...

Wzory Viète’A

by michaelolesik

on

Report

Category:

Documents

Download: 0

Comment: 0

3

views

Comments

Description

Dane do matury
Download Wzory Viète’A

Transcript

  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI WZORY VIÈTE’A Jez˙eli wymnoz˙ymy lewa˛ strone˛ równos´ci a(x− x1)(x− x2) = ax2 + bx+ c, to otrzymamy tak zwane wzory Viète’a dla równania kwadratowego. x1 + x2 = −ba x1x2 = c a . Inny prosty sposób wyprowadzenia tych wzorów to uz˙ycie wzorów na pierwiastki równa- nia kwadratowego. Cały urok wzorów Viète’a polega na tym, z˙e sa˛ bardzo proste – na przykład nie ma w nich pierwiastków. W wielu sytuacjach same rozwia˛zania równania moga˛ byc´ dos´c´ paskud- ne, natomiast wzory Viète’a daja˛ bardzo proste wyraz˙enia na x1 + x2 i x1x2. Równanie 13x2 + 5x− 39 = 0 ma dos´c´ skomplikowane rozwia˛zania, ale nie trzeba ich liczyc´, z˙eby stwierdzic´, z˙e ich iloczyn jest równy x1x2 = −3, a suma x1 + x2 = − 513 . Co to daje? – na przykład widac´ z tego, z˙e pierwiastki sa˛ róz˙nych znaków (iloczyn jest ujemny) – jest to bardzo popularne zastosowanie wzorów Viète’a. Równanie musi miec´ pierwiastki! Niezwykle waz˙ne jest pamie˛tanie o tym, z˙e wzory Viète’a maja˛ sens tylko wtedy, gdy rów- nanie ma pierwiastki, to znaczy gdy ∆ > 0. Moz˙emy sobie napisac´ wzorki x1x2 = 5, x1 + x2 = 3 dla równania x2 − 3x+ 5 = 0, ale nie maja˛ one z˙adnego sensu, bo to równanie nie ma pierwiastków. Uwaga ta jest szczególnie waz˙na w zadaniach z parametrem – zanim zaczniemy pisac´ wzory Viète’a musimy sprawdzic´, kiedy równanie ma rozwia˛zania. Dla jakiej wartos´ci m suma róz˙nych pierwiastków równania x2 −mx+ 3 = 0 jest wie˛ksza od 1? Jez˙eli równanie ma pierwiastki, to na mocy wzorów Viète’a, tak be˛dzie, gdy m > 1. Aby sprawdzic´ kiedy istnieja˛ pierwiastki, musimy dodatkowo rozwia˛zac´ nierównos´c´ ∆ > 0. Ostateczna˛ odpowiedzia˛ jest m > 2 √ 3. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 1
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI Cała pote˛ga wzorów Viète’a ujawnia sie˛ w przypadku równan´ z parametrem. Dla takich równan´ wzory na pierwiastki równania daja˛ wyja˛tkowo brzydkie wyraz˙enia, a wzory Vi- ète’a wre˛cz przeciwnie. Typowe dwa rodzaje zadan´ tego typu to ustalenie znaków pier- wiastków oraz zadania z róz˙nymi wyraz˙eniami typu x21 + x 2 2. Omówimy teraz krótko obie sytuacje. Znaki pierwiastków Jak juz˙ wiemy, wzory Viète’a daja˛ nam informacje˛ o iloczynie x1x2 i sumie x1 + x2. Jak na tej podstawie ustalic´ jakie sa˛ znaki x1 i x2? Znak iloczynu Znaki pierwiastków x1x2 > 0 Pierwiastki sa˛ tych samych znaków, oba dodatnie gdy x1 + x2 > 0 i ujemne gdy x1 + x2 < 0. x1x2 < 0 Pierwiastki sa˛ róz˙nych znaków. x1x2 > 0 Pierwiastki