unknown _1055961675.unknown _1055961679.unknown _1055961672.unknown _1055961497.unknown _1055961513.unknown _1055961543.unknown _1055961501.unknown _1055960893.unknown _1055960907.unknown _1055960867.unknown _1055960885.unknown _1055960863.unknown _1055952966.unknown _1055953055.unknown _1055954739.unknown _1055960700.unknown _1055960733.unknown _1055960549.unknown _1055953242.unknown _1055953246.unknown _1055954627.unknown _1055953237.unknown _1055953040.unknown _1055953048.unknown _1055953052.unknown _1055953044.unknown _1055952988.unknown _1055952992.unknown _1055952985.unknown _1055952343.unknown _1055952598.unknown _1055952616.unknown _1055952620.unknown _1055952602.unknown _1055952586.unknown _1055952592.unknown _1055952581.unknown _1055951990.unknown _1055952009.unknown _1055952044.unknown _1055952005.unknown _1055951476.unknown _1055951485.unknown _1055951456.unknown _1055942785.unknown _1055947675.unknown _1055951161.unknown _1055951286.unknown _1055951334.unknown _1055951337.unknown _1055951292.unknown _1055951263.unknown _1055951267.unknown _1055951188.unknown _1055948153.unknown _1055950454.unknown _1055951108.unknown _1055948160.unknown _1055947686.unknown _1055947760.unknown _1055947680.unknown _1055944424.unknown _1055947367.unknown _1055947594.unknown _1055947615.unknown _1055947589.unknown _1055944433.unknown _1055945898.unknown _1055947282.unknown _1055947143.unknown _1055945090.unknown _1055944429.unknown _1055943353.unknown _1055944249.unknown _1055944254.unknown _1055943776.unknown _1055943790.unknown _1055943899.unknown _1055943497.unknown _1055943022.unknown _1055943321.unknown _1055942989.unknown _1055448198.unknown _1055939289.unknown _1055939429.unknown _1055939478.unknown _1055942124.unknown _1055942131.unknown _1055942743.unknown _1055939674.unknown _1055940669.unknown _1055939438.unknown _1055939442.unknown _1055939434.unknown _1055939359.unknown _1055939416.unknown _1055939426.unknown _1055939370.unknown _1055939351.unknown _1055939355.unknown _1055939294.unknown _1055601205.unknown _1055938853.unknown _1055938915.unknown _1055939225.unknown _1055938911.unknown _1055782266.unknown _1055790169.unknown _1055842342.unknown _1055938849.unknown _1055790847.unknown _1055782717.unknown _1055789894.unknown _1055782998.unknown _1055782433.unknown _1055782504.unknown _1055668090.unknown _1055668669.unknown _1055666515.unknown _1055667885.unknown _1055665053.unknown _1055579087.unknown _1055600842.unknown _1055601086.unknown _1055601154.unknown _1055601026.unknown _1055600914.unknown _1055583163.unknown _1055590947.unknown _1055600753.unknown _1055597911.unknown _1055589130.unknown _1055582287.unknown _1055582756.unknown _1055579940.unknown _1055500136.unknown _1055503470.unknown _1055573094.unknown _1055501742.unknown _1055448368.unknown _1055499666.unknown _1055448282.unknown _1055183952.unknown _1055340525.unknown _1055443902.unknown _1055447727.unknown _1055448001.unknown _1055448101.unknown _1055447844.unknown _1055447219.unknown _1055447378.unknown _1055447462.unknown _1055447261.unknown _1055444464.unknown _1055444754.unknown _1055446833.unknown _1055444554.unknown _1055444307.unknown _1055437590.unknown _1055443138.unknown _1055443278.unknown _1055437786.unknown _1055436948.unknown _1055437220.unknown _1055436748.unknown _1055252686.unknown _1055338303.unknown _1055338673.unknown _1055339000.unknown _1055340175.unknown _1055340340.unknown _1055338709.unknown _1055338502.unknown _1055337611.unknown _1055338209.unknown _1055337324.unknown _1055184209.unknown _1055184422.unknown _1055186320.unknown _1055184322.unknown _1055184097.unknown _1055184136.unknown _1055184013.unknown _1055062574.unknown _1055077664.unknown _1055182507.unknown _1055183394.unknown _1055183825.unknown _1055182820.unknown _1055180698.unknown _1055182307.unknown _1055180390.unknown _1055070765.unknown _1055071227.unknown _1055076293.unknown _1055076384.unknown _1055076507.unknown _1055076128.unknown _1055070803.unknown _1055062874.unknown _1055067268.unknown _1055062609.unknown _1054897146.unknown _1054900785.unknown _1055062406.unknown _1055062528.unknown _1054910307.unknown _1054897245.unknown _1054897272.unknown _1054897178.unknown _1054888808.unknown _1054897055.unknown _1054897108.unknown _1054896925.unknown _1054720858.unknown _1054727367.unknown _1054728838.unknown _1054731052.unknown _1054723325.unknown _1054641522.unknown _1054642109.unknown _1054639586.unknown _1052568364.unknown _1054311328.unknown _1054386997.unknown _1054626281.unknown _1054632234.unknown _1054637832.unknown _1054638264.unknown _1054638477.unknown _1054638933.unknown _1054638450.unknown _1054637958.unknown _1054638201.unknown _1054637957.unknown _1054636896.unknown _1054637173.unknown _1054637288.unknown _1054636977.unknown _1054633127.unknown _1054636795.unknown _1054632404.unknown _1054631075.unknown _1054631631.unknown _1054631660.unknown _1054631686.unknown _1054631648.unknown _1054631141.unknown _1054631213.unknown _1054631100.unknown _1054628260.unknown _1054630127.unknown _1054630981.unknown _1054631050.unknown _1054630288.unknown _1054628719.unknown _1054626375.unknown _1054626442.unknown _1054626323.unknown _1054624354.unknown _1054625604.unknown _1054626090.unknown _1054626148.unknown _1054625763.unknown _1054624745.unknown _1054625397.unknown _1054624691.unknown _1054387522.unknown _1054387818.unknown _1054457973.unknown _1054458166.unknown _1054458237.unknown _1054458037.unknown _1054387875.unknown _1054387663.unknown _1054387713.unknown _1054387191.unknown _1054387224.unknown _1054387115.unknown _1054380383.unknown _1054384573.unknown _1054385631.unknown _1054386548.unknown _1054386784.unknown _1054386462.unknown _1054384698.unknown _1054385161.unknown _1054384625.unknown _1054380943.unknown _1054384005.unknown _1054384135.unknown _1054383429.unknown _1054380450.unknown _1054380501.unknown _1054380417.unknown _1054312891.unknown _1054313031.unknown _1054380154.unknown _1054380259.unknown _1054313127.unknown _1054312916.unknown _1054312966.unknown _1054312903.unknown _1054312327.unknown _1054312623.unknown _1054312681.unknown _1054312581.unknown _1054312088.unknown _1054312152.unknown _1054311905.unknown _1052653323.unknown _1053850561.unknown _1053856079.unknown _1054225193.unknown _1054295120.unknown _1054299937.unknown _1054304640.unknown _1054309710.unknown _1054302986.unknown _1054297163.unknown _1054227653.unknown _1054228896.unknown _1054226346.unknown _1053856297.unknown _1053856965.unknown _1054223575.unknown _1053856889.unknown _1053856190.unknown _1053856259.unknown _1053856143.unknown _1053850968.unknown _1053855883.unknown _1053856017.unknown _1053854817.unknown _1053850647.unknown _1053850792.unknown _1053850606.unknown _1053248608.unknown _1053250295.unknown _1053849976.unknown _1053850446.unknown _1053250501.unknown _1053249146.unknown _1053249211.unknown _1053248828.unknown _1053173374.unknown _1053245148.unknown _1053248451.unknown _1053248489.unknown _1053245447.unknown _1053181517.unknown _1053242217.unknown _1053244566.unknown _1053182082.unknown _1053175727.unknown _1053166747.unknown _1053170278.unknown _1053171648.unknown _1053167974.unknown _1052653533.unknown _1053166674.unknown _1052653426.unknown _1052650369.unknown _1052651456.unknown _1052652871.unknown _1052653247.unknown _1052653282.unknown _1052653045.unknown _1052652754.unknown _1052652797.unknown _1052651640.unknown _1052650952.unknown _1052651129.unknown _1052651356.unknown _1052651026.unknown _1052650596.unknown _1052650785.unknown _1052650431.unknown _1052648568.unknown _1052649666.unknown _1052649845.unknown _1052650255.unknown _1052649720.unknown _1052649239.unknown _1052649631.unknown _1052649089.unknown _1052568965.unknown _1052569180.unknown _1052648357.unknown _1052569055.unknown _1052568784.unknown _1052568851.unknown _1052568619.unknown _1051723416.unknown _1051965741.unknown _1051971697.unknown _1052565528.unknown _1052566636.unknown _1052567303.unknown _1052568268.unknown _1052566790.unknown _1052566033.unknown _1052566104.unknown _1052565874.unknown _1052065891.unknown _1052132306.unknown _1052141929.unknown _1052157590.unknown _1052565270.unknown _1052565478.unknown _1052565054.unknown _1052157734.unknown _1052157277.unknown _1052157373.unknown _1052143175.unknown _1052143787.unknown _1052139406.unknown _1052139845.unknown _1052139344.unknown _1052070034.unknown _1052071952.unknown _1052067866.unknown _1051987345.unknown _1052033404.unknown _1052058867.unknown _1052032396.unknown _1051974931.unknown _1051987001.unknown _1051972280.unknown _1051969154.unknown _1051970163.unknown _1051970570.unknown _1051971368.unknown _1051970371.unknown _1051969857.unknown _1051969973.unknown _1051969198.unknown _1051966325.unknown _1051966669.unknown _1051966766.unknown _1051966627.unknown _1051966092.unknown _1051966189.unknown _1051966049.unknown _1051732077.unknown _1051962606.unknown _1051963993.unknown _1051965672.unknown _1051965704.unknown _1051965564.unknown _1051963195.unknown _1051963397.unknown _1051962679.unknown _1051732765.unknown _1051962342.unknown _1051962504.unknown _1051962142.unknown _1051732338.unknown _1051732610.unknown _1051732161.unknown _1051728923.unknown _1051729626.unknown _1051731178.unknown _1051731724.unknown _1051729675.unknown _1051729379.unknown _1051729411.unknown _1051729344.unknown _1051726485.unknown _1051727816.unknown _1051727884.unknown _1051727725.unknown _1051724492.unknown _1051726308.unknown _1051723904.unknown _1049021973.unknown _1051006497.unknown _1051598832.unknown _1051721934.unknown _1051722371.unknown _1051722524.unknown _1051723018.unknown _1051722477.unknown _1051722126.unknown _1051722171.unknown _1051722042.unknown _1051609226.unknown _1051721818.unknown _1051721854.unknown _1051716366.unknown _1051721699.unknown _1051720942.unknown _1051652160.unknown _1051608854.unknown _1051608934.unknown _1051606239.unknown _1051607513.unknown _1051599371.unknown _1051372309.unknown _1051443734.unknown _1051451099.unknown _1051536411.unknown _1051544857.unknown _1051548252.unknown _1051549162.unknown _1051598761.unknown _1051545863.unknown _1051538862.unknown _1051532779.unknown _1051533370.unknown _1051530014.unknown _1051444215.unknown _1051444398.unknown _1051444126.unknown _1051377999.unknown _1051378468.unknown _1051379042.unknown _1051378304.unknown _1051377350.unknown _1051377467.unknown _1051375167.unknown _1051008186.unknown _1051014917.unknown _1051372241.unknown _1051014872.unknown _1051006592.unknown _1051006593.unknown _1051006510.unknown _1049875957.unknown _1050495154.unknown _1050694465.unknown _1051006467.unknown _1051006488.unknown _1051006494.unknown _1051006470.unknown _1050754640.unknown _1050918681.unknown _1050922171.unknown _1051006450.unknown _1050919513.unknown _1050761707.unknown _1050917272.unknown _1050761767.unknown _1050754894.unknown _1050751443.unknown _1050753360.unknown _1050750242.unknown _1050680676.unknown _1050680929.unknown _1050693909.unknown _1050680868.unknown _1050499326.unknown _1050608347.unknown _1050495535.unknown _1050498003.unknown _1049909640.unknown _1049920075.unknown _1049921721.unknown _1050493865.unknown _1049920362.unknown _1049917438.unknown _1049919136.unknown _1049919722.unknown _1049916883.unknown _1049905118.unknown _1049907577.unknown _1049908462.unknown _1049906152.unknown _1049903593.unknown _1049904335.unknown _1049902980.unknown _1049726896.unknown _1049872519.unknown _1049873903.unknown _1049874603.unknown _1049872960.unknown _1049729828.unknown _1049730132.unknown _1049727733.unknown _1049654348.unknown _1049724794.unknown _1049725140.unknown _1049720219.unknown _1049723460.unknown _1049656076.unknown _1049537609.unknown _1049653357.unknown _1049022097.unknown _1046939595.unknown _1048271092.unknown _1048442495.unknown _1048684575.unknown _1049021572.unknown _1049021703.unknown _1048684675.unknown _1048589073.unknown _1048673036.unknown _1048674365.unknown _1048675980.unknown _1048667274.unknown _1048522847.unknown _1048536193.unknown _1048446417.unknown _1048522770.unknown _1048444355.unknown _1048439291.unknown _1048441283.unknown _1048441955.unknown _1048440839.unknown _1048409926.unknown _1048412617.unknown _1048409225.unknown _1047238942.unknown _1047806140.unknown _1047819542.unknown _1047844030.unknown _1047976136.unknown _1047977535.unknown _1047986140.unknown _1048065135.unknown _1047977237.unknown _1047972045.unknown _1047842873.unknown _1047843315.unknown _1047842523.unknown _1047808823.unknown _1047808951.unknown _1047808387.unknown _1047379202.unknown _1047465699.unknown _1047731008.unknown _1047803463.unknown _1047572661.unknown _1047572429.unknown _1047379211.unknown _1047465457.unknown _1047379203.unknown _1047310688.unknown _1047379179.unknown _1047310338.unknown _1047310528.unknown _1047310019.unknown _1047130823.unknown _1047204917.unknown _1047211792.unknown _1047133312.unknown _1047125719.unknown _1047126591.unknown _1046951789.unknown _1047124132.unknown _1046945784.unknown _1046951154.unknown _1045649369.unknown _1045918386.unknown _1046187277.unknown _1046258192.unknown _1046258251.unknown _1046203956.unknown _1046090468.unknown _1046181880.unknown _1046181041.unknown _1045918442.unknown _1045766626.unknown _1045850669.unknown _1045854365.unknown _1045843011.unknown _1045843877.unknown _1045839889.unknown _1045842146.unknown _1045832007.unknown _1045683120.unknown _1045765135.unknown _1045681084.unknown _1045567354.unknown _1045575165.unknown _1045598836.unknown _1045647741.unknown _1045595901.unknown _1045570800.unknown _1045571276.unknown _1045574125.unknown _1045570095.unknown _1045415658.unknown _1045478341.unknown _1045567085.unknown _1045415697.unknown _1045401138.unknown _1045415602.unknown _1045401137.unknown
Fly UP