System is processing data
Please download to view
...

Wzory redukcyjne

by michaelolesik

on

Report

Category:

Documents

Download: 0

Comment: 0

4

views

Comments

Description

Dane do matury
Download Wzory redukcyjne

Transcript

  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI WZORY REDUKCYJNE Wzory redukcyjne pozwalaja˛ sprowadzic´ liczenie wartos´ci funkcji trygonometrycznej do- wolnego ka˛ta do liczenia wartos´ci funkcji trygonometrycznych ka˛tów ostrych. Innymi sło- wy, jez˙eli umiemy liczyc´ funkcje trygonometryczne dla ka˛tów ostrych, to umiemy je liczyc´ dla dowolnych ka˛tów. Wzorów redukcyjnych jest duz˙o (w zasadzie nieskon´czenie wiele), wie˛c nic dziwnego, z˙e sprawiaja˛ kłopoty. Warto jednak ich sie˛ nauczyc´, bo sa˛ one kluczowe w wielu zadaniach z trygonometrii. Okresowos´c´ Najprostsze wzory redukcyjne to wzory na okresowos´c´ funkcji trygonometrycznych: sin(x+ 2kpi) = sin x cos(x+ 2kpi) = cos x tg(x+ kpi) = tg x ctg(x+ kpi) = ctg x. Te wzory sa˛ łatwe do zapamie˛tania i powinnis´my je stosowac´ zupełnie automatycznie. Obliczmy sin pi3 + sin 5pi 3 . Liczymy sin pi 3 + sin 5pi 3 = sin pi 3 + sin ( 2pi − pi 3 ) = = sin pi 3 + sin ( −pi 3 ) = sin pi 3 − sin pi 3 = 0. Jez˙eli mys´limy, z˙e wzory na okresowos´c´ pozwalaja˛ nam przesuwac´ argumenty sinusa/cosinusa o wielokrotnos´c´ 2pi, to pełne wzory redukcyjne pozwalaja˛ przesuwac´ te argumenty o wielo- krotnos´ci pi2 , czyli znacznie drobniej. Ogólne wzory redukcyjne Nie przedłuz˙aja˛c, ogólna postac´ wzorów redukcyjnych jest naste˛puja˛ca f unkcja ( k · pi 2 ± x ) = { ± f unkcja(x) jez˙eli k jest parzyste ±ko f unkcja(x) jez˙eli k jest nieparzyste. Wzór wygla˛da groz´nie, ale postaramy sie˛ wszystko wyjas´nic´. Słowo ’funkcja’ w tym wzorze moz˙e byc´ jedna˛ z funkcji sin, cos, tg, ctg. Słowo ko f unkcja odpowiada zamianom sin↔ cos tg↔ ctg, czyli np. jez˙eli f unkcja = cos to ko f unkcja = sin itd. To, czy funkcja zostaje bez zmian, czy tez˙ zamienia sie˛ na kofunkcje˛, zalez˙y od parzystos´ci k. O wyraz˙eniu ±x nalez˙y mys´lec´, z˙e jest to albo +x albo −x. Ostatnia kwestia do wyjas´nienia to znak ± z prawej strony wzoru. W jego miejsce wpi- sujemy ’+’ lub ’-’ w zalez˙nos´ci od tego, w której c´wiartce jest ka˛t k · pi2 ± x. Przypomnijmy regułke˛ znaków funkcji trygonometrycznych. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 1