sa˛ tego samego znaku lub zerowe; nie- ujemne gdy x1 + x2 > 0 i niedodatnie gdy x1 + x2 6 0. x1x2 6 0 Jeden pierwiastek jest niedodatni, a drugi nieujemny Oczywis´cie nie ma sensu uczyc´ sie˛ powyz˙szych formułek na pamie˛c´ – trzeba po prostu pamie˛tac´, z˙e na podstawie znaków x1x2 i x1 + x2 moz˙na ustalic´ znak x1 i x2. Kiedy pierwiastki równania x2 + 3mx+m2 sa˛ ujemne? Łatwo sprawdzic´, z˙e równanie ma zawsze pierwiastki, moz˙emy wie˛c stosowac´ wzory Viète’a. Jez˙eli liczby sa˛ ujemne, to ich iloczyn musi byc´ dodatni (czyli m2 > 0). Czy wystarczy sprawdzic´ ten warunek? – nie, bo iloczyn dwóch liczb dodatnich tez˙ jest dodatni; musimy jeszcze sprawdzic´ czy suma jest ujemna (czyli −3m < 0) – w ten sposób wyeliminujemy te˛ druga˛ moz˙liwos´c´. Wyraz˙enia z pierwiastkami Jeden z popularnych motywów w zadaniach na wzory Viète’a jest oparty o fakt, z˙e kaz˙de symetryczne wyraz˙enie od x1 i x2 daje sie˛ przedstawic´ jako wyraz˙anie wielomianowe, w którym wyste˛puja˛ tylko x1x2 i x1 + x2. Troche˛ to skomplikowanie brzmi, wie˛c napiszmy kilka przykładów x21 + x 2 2 = (x1 + x2) 2 − 2x1x2 x1x22 + x 2 1x2 = x1x2(x1 + x2) x31 + x 3 2 = (x1 + x2)(x 2 1 − x1x2 + x22) = (x1 + x2)((x1 + x2)2 − 3x1x2). Na mocy wzorów Viète’a kaz˙de wyraz˙enie tego typu moz˙e byc´ łatwo wyraz˙one od współ- czynników wielomianu. Tego typu przekształcenia działaja˛ zawsze, gdy wyraz˙enie jest sy- metryczne, to znaczy gdy nie zmienia sie˛ przy zamianie x1 i x2 miejscami – wszystkie wypi- sane wyz˙ej wyraz˙enia sa˛ symetryczne. Dla odmiany, wyraz˙enie x1− x2 nie jest symetryczne i nie da sie˛ go wyrazic´ przez x1x2 i x1 + x2. (Natomiast (x1 − x2)2 juz˙ jest symetryczne). Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 2
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI Oblicz sume˛ kwadratów pierwiastków równania x2 − 5x+ 2 = 0. Liczymy x21 + x 2 2 = (x1 + x2) 2 − 2x1x2 = 25− 4 = 21. Układy równan´ Zacznijmy od przykładu. Układ równan´ { x1 + x2 = 7 x1x2 = −6 moz˙emy rozwia˛zac´ naste˛puja˛co: na mocy wzorów Viète’a rozwia˛zania tego układu sa˛ pierwiastkami równania x2 − 7x − 6 = 0. Daje nam to dwie pary rozwia˛zan´: (x1, x2) = (1,−6) i (x1, x2) = (−6, 1). Powyz˙szy sposób rozwia˛zania jest bardzo elegancki – gdybys´my robili to tradycyjnie, czyli na przykład wyliczyli x2 z drugiego równania i podstawili do pierwszego, to musimy dzielic´ przez x1, a wie˛c musimy osobno sie˛ zastanowic´, co sie˛ dzieje, gdy x1 = 0; potem musimy jeszcze przekształcic´ pierwsze równanie, a na koniec i tak dostaniemy to samo równanie kwadratowe, które przed chwila˛ rozwia˛zalis´my. Opisana metoda moz˙e byc´ zastosowana do dowolnego układu równan´ z dwoma niewia- domymi x1 i x2, w którym równania sa˛ symetryczne – podstawiamy s = x1 + x2, t = x1x2 i rozwia˛zujemy układ (w jakikolwiek sposób), a na koniec wyliczamy x1 i x2, tak jak to opisa- lis´my wyz˙ej. W układzie { x21 + x 2 2 = 15 x1x2 = 5 podstawiamy s = x1 + x2, t = x1x2 i mamy układ równan´{ s2 − 2t = 15 t = 5 Łatwo z tego układu wyznaczyc´ (s, t) = (5, 5) lub (s, t) = (−5, 5). Zatem x1 i x2 sa˛ pierwiastkami równania x2 + 5x + 5 lub x2 − 5x + 5. Daje to nam 4 rozwia˛zania wyjs´ciowego układu. Zadania.info Podoba Ci się ten poradnik?Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły! Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 3
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI TIPS & TRICKS 1 Jez˙eli w zadaniu z parametrem przewidujemy, z˙e wyjdzie nam tylko kilka wartos´ci parame- tru, to zamiast sprawdzac´ na pocza˛tku kiedy ∆ > 0 (lub ∆ > 0 w zalez˙nos´ci od polecenia), moz˙emy na kon´cu sprawdzic´ otrzymane rozwia˛zania. Oczywis´cie ta metoda nic nie daje, gdy rozwia˛zaniem jest przedział lub gdy rozwia˛zan´ jest bardzo duz˙o. Kiedy suma pierwiastków równania x2 +mx+ 5 +m = 0 jest równa 3? Na mocy wzorów Viète’a be˛dzie tak gdy m = −3. Poniewaz˙ wyszła nam tylko jedna wartos´c´ m, to łatwiej jest sprawdzic´, z˙e dla m = −3 równanie ma pierwiastki, niz˙ na pocza˛tku rozwia˛zywac´ nierównos´c´ kwadratowa˛ ∆ > 0. 2 Wzory Viète’a sa˛ niezwykle uz˙yteczne przy sprawdzaniu czy dobrze rozwia˛zalis´my równa- nie kwadratowe. Jez˙eli chcemy miec´ pewnos´c´, z˙e sie˛ nie pomylilis´my, to zamiast s´ledzic´ lub powtarzac´ rachunki, wystarczy otrzymane pierwiastki dodac´ i pomnoz˙yc´ – jez˙eli wyjdzie − ba i ca to pierwiastki sa˛ dobrze obliczone. 3 Jez˙eli znamy jeden pierwiastek równania kwadratowego, to ze wzoru x1x2 = ca (lub ze wzoru x1 + x2 = − ba ) natychmiast mamy drugi. Łatwo zobaczyc´, z˙e 1 jest pierwiastkiem równania x2 + 24x− 25 = 0 (przy odrobinie wprawy takie rzeczy widac´ od re˛ki – suma współczynników jest 0, wie˛c 1 jest pierwiastkiem). W takim razie natychmiast wiemy, z˙e -25 jest drugim pierwiastkiem (bo iloczyn rozwia˛zan´ jest równy -25). Ten sam schemat pozwala łatwo zgadna˛c´ rozwia˛zania prostych równan´, w których pier- wiastki sa˛ całkowite (bardzo cze˛sta sytuacja w przypadku zadan´ szkolnych). Jez˙eli spodziewamy sie˛, z˙e równanie x2 − 5x+ 6, ma miec´ całkowity pierwiastek, to musi to byc´ dzielnik 6, czyli musi to byc´ ±1,±2,±3 lub ±6. W dodatku, iloczyn pierwiastków jest równy 6, zatem jez˙eli 1 nie jest pierwiastkiem, to 6 tez˙ nie moz˙e byc´ i tak dalej. W podanym przykładzie pierwiastki to 2 i 3. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 4
