...

Zadania z nierówności trójkąta

by am234204

on

Report

Category:

Documents

Download: 0

Comment: 0

212

views

Comments

Description

Zadania z geometrii. Nierówność trójkąta.
Download Zadania z nierówności trójkąta

Transcript

  • ZESTAW DOMOWY I - nierówność trójkąta Termin oddania rozwiązań: 22 października Zadanie 1. Na płaszczyźnie dane są odcinki AB, CD długości 1, które przecinają się w punkcie O. Udowodnić, że jeśli ∡AOC = 60◦, to AC +BD ­ 1. Zadanie 2. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym o tej własności, że AB nie jest równoległy do CD. Niech E,F będą środkami boków AD,BC. Udowodnić, że: 2EF < AB + CD. Zadanie 3. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, przy czym ∡ABC = ∡ADC = 90◦ oraz ∡BCD > ∡BAD. Wykaż, że AC > BD. Zadanie 4. Dany jest punkt O oraz półproste l,m wychodzące z punktu O i tworzące wraz z nim kąt ostry α. Punkt M leży wewnątrz tego kąta. Znajdź takie punkty A,B, leżące odpowiednio na półprostych l,m, że OA = OB, przy czym suma MA+MB jest minimalna. Zadanie 5. Niech boki BC,CA,AB trójkąta ABC mają długości odpowiednio a, b, c. Załóżmy, że 2b < a+ c. Wykaż, że 2∡ABC < ∡BAC + ∡ACB. Zadanie 6. Niech ABC będzie trójkątem równobocznym, zaś P dowolnym punktem płaszczyzny. Udowod- nić, że istnieje trójkąt, którego boki równe są odcinkom AP,BP,CP oraz, że trójkąt ten jest zdegenerowany wtedy i tylko wtedy, gdy P leży na okręgu opisanym na trójkącie ABC. Zadanie 7. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. (a) Na boku AB obieramy punkt P . Znaleźć na bokach BC, CA takie punkty X,Y , by obwód trójkąta XY P był minimalny. (b) Wpisać w trójkąt ABC trójkąt o minimalnym możliwym obwodzie. (c)* Znaleźć na płaszczyźnie taki punkt T , że liczba AT +BT + CT jest minimalna możliwa.
Fly UP