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI W pierwszej wszystkie sa˛ dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus. Wracaja˛c do znaków, patrzymy w której c´wiartce jest ka˛t k · pi2 ± x (przy czym o x nalez˙y mys´lec´ jak o ka˛cie ostrym!), z regułki patrzymy jaki jest znak f unkcji (tej z lewej strony wzoru!) i taki znak piszemy z prawej strony. Przykłady Zróbmy kilka przykładów. Wyprowadz´my wzór na sin(pi − x). Mamy k = 2, czyli funkcja nam sie˛ nie zmieni. pi − x to druga c´wiartka, czyli sinus jest dodatni. Zatem sin(pi − x) = sin x. Podobnie jest dla sin(pi + x), ale tym razem jest to trzecia c´wiartka, czyli sinus jest ujemny. Zatem sin(pi + x) = − sin x. Wyprowadz´my wzór na tg ( pi 2 + x ) . Mamy k = 1, czyli funkcja zmieni sie˛ na ctg. Jestes´my w drugiej c´wiartce, czyli funkcja tangens jest ujemna. Daje to nam wzór tg (pi 2 + x ) = − ctg x. I tak dalej, idea powinna byc´ juz˙ jasna. W ramach c´wiczen´ radze˛ wyprowadzic´ sobie wzorki sin (pi 2 + x ) = cos x cos (pi 2 + x ) = − sin x tg ( 3pi 2 + x ) = − ctg x ctg ( 5pi 2 − x ) = tg x cos(pi − x) = − cos x ctg(5pi + x) = ctg x sin ( x− pi 2 ) = − cos x cos ( x− 3pi 2 ) = − sin x oraz f unkcja (pi 2 − x ) = ko f unkcja(x). Obliczmy sin pi7 + cos 9pi 14 . Liczymy sin pi 7 + cos 9pi 14 = sin pi 7 + cos ( 7pi + 2pi 14 ) = = sin pi 7 + cos (pi 2 + pi 7 ) = sin pi 7 − sin pi 7 = 0. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 2
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI Zadania.info Podoba Ci się ten poradnik?Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły! TIPS & TRICKS 1 Jest łatwy sposób zapamie˛tania, kiedy we wzorze redukcyjnym funkcja zostaje bez zmian, a kiedy zmienia sie˛ na kofunkcje˛: funkcja pozostaje bez zmian wtedy i tylko wtedy jez˙eli we wzorze mamy wielokrotnos´c´ pi (czyli k parzyste). W pozostałych przypadkach, czyli gdy pi wyste˛puje w ułamku z mianownikiem 2 (k nieparzyste), funkcje˛ zmieniamy na kofunkcje˛. We wzorach na sin(3pi − x), tg(x − 5pi), ctg(x + pi) funkcja sie˛ nie zmieni, a we wzorach na sin (3pi 2 − x ) , tg ( x− 5pi2 ) , ctg ( x+ pi2 ) funkcja zmieni sie˛ na kofunkcje˛. 2 Jak to zwykle bywa, im wie˛cej rzeczy pamie˛tamy, tym mniej tracimy czasu na wertowanie tablic. Najcze˛s´ciej wyste˛puja˛ce wzory redukcyjne to sin(pi − x) = sin x sin(pi + x) = − sin x cos(pi − x) = − cos x cos(pi + x) = − cos x sin (pi 2 + x ) = cos x cos (pi 2 + x ) = − sin x oraz f unkcja (pi 2 − x ) = ko f unkcja(x). Powyz˙sze wzory, plus wzory na okresowos´c´ i parzystos´c´/nieparzystos´c´ funkcji trygonome- trycznych, w zasadzie wystarczaja˛ do rozwia˛zania wie˛kszos´ci szkolnych zadan´. Wiedza˛c, z˙e cos α = 19 znajdz´ ka˛t β, dla którego cos β = −19 . Ze wzoru redukcyjnego cos(pi − x) = − cos x, moz˙emy wzia˛c´ β = pi − α. Wiedza˛c, z˙e cos x = √ 7 7 oblicz sin (5pi 2 + x ) . Liczymy sin ( 5pi 2 + x ) = sin ( 2pi + pi 2 + x ) = sin (pi 2 + x ) = cos x = √ 7 7 . Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 3