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI 4 Wzory Viète’a moz˙na równiez˙ stosowac´ w sytuacjach, gdy podane wyraz˙enie z pierwiast- kami nie jest symetryczne – zwykle daje nam to wtedy układ równan´. Dla jakich wartos´ci parametru m, róz˙ne pierwiastki równania x2 − 4x + m = 0 spełniaja˛ warunek x1 − x2 = 2. Delte˛ zostawiamy sobie na koniec. Na mocy wzorów Viète’a, mamy x1 + x2 = 4. Dodaja˛c te˛ równos´c´ do podanego warunku otrzymujemy 2x1 = 6, czyli x1 = 3. Sprawdz´my teraz, kiedy x = 3 jest pierwiastkiem. 0 = 9− 12 +m ⇐⇒ m = 3. Z drugiego z wzorów Viète’a, wiemy z˙e drugim pierwiastkiem równania x2 − 4x+ 3 = 0 jest x = 3. Zatem równanie rzeczywis´cie ma dwa pierwiastki spełniaja˛ce x1 − x2 = 2. Skoro znamy oba pierwiastki, to nie musimy juz˙ sprawdzac´ ∆-y. 5 Wzory Viète’a działaja˛ w przypadku ∆ = 0, o ile traktujemy ten jedyny w tym przypadku pierwiastek x0, jako dwa pierwiastki, które sa˛ równe, to znaczy x0 + x0 = 2x0 = −ba x0 · x0 = x20 = c a . Powyz˙sza obserwacja bywa z´ródłem wielu nieporozumien´ w szkolnych zadaniach ze wzo- rami Viète’a. Problem polega na braku jednoznacznej konwencji, czy równanie w przypadku ∆ = 0 ma jeden pierwiastek, czy tez˙ ma dwa równe. Z punktu widzenia wzorów Viète’a (i jeszcze kilku innych) wygodnie jest przyja˛c´, z˙e ma dwa pierwiastki – dzie˛ki takiej umowie nie trzeba rozwaz˙ac´ sytuacji ∆ = 0 osobno. Dla jakich parametrów m suma pierwiastków równania x2 − mx + 1 jest wie˛ksza od 1? Typowe szkolne rozwia˛zanie, to sprawdzenie ∆-y – daje to nam m ∈ (−∞,−2〉 ∪ 〈2,+∞). Potem stosujemy wzory Viète’a 1 < x1 + x2 = m ⇐⇒ 1 < m. Czyli m > 2. Czy to jest dobre rozwia˛zanie? – aby było, musimy załoz˙yc´, z˙e równanie x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2 = 0 ma dwa pierwiastki równe 1. Jez˙eli nie chcemy tego zakładac´, to m = 2 nalez˙y wyrzucic´ ze zbioru rozwia˛zan´. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 5
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI Powyz˙sza wa˛tpliwos´c´ na szcze˛s´cie nie wyste˛puje, gdy zajmujemy sie˛ znakami pierwiast- ków. Dla jakich parametrów m pierwiastki równania x2 −mx+ 1 sa˛ dodatnie? Jak poprzednio, z ∆-y mamy m ∈ (−∞,−2〉 ∪ 〈2,+∞). Na mocy wzorów Viète’a mamy x1x2 = 1 x1 + x2 = m. Widac´ wie˛c, z˙e pierwiastki be˛da˛ dodatnie dla m > 0, co w poła˛czeniu z ogranicze- niem na ∆-e˛, daje m > 2. Tu nie ma problemu z przypadkiem ∆ = 0, bo znak pierwiastka nie zalez˙y od tego, czy traktujemy go pojedynczo czy podwójnie. 