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI 3 Jeden z najwaz˙niejszych wzorów redukcyjnych to f unkcja (pi 2 − x ) = ko f unkcja(x). Wzór ten pozwala zamieniac´ funkcje˛ na kofunkcje˛. Upros´c´my wyraz˙enie tg pi8 tg 3pi 8 . Liczymy tg pi 8 tg 3pi 8 = tg pi 8 tg (pi 2 − pi 8 ) = tg pi 8 ctg pi 8 = 1. Rozwia˛z˙my równanie tg x = ctg x. Korzystaja˛c ze wzoru tg ( pi 2 − x ) = ctg x mamy tg x = tg (pi 2 − x ) ⇐⇒ x = pi 2 − x+ kpi ⇐⇒ 2x = pi 2 + kpi ⇐⇒ x = pi 4 + kpi 2 , k ∈ C 4 Zamiast uczyc´ sie˛ regułki o znakach funkcji trygonometrycznych, niektóre osoby wola˛ ko- rzystac´ z definicji funkcji trygonometrycznych w okre˛gu jednostkowym. Dokładnie omówi- lis´my to w poradniku o funkcjach trygonometrycznych, ale krótko przypomnijmy, z˙e współ- rze˛dne kon´ca promienia okre˛gu jednostkowego, który tworzy z osia˛ Ox ka˛t α sa˛ równe (cos α, sin α). α (cos(α),sin(α))sin(α) cos(α) 1 Z tej interpretacji łatwo sobie przypomniec´, z˙e sinus (druga współrze˛dna) jest dodatni w I i II c´wiartce, a cosinus (pierwsza współrze˛dna) w I i IV. Tangens/cotangens jest dodatni tam, gdzie sinus i cosinus maja˛ ten sam znak, czyli w I i III c´wiartce, a jest ujemny w II i IV c´wiartce. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 4
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI 5 Niezwykle istotne jest pamie˛tanie, z˙e ustalaja˛c c´wiartke˛, w której jest ka˛t k · pi2 ± x (lewa strona ogólnego wzoru redukcyjnego) musimy o ka˛cie x mys´lec´ jak o ka˛cie ostrym! – nawet, jez˙eli x wcale nie jest ka˛tem ostrym! Przekształcaja˛c wyraz˙enie sin(3pi + 79pi) mys´limy o wzorze sin(3pi + x) = − sin x, gdzie znak wybralis´my traktuja˛c x jako ka˛t ostry. Z tego wzoru mamy sin(3pi + 7 9 pi) = − sin 7 9 pi, pomimo, z˙e 79pi nie jest ka˛tem ostrym! 6 Ska˛d sie˛ biora˛ wzory redukcyjne? W przypadku funkcji sinus i cosinus, wzory redukcyjne sa˛ poła˛czeniem trzech własnos´ci tych funkcji: a) okresowos´ci sinusa: sin(x+ 2kpi) = sin x; b) symetrii wykresu sinusa wzgle˛dem prostej x = pi2 , daje to wzór sin(pi − x) = sin x; c) faktu, z˙e wykresy sinusa i cosinusa sa˛ przesunie˛te wzgle˛dem siebie o pi2 , daje to wzór sin(pi2 − x) = cos x Gdy sie˛ człowiek chwile˛ zastanowi i pozbiera te trzy własnos´ci razem, to wzory redukcyjne robia˛ sie˛ dos´c´ oczywiste. O ile pierwsze dwa z powyz˙szych wzorów sa˛ włas´ciwie cze˛s´cia˛ procedury roz- szerzenia dziedziny sinusa poza ka˛ty ostre, o tyle trzeci wzór jest natychmiastowa˛ konsekwencja˛ definicji funkcji trygonometrycznych w trójka˛cie prostoka˛tnym: sin(90◦ − α) = b c = cos α. a b c α 90-αo Wzory dla tangensa i cotangensa najlepiej traktowac´ jako wniosek ze wzorów dla sinusa i cosinusa. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 5
Fly UP