6 Aby stosowac´ podane wzory Viète’a musimy wiedziec´, z˙e równanie jest kwadratowe – w przypadku równania z parametrem oznacza to koniecznos´c´ osobnego rozpatrzenia przy- padku, gdy współczynnik przy x2 jest zerowy. Dla jakich wartos´ci parametru m suma odwrotnos´ci pierwiastków równania mx2− 2x−m = 0 jest nieujemna? Łatwo sprawdzic´, z˙e ∆ > 0, wie˛c na mocy wzorów Viète’a mamy 1 x1 + 1 x2 = x1 + x2 x1x2 = 2 m −m m = − 2 m − 2 m > 0 ⇐⇒ m < 0. To jednak nie koniec, bo ten rachunek miał sens o ile m 6= 0. Dla m = 0 mamy równanie liniowe −2x = 0, wie˛c tez˙ jest OK. 7 W przypadku bardziej egzotycznych warunków ze znakami pierwiastków, warto sie˛ zasta- nowic´, czy przypadkiem nie jest pros´ciej ustalic´, kiedy podany warunek nie jest spełniony. Kiedy równanie x2 + 3mx+m2 = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek nieujemny? Sprawdzamy najpierw kiedy rów- nanie ma w ogóle pierwiastki – okazuje sie˛, z˙e zawsze (∆ > 0). Kiedy jeden jest nieujemny? – trudno to zapisac´ przy pomocy znaków x1 + x2 i x1x2, za to bardzo łatwo jest zapisac´ warunek przeciwny, czyli z˙e oba sa˛ ujemne. Musimy sprawdzic´ kiedy 0 < x1x2 = m2 ⇐⇒ m 6= 0 0 > x1 + x2 = −3m ⇐⇒ m > 0. Zatem dla m > 0 oba pierwiastki sa˛ ujemne, czyli dla m 6 0 przynajmniej jeden jest nieujemny. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 6
  • www.zadania.info – NAJWIE˛KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN´ Z MATEMATYKI 8 Wprawdzie taka wiedza wykracza poza program szkolny, ale czasem warto sobie zdawac´ sprawe˛ z faktu, z˙e istnieja˛ wzory Viète’a dla wielomianów dowolnego stopnia. Ich wypro- wadzenie jest identyczne jak w przypadku równania kwadratowego. Jez˙eli wymnoz˙ymy lewa˛ strone˛ równos´ci a(x− x1)(x− x2)(x− x3) = ax3 + bx2 + cx+ d i porównamy współczynniki przy odpowiednich pote˛gach x, to otrzymamy wzory Viète’a dla wielomianu stopnia 3 x1 + x2 + x3 = −ba x1x2 + x1x3 + x2x3 = c a x1x2x3 = −da . Pomimo, z˙e wzory te sa˛ poza standardami szkolnymi, moga˛ byc´ uz˙yteczne w zadaniach typowo szkolnych. Podobnie jak w przypadku równania kwadratowego, równos´c´ x1x2x3 = − da jest doskonałym sposobem na sprawdzenie, czy dobrze rozwia˛zalis´my równanie stop- nia 3. Rozwia˛z˙my równanie x3 − 12x2 − x+ 12 = 0. Dos´c´ łatwo jest zauwaz˙yc´ dwa pierwiastki tego równania (sprawdzaja˛c dzielniki wyrazu wolnego): x = −1 i x = 1. Na mocy wzoru x1x2x3 = − da , trzecim pier- wiastkiem jest x = 12. Rozwia˛z˙my równanie x3 − 7x2 + 16x− 12 = 0. Sprawdzaja˛c dzielniki wyrazu wolnego znajdujemy pierwiastek x = 2. Jez˙eli napi- szemy teraz pierwszy i trzeci wzór Viète’a przyjmuja˛c x1 = 2, to mamy{ 2 + x2 + x3 = 7 ⇐⇒ x2 + x3 = 5 2x2x3 = 12 ⇐⇒ x2x3 = 6. Zatem pozostałe pierwiastki równania sa˛ pierwiastkami równania kwadratowego x2 − 5x+ 6 = 0. Rozwia˛zuja˛c to równanie dostajemy x2 = 2 i x3 = 3. Nie moz˙na temu rozwia˛zaniu odmówic´ elegancji, niestety jednak wie˛kszos´c´ na- uczycieli niewiele z tego zrozumie, wie˛c lepiej nie pisac´ tak na klasówce czy matu- rze. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 7
Fly UP